張亞新 浙江省杭州市安吉路良渚實驗學校

數(shù)學問題千變萬化，但是萬變不離其宗，許多問題可以通過對比找到其中變化的量，通過變化來激活學生的思維，發(fā)現(xiàn)一定的數(shù)學規(guī)律，對問題進行深入思考，從而把握問題的本質，再以不變的本質應對萬變的形式以及具體問題。

《義務教育數(shù)學課程標準》明確提出學生能“獲得適應社會生活和進一步發(fā)展所必需的數(shù)學的基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗”，在我們平時的教學實踐中尤其是低段教學中，對于基礎知識和技能，教師往往是比較重視的，也比較容易把握教學目標，但一些教師可能就不會再有所延伸或者拓展，這樣很容易忽視學生數(shù)學思想的培養(yǎng)。而在后面高段學習中，其實數(shù)學思想的體會與運用尤其重要。低段學生可能對復雜深度的數(shù)學思想理解有困難，但是教師不能“知難避難”，應該結合低段學生的年齡特點設計課堂教學，采用簡單活潑的活動形式讓學生初步感悟以及理解數(shù)學的基本思想與方法。

“變與不變”思想是小學數(shù)學的學習中一個重要的思想方法，許多數(shù)學問題的解決正是運用了這種思想。在小學數(shù)學教材中，“變與不變”的思想貫穿所有年級，也有很多“變與不變”的素材值得教師好好學習利用，促使學生獲得基本的數(shù)學思想。下面，從筆者的幾個教學案例看如何在小學低段的教學中滲透“變與不變”的數(shù)學思想。

一、“變與不變”思想在教學中的實踐

（一）運用“變與不變”思想體會數(shù)學概念

在小學數(shù)學的教學當中，數(shù)學概念是基礎知識，也是教學的核心內容，想要學習好數(shù)學的內容，前提是要有對數(shù)學概念的正確理解。數(shù)學的概念比較抽象難懂，小學數(shù)學學習中概念性知識比較多，小學生尤其低段學生由于其年齡特點，很難長時間集中注意力，對概念性內容興趣不高，可能會感覺枯燥乏味。在教學中，教師應該一邊滲透“變與不變”思想，一邊把學生的認知以及教學要求緊密地結合起來。在數(shù)學問題中可以找出其中的不變量，利用這些不變量來引導學生觀察分析變化量，學生在觀察分析對比的過程中，了解概念的內涵，能夠更好地體會概念的本質，并將之內化為自己的知識和經驗，靈活運用到解決問題的具體情境中去。

