肖 剛，薛煥斌，謝芳芳，張 磊，楊曉鵬★

（1.韓山師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，廣東 潮州 521041；2.韓山師范學(xué)院 馬克思主義學(xué)院，廣東 潮州 521041）

2021年初，教育部等五部委聯(lián)合印發(fā)的《關(guān)于大力加強中小學(xué)線上教育教學(xué)資源建設(shè)與應(yīng)用的意見》，回應(yīng)了疫情防控常態(tài)化背景下社會對線上教育教學(xué)改革發(fā)展的關(guān)切，通過多部門協(xié)同工作為中小學(xué)線上教學(xué)內(nèi)容資源建設(shè)與應(yīng)用提供支持與服務(wù)，擴大優(yōu)質(zhì)教學(xué)內(nèi)容資源有效供給，是支撐我國“十四五”期間構(gòu)建高質(zhì)量基礎(chǔ)教育體系、推動教育現(xiàn)代化進(jìn)程的重要舉措.呼應(yīng)于此背景，本文以“中小學(xué)數(shù)學(xué)線上教學(xué)內(nèi)容資源”為研究對象，從師生滿意度的視角，數(shù)據(jù)構(gòu)建面向師生的資源需求體系結(jié)構(gòu)，實證檢驗影響教師對資源使用滿意度的關(guān)鍵因素，并通過實證性結(jié)論為中小學(xué)數(shù)學(xué)線上教學(xué)內(nèi)容資源開發(fā)優(yōu)化提供指導(dǎo)性的對策建議，助力于疫情防控常態(tài)化背景下中小學(xué)數(shù)學(xué)線上教育教學(xué)的現(xiàn)代化發(fā)展.

1 中小學(xué)數(shù)學(xué)線上教學(xué)內(nèi)容資源潛在需求類別

經(jīng)過前期從當(dāng)前中小學(xué)數(shù)學(xué)線上教學(xué)內(nèi)容資源的主要應(yīng)用形式、存在問題以及出現(xiàn)的新型需求特征來考察其應(yīng)用現(xiàn)狀，并基于《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》［1］、《義務(wù)教育課程方案（2022年版）》［2］與《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017 年版2020 年修訂）》［3］價值導(dǎo)向、教育教學(xué)圖景取向、中小學(xué)數(shù)學(xué)線上教學(xué)實踐取向等角度，將面向師生的中小學(xué)數(shù)學(xué)線上教學(xué)內(nèi)容資源潛在需求分為：基礎(chǔ)講課教學(xué)設(shè)計、實踐探究、概念演示動畫、數(shù)學(xué)方法技能、數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)教學(xué)微課、數(shù)學(xué)素質(zhì)拓展資源、雙師課程資源等8 個維度類別.為下一步進(jìn)行中小學(xué)數(shù)學(xué)線上教學(xué)內(nèi)容資源需求的實驗設(shè)計與試點、KANO需求體系的建構(gòu)提出合理的需求類別框架.

2 中小學(xué)數(shù)學(xué)線上教學(xué)內(nèi)容資源需求體系建構(gòu)

基于中小學(xué)數(shù)學(xué)線上教學(xué)內(nèi)容資源潛在需求類別分析，設(shè)計實現(xiàn)各類別中小學(xué)數(shù)學(xué)線上教學(xué)內(nèi)容資源用于試點實踐，并在實踐平臺的實踐周期中讓中小學(xué)數(shù)學(xué)教師充分體驗各類別線上教學(xué)內(nèi)容資源.繼而基于KANO模型問卷調(diào)研分析［4］得到：針對必備型線上教學(xué)內(nèi)容資源，中小學(xué)數(shù)學(xué)教師認(rèn)為常見的電子教材、教參、電子PPT課件等應(yīng)是必備的內(nèi)容資源，如果具備了，中小學(xué)數(shù)學(xué)教師使用滿意度也不會顯著提升，但如果缺失此類內(nèi)容資源，中小學(xué)數(shù)學(xué)教師的使用不滿意度會顯著提升；針對期望型線上教學(xué)內(nèi)容資源，中小學(xué)數(shù)學(xué)教師明顯期望能夠具備的線上內(nèi)容資源是微課教學(xué)視頻、實踐操作演示視頻、拓展類多媒體內(nèi)容資源等；針對魅力型線上教學(xué)內(nèi)容資源，中小學(xué)數(shù)學(xué)教師認(rèn)為超出預(yù)期具有明顯魅力屬性的內(nèi)容資源主要為STEAM課程教學(xué)PPT、備課拓展閱讀知識、教學(xué)案例視頻等；針對無差異型線上教學(xué)內(nèi)容資源，根據(jù)KANO 模型理論，按照絕對值之和的數(shù)值大小排序為數(shù)學(xué)考試卷題庫、同步教學(xué)概念講解微課、隨堂練習(xí)題、隨堂電子教輔、教學(xué)設(shè)計方案、課后同步教學(xué)的概念學(xué)習(xí)微課、數(shù)學(xué)名師或數(shù)學(xué)家遠(yuǎn)程直播課等，其數(shù)值越小，無差異性就越強，即有或沒有對中小學(xué)數(shù)學(xué)教師的使用滿意度影響很小.借助上述結(jié)論可以優(yōu)化中小學(xué)數(shù)學(xué)線上教學(xué)內(nèi)容資源的體系結(jié)構(gòu)，為后續(xù)中小學(xué)數(shù)學(xué)線上教學(xué)內(nèi)容資源的開發(fā)實踐對策建議提供理論依據(jù).

3 中小學(xué)數(shù)學(xué)線上教學(xué)內(nèi)容資源教師滿意度影響因素

在中小學(xué)數(shù)學(xué)線上教學(xué)內(nèi)容資源需求體系建構(gòu)的基礎(chǔ)上，再進(jìn)行線上教學(xué)內(nèi)容資源在應(yīng)用實踐中教師使用滿意度的影響因素的假設(shè)與驗證，能夠為實踐層面線上教學(xué)內(nèi)容資源的應(yīng)用推廣提供有效的原則建議與方向性對策指導(dǎo).針對中小學(xué)數(shù)學(xué)線上教學(xué)內(nèi)容資源對教師使用滿意度的影響因素研究，在深度訪談和實踐感知的基礎(chǔ)上發(fā)現(xiàn)了三個主要外部潛變量，包括內(nèi)容豐富度、內(nèi)容匹配度、感知內(nèi)容質(zhì)量等，并以美國成熟的ACSI 滿意度理論模型為基礎(chǔ)，結(jié)合信息系統(tǒng)的技術(shù)接受模型（TAM）進(jìn)行整體的滿意度模型建構(gòu)與分析.由基于ACSI和TAM 模型［5］的中小學(xué)數(shù)學(xué)線上教學(xué)內(nèi)容資源教師使用滿意度理論模型可知，影響中小學(xué)數(shù)學(xué)教師使用滿意度的直接影響因素有使用者預(yù)期、感知價值、感知質(zhì)量等，間接影響因素有感知有用性、感知易用性等.

基于ACSI 模型研究顯示，感知質(zhì)量是直接影響中小學(xué)數(shù)學(xué)教師使用滿意度的關(guān)鍵影響因素，其次是感知價值和使用者預(yù)期，因此，在中小學(xué)數(shù)學(xué)線上教學(xué)內(nèi)容資源開發(fā)建設(shè)過程中，要注重教師對線上教學(xué)內(nèi)容資源的質(zhì)量和價值感知，以促進(jìn)教師對線上教學(xué)內(nèi)容資源在推廣應(yīng)用過程中的滿意度.

基于TAM 模型研究顯示，感知有用性、感知易用性對中小學(xué)數(shù)學(xué)教師的感知質(zhì)量有顯著正影響；感知有用性對中小學(xué)數(shù)學(xué)教師的使用者預(yù)期的正影響假設(shè)不顯著.故在中小學(xué)數(shù)學(xué)線上教學(xué)內(nèi)容資源開發(fā)建設(shè)過程中要注重對線上教學(xué)內(nèi)容資源的內(nèi)容體系、創(chuàng)新性和教學(xué)使用中的價值進(jìn)行引導(dǎo)和普及，從而提升教師對線上教學(xué)內(nèi)容的價值的理解和認(rèn)同，強化教師對線上教學(xué)內(nèi)容資源的有用性感知.