教學片段1：二年級《有余數(shù)的除法》（初步認識余數(shù)）

師：小朋友們，看看你們桌上有什么啊？

生：一堆小棒。

師：今天我們用這些小棒來研究一些數(shù)學問題。如果用這些小棒搭正方形，可以搭幾個？會有剩余嗎？有剩余的話會剩幾根呢？

學生猜測搭正方形可能是1 個、2 個、3 個、4 個……會剩下小棒7根、8根、3根、2根、1根、5根……教師直接把結果記錄在黑板上。

師：同桌兩人合作擺一擺，把擺出的結果寫在這張記錄表上。記錄表你們能看懂嗎？看不懂的舉手。

生：能看懂。左邊一列是小棒的根數(shù)，中間讓我們寫可以搭幾個正方形，右邊一欄寫剩了幾根小棒。

師：現(xiàn)在怎么填都明白了嗎？好，開始吧！

師：看看這個小組得到的結果，你們都是這樣的嗎？

生：是的，跟他們一樣的。

出示課件（圖1）

圖1

師：看，你們是不是這樣擺的？再看看這些剩余小棒的數(shù)量，它們有什么特點呢？

生：有剩1根的，還有剩2根、3根的。

生：有剩余的話，剩余的數(shù)量都是1根、2根、3根，沒有其他的了。

師追問：你觀察得真仔細。為什么沒有你們剛剛猜的4根？5根？誰能講清楚這個問題？

生：因為剩下4 根，就又能擺一個正方形了，如果剩5 根的話，可以再擺一個正方形還剩一根。所以剩不下4根，5根。

師：他說的你們聽懂了嗎？誰再來說一說。

師追問：他很會思考，再想想會不會剩6根、7根？

生：沒有，6根的話可以再擺一個正方形，剩2根。7根的話可以擺一個正方形，剩3根。

師：所以大家思考一個問題，擺一個正方形，最多會剩幾根小棒呢？

生：最多剩3根。

通過動手擺一擺、填一填，學生發(fā)現(xiàn)了剩余小棒數(shù)量是1 根、2 根、3 根，因為小棒總數(shù)是在變化的，所以剩余小棒數(shù)量變化了也不奇怪。但是為什么剩余的一直是1根、2根、3根？這時通過追問“剩余小棒的數(shù)量有沒有可能是4 根、5 根、6 根、7 根？”引發(fā)學生的思考，得出剩余小棒的數(shù)量即使再變化也不可能超過3 根，因為超過3 根后，又可以擺成正方形了。設計“用一些小棒搭正方形，可以搭幾個”的學習任務，組織引導學生在動腦猜想、動手操作的基礎上進行觀察、分析和比較，感知余數(shù)的產生以及余數(shù)的直觀意義。

教師在探索一些數(shù)學概念的過程中，要敢于試著創(chuàng)設多層面、多角度的數(shù)學情境，引導學生在豐富多彩的情境中辨析并且感悟“變中有不變”的思想，從研究對象中舍棄特殊的、非本質的屬性，得到相通的、本質的屬性。例如，在教學“幾分之一”這節(jié)課時，要引導學生深入體會分數(shù)的意義。課堂上可以設計一個小活動：你能用一張正方形紙折出它的四分之一嗎？學生自己動手去折去探索，活動完后全班一起分享自己折的“四分之一”?？赡軙腥鐖D2所示的以下的幾種情況。

圖2

教師追問：這些都表示四分之一嗎？按照平均分的理論，把一個物體平均分成4份，取其中的一份就是表示四分之一，這個分數(shù)是相同的，但是它出現(xiàn)的形式變了。利用豐富的數(shù)學素材或者情境鞏固幾分之一的概念，不管形式怎么變化，它的意義沒有變，這個分數(shù)也就沒變。因此在教學過程中，教師要充分注重數(shù)學思想和方法的科學準確應用，促進學生對數(shù)學概念的真正理解。

（二）運用“變與不變”思想感受數(shù)量關系

教學片段2：研究除數(shù)與余數(shù)的關系

師追問：剛剛我們是擺正方形，如果是擺五邊形的話，可能剩幾根？

學生回答：可能會剩余1根、2根、3根、4根。

師：所以擺五邊形，最多?！?根。

師追問：那擺三角形呢？

生：1根、2根，最多剩2根。

師：用小棒擺正方形，最多剩3 根；五邊形最多剩4 根；三角形最多剩2 根。那擺圖形時剩下的小棒根數(shù)和圖形的邊數(shù)有什么關系呢？你們能總結嗎？

生：剩余小棒根數(shù)少于圖形的邊數(shù)。

在剛剛的基礎上改變拼搭的圖形，實質上就是改變了圖形的邊數(shù)即算式里的除數(shù)，讓學生進一步想象、推理：用這些小棒搭三角形、五邊形、六邊形等多邊形，剩下的小棒根數(shù)和圖形的邊數(shù)之間有什么關系。學生會發(fā)現(xiàn)即使圖形在變、剩余小棒數(shù)量在變，但是他們對應的大小關系不變，在具象理解的基礎上再抽象成算式，并能用除法的模型進行初步建構與擴展，進一步體會除數(shù)與余數(shù)之間的關系。