4 中小學(xué)數(shù)學(xué)線上教學(xué)內(nèi)容資源開發(fā)建設(shè)案例

綜上可知，在進(jìn)行中小學(xué)數(shù)學(xué)線上教學(xué)內(nèi)容資源的開發(fā)建設(shè)過程中，教師要合理組織線上教學(xué)資源內(nèi)容，強化線上教學(xué)內(nèi)容資源與教材知識重難點緊密結(jié)合，并注重豐富線上教學(xué)內(nèi)容資源的顯化形態(tài)和覆蓋的知識點，確保線上教學(xué)內(nèi)容資源的內(nèi)容組織與課堂教學(xué)有著良好的一致性，從而提升中小學(xué)數(shù)學(xué)教師對線上教學(xué)內(nèi)容資源的有用性感知，進(jìn)而提升中小學(xué)數(shù)學(xué)教師課堂教學(xué)使用滿意度.下面通過一中小學(xué)數(shù)學(xué)線上教學(xué)內(nèi)容資源開發(fā)建設(shè)案例“等比數(shù)列的前n項和公式”（來源見廣東省在線開放課程《“過程→生成”教學(xué)論》“過程→生成”教學(xué)論https://www.xueyinonline.com/detail/229406951）加以詳細(xì)說明.

4.1 課程標(biāo)準(zhǔn)分析

“等比數(shù)列的前n項和公式”節(jié)選自人教A 版（2019 版）高中數(shù)學(xué)必修第二冊［6］第四章第三節(jié)第二小節(jié)，屬于選擇性必修課程主題一中“函數(shù)”領(lǐng)域的知識.在《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》中，對這一節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)目標(biāo)要求為：①通過生活中的實例，理解等比數(shù)列的概念和通項公式的意義；②探索并掌握等比數(shù)列的前n項和公式，理解等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式的關(guān)系；③能在具體的問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等比關(guān)系，并解決相應(yīng)的問題；④體會等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系.

根據(jù)上述學(xué)習(xí)目標(biāo)，對本節(jié)課的課程標(biāo)準(zhǔn)內(nèi)容解讀如下：通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，在知識方面，學(xué)生能夠探索并掌握等比數(shù)列的前n項和公式，理清等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式之間的關(guān)系；在技能方面，學(xué)生能在具體的問題情境中，識別出等比數(shù)列，并運用前n項和公式解決相應(yīng)的問題.

4.2 學(xué)情分析

已有的知識.在學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容之前，學(xué)生已學(xué)習(xí)過“等差數(shù)列的前n項和公式”“等比數(shù)列的定義及通項公式”等內(nèi)容，知道了求解數(shù)列問題的解題思路和切入點，了解了等比數(shù)列的構(gòu)成和各項之間的關(guān)系，而且本階段的學(xué)生已經(jīng)具備了一定的探究能力和較為完善的推理能力.

存在的問題.本節(jié)公式的推導(dǎo)與前面所學(xué)的等差數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)有所不同，這對學(xué)生的思維是一個突破.另外對q= 1這一特殊情況，學(xué)生往往容易忽視，在后面使用的過程中較容易出錯.

4.3 教材內(nèi)容分析

在“數(shù)列”這一章中，“等比數(shù)列的前n項和公式”是一項重要的基礎(chǔ)內(nèi)容，從知識體系來看，它不僅是“等差數(shù)列的前n項和公式”與“等比數(shù)列”的順延，也是前面所學(xué)函數(shù)的延續(xù)，實質(zhì)是一種特殊的函數(shù)，也為后續(xù)深入學(xué)習(xí)提供了知識基礎(chǔ).教材先是通過象棋里面擺麥粒的故事引出問題情境，讓學(xué)生思考“國王應(yīng)該給發(fā)明者多少粒麥粒”這一問題，從而列出“S64=1+2+22+…+263”這一算式，進(jìn)而探究一般等比數(shù)列的前n項和公式，最后推導(dǎo)出等比數(shù)列的前n項和公式為“Sn=推導(dǎo)出等比數(shù)列的前n項和公式后，給出一些簡單的等比數(shù)列，讓學(xué)生試著求其前n項和，從而鞏固所學(xué).

在公式推導(dǎo)的過程中，聯(lián)系了前面所學(xué)的“等差數(shù)列的前n項和公式”，由此看來，本節(jié)內(nèi)容既是對前面所學(xué)知識的深化和發(fā)展，也為后面研究其他數(shù)列的求和奠定了基礎(chǔ).

4.4 教學(xué)目標(biāo)與數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)分析

4.4.1 教學(xué)目標(biāo)

（1）知識與技能目標(biāo)：掌握等比數(shù)列的前n項和公式以及推導(dǎo)方法，會用等比數(shù)列前n項和公式解決有關(guān)等比數(shù)列的一些簡單問題.（2）過程與方法目標(biāo)：經(jīng)歷等比數(shù)列前n項和的推導(dǎo)過程，總結(jié)等比數(shù)列求和方法，體會數(shù)學(xué)中的思想方法.（3）情感態(tài)度與價值觀目標(biāo)：激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)積極性以及學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主動性.

4.4.2 數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

（1）數(shù)學(xué)抽象：等比數(shù)列的前n項和公式的概念和意義.（2）邏輯推理：等比數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo).（3）數(shù)學(xué)運算：利用等比數(shù)列前n項和公式進(jìn)行計算.（4）數(shù)學(xué)建模：將具體問題抽象概括為數(shù)學(xué)模型，并通過與特殊的等比數(shù)列前n項和公式的類比，得出一般等比數(shù)列前n項和的公式.

4.5 教學(xué)重難點分析

重點為等比數(shù)列前n項和公式以及對公式的理解與運用.難點為等比數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo).

4.6 教學(xué)理念分析

本節(jié)課基于“過程→生成”教學(xué)理念進(jìn)行教學(xué)設(shè)計，以提高學(xué)生的知識、技能、方法、情感為基本目標(biāo)，以再造知識生成過程為基本策略，讓學(xué)生親身經(jīng)歷等比數(shù)列的前n項和公式的推導(dǎo)過程.其次，本節(jié)課設(shè)計了“問題提出→問題解決→問題拓展→基本練習(xí)→課堂小結(jié)”五大基本模塊，以等比數(shù)列的通項公式等知識為基礎(chǔ)，提出一系列具有啟發(fā)性的問題，引導(dǎo)學(xué)生觀察、類比，從特殊到一般推導(dǎo)出等比數(shù)列的前n項和公式，讓學(xué)生理解“q= 1”這一特殊的情況，并能將公式運用于實際問題情境中，從而讓學(xué)生了解本節(jié)課所學(xué)知識的來龍去脈，使學(xué)生的思維得到充分的發(fā)展，從而學(xué)會學(xué)習(xí).

4.7 “課程思政”融入分析

高中數(shù)學(xué)課程思政是將思想政治教育元素寓于數(shù)學(xué)課堂教學(xué)之中，通過有機融合、潤物無聲的方式，達(dá)到既教書又育人的目的.“課程思政”是為了讓高中數(shù)學(xué)與思政教育共融，讓學(xué)生學(xué)到數(shù)學(xué)知識的同時，也能接受習(xí)近平新時代中國特色社會主義思想等的熏陶，從而達(dá)到思想政治教育的目的.

在“等比數(shù)列的前n項和公式”去掉的教學(xué)中，通過計算麥粒的數(shù)量，可向?qū)W生滲透節(jié)約糧食、體會中國勞動人民不易的思想，讓學(xué)生對“誰知盤中餐，粒粒皆辛苦”這句話有更深刻的體會.此外，在對q= 1 和q≠1 進(jìn)行分類時，可用辯證唯物主義觀作為銜接點，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生全面分析問題的能力.

4.8 教學(xué)過程設(shè)計

4.8.1 問題提出

問題：國際象棋起源于古代印度，關(guān)于國際象棋有這樣一個傳說：國王要獎賞國際象棋的發(fā)明者，問他想要什么，發(fā)明者說：“陛下，請您在這張棋盤的第1個小格內(nèi)，賞給我1粒麥粒，在第2個小格內(nèi)給2粒，第3格內(nèi)給4粒，依次類推，每個格子里放的麥粒數(shù)都是前一個格子里放的麥粒數(shù)的2倍，直到第64個格子為止，把這樣擺滿棋盤上所有64格的麥粒，都賞給您的仆人吧.”國王覺得這并不是很難辦到的事，就欣然同意了他的要求.你認(rèn)為國王應(yīng)該給發(fā)明者多少粒麥粒呢？

4.8.2 問題解決

教師：國王覺得這位發(fā)明者的要求實在是太低了，你認(rèn)為他的要求高嗎？

【設(shè)計意圖】詢問的目的是為了留下懸念，激發(fā)學(xué)生的興趣.

教師：根據(jù)上面的故事，你能算出發(fā)明者所得的麥粒數(shù)嗎？

學(xué)生：1 + 2 + 22+ … + 262+ 263.

【設(shè)計意圖】從故事中抽象出具體的數(shù)學(xué)問題：計算1 + 22+ 23+ … + 262+ 263.

教師：如果把各格所放的麥粒數(shù)1,2,22,23，…，263看成一個數(shù)列，這是一個怎樣的數(shù)列？

學(xué)生：是一個首項為1，公比為2的等比數(shù)列.

教師：如果記“1 + 2 + 22+ … + 262+ 263”為S64，即

我們要怎么計算S64？

【設(shè)計意圖】要求出S64的值，很自然的方法是將它們一項項相加，可以先讓學(xué)生嘗試相加，而后發(fā)現(xiàn)加到后面的數(shù)字太大了，運算非常繁瑣，教師進(jìn)而提出：有沒有簡潔的方法可以計算出S64的值？

學(xué)生：根據(jù)前面所學(xué)的等差數(shù)列前n項和公式推導(dǎo)過程的啟發(fā)，我嘗試將這個等比數(shù)列倒序相加，但發(fā)現(xiàn)1 + 263≠2 + 262.

【設(shè)計意圖】前面學(xué)習(xí)了等差數(shù)列前n項和的推導(dǎo)方法——倒序相加法，學(xué)生很容易聯(lián)想到將其遷移運用，但嘗試后卻發(fā)現(xiàn)：1 + 263≠2 + 263，嘗試多幾項也不成立，所以倒序相加法在這里不能用了，需要尋找新的方法.

教師：在等差數(shù)列的求和中，我們曾把兩個Sn相加，如果我們將兩個S64相加會怎么樣呢？

學(xué)生：S64+S64=(1 + 2 + 22+ … + 262+ 263)+(1 + 2 + 22+ … + 262+ 263)，但是由于1+ 263≠2 +262，所以我們無法將其倒序相加，我們只能將相同的項相加，得到

2S64=(1 + 1)+(2 + 2)+(22+ 22)+ … +(262+ 262)+(263+ 263)=2 + 22+ 23+ … + 263+ 264，即得到：

教師：我們得到的這個②式還能化簡嗎？

【設(shè)計意圖】給學(xué)生充分的時間比較兩式，等比數(shù)列的前n項和公式教學(xué)中關(guān)鍵是變“加”為“減”，學(xué)生理解時會有一些困難，因此需要足夠時間探究.

學(xué)生：經(jīng)比較發(fā)現(xiàn)，①式和②式中存在很多相同的項，如果我們用①式的兩邊分別減去②式的兩邊，就可以消去這些相同的項了.

教師：264- 1這個數(shù)很大，超過了1.84×1019，一千顆麥粒的質(zhì)量約40 g，那么以上這些麥粒的總質(zhì)量就超過了7000億噸，而2021年全球小麥產(chǎn)量約為776.4百萬噸，放到現(xiàn)在國王都無法兌現(xiàn)他的諾言，更何況古代一個印度的麥子了.而這就跟同學(xué)們一開始認(rèn)為“國王的要求不高”相違背了，說明我們解決問題不能夠憑借直覺，應(yīng)當(dāng)通過嚴(yán)格的推理、運算去解決.麥子數(shù)量看起來多，但是農(nóng)民種出來是非常不容易的，我們平時在生活中應(yīng)當(dāng)珍惜糧食，杜絕浪費糧食的行為，理解勞動人民的不易.

【設(shè)計意圖】此處將“課程思政”融入課堂教學(xué)中，給學(xué)生傳遞珍惜糧食的思想，讓學(xué)生學(xué)習(xí)新知識的同時，思想也能得到提升.

4.8.3 問題拓展

教師：你能推出一個公比為q，首項為a1的等比數(shù)列{an}的前n項和的求和公式嗎？即將

表示為簡潔的形式？

學(xué)生根據(jù)前面的例子類比，2S64前面的2 正好是這個等比數(shù)列的公比，而且數(shù)列1,2,22,23，…，263中的每一項（除263這一項外）都乘2，恰好能得到數(shù)列1,2,22,23，…，263中相應(yīng)的后一項.所以，學(xué)生很容易可以想到將③式的兩邊同時乘q，得：

③- ④=(1 -q)Sn=a1-a1qn.

教師：在這里1 -q可以直接除過去嗎？

教師：這說明我們應(yīng)當(dāng)用辯證的眼光看待問題，對數(shù)學(xué)問題要進(jìn)行全面的分析，有時候不能夠忽略對問題的分類討論.在這個問題中，通過Sn構(gòu)造出qSn再作差的方法，稱為錯位相減法，在后續(xù)的數(shù)列學(xué)習(xí)中，我們會經(jīng)常用到，要注意對這種方法的理解和掌握.

【設(shè)計意圖】此處對q= 1和q≠1的情況分類討論時，能教會學(xué)生用辯證的眼光看待數(shù)學(xué)問題，目的是將“課程思政”融入數(shù)學(xué)課堂教學(xué).

4.8.4 例題講解與課堂小結(jié)（略）

4.9 教學(xué)反思

4.9.1 基于課程標(biāo)準(zhǔn)的教學(xué)反思

在前面的學(xué)習(xí)中，學(xué)生已經(jīng)掌握了等差數(shù)列的前n項和公式、等比數(shù)列的通項公式，為本節(jié)課的學(xué)習(xí)打下了基礎(chǔ).本節(jié)的教學(xué)設(shè)計中，首先，創(chuàng)設(shè)“國王在國際象棋盤上放麥粒”的故事情境，引發(fā)學(xué)生思考如何計算麥粒數(shù)，讓學(xué)生在這一情境中發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等比關(guān)系.然后，針對情境抽象出數(shù)學(xué)問題，給學(xué)生充分的時間去探索，再從特殊到一般推導(dǎo)出等比數(shù)列的前n項和公式，滿足“探索并掌握等比數(shù)列的前n項和公式”這一學(xué)習(xí)目標(biāo).除此之外，還設(shè)計了一些練習(xí)檢驗學(xué)生對公式的掌握情況，能夠很好地達(dá)到“理解等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式的關(guān)系”這一學(xué)習(xí)目標(biāo)，也為后續(xù)研究范圍更廣的數(shù)列奠定了基礎(chǔ).

4.9.2 基于教學(xué)重難點的教學(xué)反思

在本節(jié)課的教學(xué)過程中，將故事情境抽象出具體的數(shù)學(xué)問題：計算1 + 22+ 23+ … + 262+ 263，讓學(xué)生觀察每一項的特點，而不是一上來就直接告訴學(xué)生將式子的兩邊同時乘以2，應(yīng)當(dāng)注重教學(xué)的關(guān)鍵是如何變“加”為“減”，這一過程對學(xué)生而言是不可思議的，也與前面所學(xué)的推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項和公式有所不同，但也可以尋找關(guān)聯(lián)，因此教學(xué)應(yīng)著力在此做文章.然后，再從特殊到一般推出一個公比為q，首項為a1的等比數(shù)列{an}的前n項和的求和公式，讓學(xué)生易于接受，并強調(diào)q的范圍，從中滲透類比、分類討論等思想方法.最后，再對推導(dǎo)過程中使用的“錯位相減法”進(jìn)行總結(jié)，讓學(xué)生注意對這一方法的理解和掌握.整個探究的過程中，讓學(xué)生有充分獨立思考的空間，相比直接給出公式而言，重視推導(dǎo)的過程，也培養(yǎng)了學(xué)生的合作探究精神，符合本節(jié)課所設(shè)計的教學(xué)重難點，使學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力得到充分發(fā)展.

4.9.3 基于師生關(guān)系的教學(xué)反思

在傳統(tǒng)的教學(xué)課堂中，教師經(jīng)常以主導(dǎo)性的角色來參與教學(xué)活動，這樣是不利于形成良好的師生關(guān)系的，教師應(yīng)當(dāng)將學(xué)生當(dāng)作思考的主體，不能過分重視課堂的教學(xué)結(jié)果而忽視了與學(xué)生的互動，要盡可能讓每一名學(xué)生都能充分地參與到課堂之中.在“等比數(shù)列的前n項和公式”這一節(jié)的教學(xué)中，教師主要充當(dāng)引導(dǎo)者的角色，利用引導(dǎo)性的話語引發(fā)學(xué)生學(xué)會思考，回答教師所提出的問題，讓學(xué)生充分理解如何將式子變“加”為“減”，并從特殊到一般推導(dǎo)出等比數(shù)列的前n項和公式，由淺入深，層層遞進(jìn)，符合學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展特點，重視學(xué)生的主體地位，能夠幫助學(xué)生更好地理解等比數(shù)列的前n項和公式的由來，從而提升課堂教學(xué)的效果.

4.9.4 基于教學(xué)效果的教學(xué)反思

本節(jié)內(nèi)容屬于“等比數(shù)列”的第二課時，學(xué)生已經(jīng)了解了等比數(shù)列的特點、掌握了等比數(shù)列的通項公式，這都為本節(jié)推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項和公式奠定了基礎(chǔ).在本節(jié)課中，著重分析等比數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)過程，聯(lián)系了之前所學(xué)習(xí)的等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)過程，結(jié)合了學(xué)生已學(xué)的知識，能讓學(xué)生理解為什么可以把式子變“加”為“減”，也讓學(xué)生能夠更直觀地感受到等比數(shù)列求和公式的知識生成過程，使得新知識更易被學(xué)生所接受.其次，整節(jié)課重視學(xué)生的主體地位，讓學(xué)生親身經(jīng)歷去探索公式的推導(dǎo)過程，強調(diào)合作解決，盡可能讓每一名學(xué)生都能積極地思考，參與到課堂之中.

除此之外，本節(jié)課還設(shè)計了三道有針對性的練習(xí)，讓學(xué)生靈活運用等比數(shù)列的通項公式及前n項和公式，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運算能力.在課程的最后能夠及時總結(jié)，幫助學(xué)生回顧所學(xué)，而在作業(yè)布置方面，重視課本的課后練習(xí)，能讓學(xué)生鞏固所學(xué)同時有所提升.由此看來，本節(jié)課的課堂結(jié)構(gòu)完整，可在一定程度上提高數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的質(zhì)量，能達(dá)到良好的教學(xué)效果.

4.9.5 基于課程思政的教學(xué)反思

數(shù)學(xué)學(xué)科作為基礎(chǔ)教育階段最為重要的學(xué)科之一，將“課程思政”融入教學(xué)過程是必不可少的.因此，在實際的教學(xué)過程中，教師應(yīng)當(dāng)善于挖掘數(shù)學(xué)知識中所蘊含的思政元素，選擇適當(dāng)?shù)耐緩交蚍椒▽⒄n程思政融入到數(shù)學(xué)教學(xué)課堂中，從而達(dá)到既教書又育人的目的.

在本節(jié)的學(xué)習(xí)中，為了讓學(xué)生學(xué)到數(shù)學(xué)知識的同時思想境界也能得到一定的提升，在計算出麥粒數(shù)后，啟發(fā)學(xué)生學(xué)會珍惜糧食，讓學(xué)生能夠感受到數(shù)學(xué)與我們的現(xiàn)實生活是息息相關(guān)的，也能讓學(xué)生領(lǐng)會到農(nóng)民之不易.除此之外，在對等比數(shù)列的前n項和公式進(jìn)行推導(dǎo)時，對q= 1 和q≠1 的情況進(jìn)行分類，能夠體現(xiàn)辯證唯物主義的思想，讓學(xué)生學(xué)會用辯證的眼光去看待數(shù)學(xué)問題.這兩部分的內(nèi)容都體現(xiàn)了“課程思政”融入高中數(shù)學(xué)教學(xué)課堂，踐行了數(shù)學(xué)課堂立德樹人的目標(biāo)，能夠幫助學(xué)生形成正確的價值觀.

5 中小學(xué)數(shù)學(xué)線上教學(xué)內(nèi)容資源開發(fā)優(yōu)化建議

上述案例表明，在中小學(xué)數(shù)學(xué)線上教學(xué)內(nèi)容資源開發(fā)建設(shè)過程中，一是中小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)實踐中的重難點的匹配度與有用性以及使用者的滿意度呈現(xiàn)高度正相關(guān)，這就要求在建設(shè)時需強化中小學(xué)數(shù)學(xué)線上教學(xué)內(nèi)容資源對中小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)重難點的匹配度.中小學(xué)數(shù)學(xué)教師應(yīng)仔細(xì)研究《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》與《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017 年版2020 年修訂）》以及相應(yīng)的教材，在中小學(xué)數(shù)學(xué)線上教學(xué)內(nèi)容資源重難點與在線技術(shù)表現(xiàn)形式方面均應(yīng)與對應(yīng)的知識點具有高度的匹配度，才能更好地輔助、促進(jìn)和提升中小學(xué)數(shù)學(xué)線上教學(xué)的效果，獲得中小學(xué)數(shù)學(xué)教師更高的滿意度.

二是中小學(xué)數(shù)學(xué)線上教學(xué)內(nèi)容資源的豐富度與中小學(xué)數(shù)學(xué)教師的使用滿意度呈現(xiàn)高度正相關(guān)，在中小學(xué)數(shù)學(xué)線上教學(xué)內(nèi)容資源開發(fā)建設(shè)過程中注重在有效性基礎(chǔ)上提升其豐富度是非常重要的.上述的豐富度并非指供中小學(xué)數(shù)學(xué)教師使用的線上教學(xué)內(nèi)容資源庫數(shù)量龐大，而是指在線上教學(xué)內(nèi)容資源匹配度良好的基礎(chǔ)上，保證每一個中小學(xué)數(shù)學(xué)線上教學(xué)內(nèi)容資源的使用有效性.在單個線上教學(xué)內(nèi)容資源有效性的基礎(chǔ)上，豐富線上教學(xué)內(nèi)容資源的數(shù)量，使得有效的中小學(xué)數(shù)學(xué)線上教學(xué)內(nèi)容資源數(shù)量上能夠匹配與相應(yīng)教材同步的課程使用，同時也能滿足中小學(xué)數(shù)學(xué)教師的數(shù)學(xué)拓展課程的個性化教學(xué)需求.

三是應(yīng)優(yōu)先建設(shè)中小學(xué)數(shù)學(xué)師生共同需求程度較高的中小學(xué)數(shù)學(xué)線上內(nèi)容資源體系提升滿意度.通過師生對中小學(xué)數(shù)學(xué)線上教學(xué)內(nèi)容資源需求程度的差異分析，表明師生對中小學(xué)數(shù)學(xué)線上教學(xué)內(nèi)容資源的需求存在顯著差異，故優(yōu)先建設(shè)中小學(xué)數(shù)學(xué)師生共同需求程度較高的內(nèi)容資源體系是更為可靠的策略.中小學(xué)數(shù)學(xué)教師更在乎講課效率和質(zhì)量，目的性更強；而學(xué)生更在乎興趣和參與感，對功利目標(biāo)需求較弱.雙方對中小學(xué)數(shù)學(xué)課堂所需的魅力型、期望型、必備型內(nèi)容資源的需求和理解并不一致.