圖3

教學片段3

師：繼續(xù)觀察這組算式，你有什么發(fā)現(xiàn)嗎？這里哪些不變，哪些是在變化的？

生：除數(shù)都是4。被除數(shù)在變大。

生：余數(shù)總是1，2，3。還有一些余數(shù)是0。

師：你們很會觀察，余數(shù)在變化是1，2，3，除數(shù)不變都是4，說明余數(shù)和除數(shù)有什么關系？

生：余數(shù)好像都比除數(shù)小。

生：除數(shù)比余數(shù)大。

師小結：在有余數(shù)的除法算式里面，余數(shù)都比除數(shù)小或者說除數(shù)比余數(shù)大。

在有余數(shù)的除法算式里，通過觀察對比這一組算式，能夠發(fā)現(xiàn)除數(shù)一直都沒變，因為除數(shù)代表的是圍成一個正方形所需要的小棒數(shù)量，是不會發(fā)生變化的。余數(shù)是在變化的，因為被除數(shù)變了，余數(shù)（剩余小棒數(shù)量）也發(fā)生相應的變化，但是它不會像被除數(shù)一樣一直變大，無論如何變化都比除數(shù)4 小。從而揭示了余數(shù)與除數(shù)的關系。

（三）運用“變與不變”思想探索數(shù)學規(guī)律

數(shù)學規(guī)律的發(fā)現(xiàn)考驗觀察能力以及思考能力，比如一年級的《找規(guī)律》這節(jié)課也蘊含著“變與不變”的數(shù)學思想，比較是數(shù)學思維和理解的基礎，我們可以通過比較以及對比的方法去觀察去發(fā)現(xiàn)。

教學片段3：一年級《找規(guī)律》課間操

師：小朋友們，老師帶大家做個游戲，你們想不想玩？

生：想。

師：那你們認真看哦，看誰反應最快，能跟得上我。

老師開始做動作。

第一組：拍手 拍手 拍肩 拍手 拍手 拍肩 拍手拍手 拍肩……

第二組：拍手 跺腳 跺腳 拍手 跺腳 跺腳 拍手跺腳 跺腳……

很多學生能夠跟著一起做。

師：你們怎么都會做了？

生：老師，你做的動作是有規(guī)律的。

師：誰也能像老師一樣，創(chuàng)造一組不一樣的來演一演？

領悟規(guī)律的內涵，就要先知道研究對象之間的關系或者聯(lián)系，對于年紀較小的兒童來說，事物之間比較容易理解的關系就是相同或者不同，也就是我們后面說的“變與不變”。在這組動作里面看似動作發(fā)生變化了，但是懂得觀察的孩子就會發(fā)現(xiàn)，變化的動作里面也有不變的，那就是《找規(guī)律》里面最關鍵的“一組”，這一組（可能是動作、圖形、數(shù)字）是不變的，是重復發(fā)生的。從變化里面找不變（重復），學生就容易找到規(guī)律了。找到規(guī)律后教師又讓學生自己創(chuàng)造規(guī)律，帶來新的重組、變化。

（四）運用“變與不變”思想建構數(shù)學模型

生活中的問題千變萬化，在這些問題里總有不變的數(shù)量和數(shù)量關系，有的問題中看似沒有，但實際上這些不變的數(shù)量或者關系常常隱含在題目所給的信息中，在解決問題時，教師應該引導學生盡量找到這些“不變量”，把它們作為突破口。小學教材中蘊含著許多關于“變與不變”的素材，教師在研讀教材時應該深入挖掘，在教學中無形滲透，幫助建構數(shù)學模型，解決看起來較為煩瑣復雜的問題，以此提高學生的數(shù)學素養(yǎng)。

以三年級上冊《多位數(shù)乘一位數(shù)》單元的解決問題為例。教材里的例題：媽媽買3個碗用了18元。如果買8 個同樣的碗，要用多少錢？教學這一問題時，教師往往是引導學生畫出能表示數(shù)量關系的示意圖，需要運用兩步解決的問題，教師都會問一句“這一題要先求什么”。但是真正教過的老師都會有同感，部分理解偏薄弱的學生對于這三個條件無從下手，理不清這三個量之間的關系。所以這時我們先帶學生溯源，為什么是“先求一個碗多少錢”？因為這個問題里其實有兩個情境，第一個是“3個碗用了18元”，第二個是“8個同樣的碗用的錢”，兩個情境其實是有聯(lián)系的，碗是一樣的，所以每個碗的價錢是一樣的也就是單價不變。我在教學這部分的內容時，問的第一個問題不是“先求什么”而是“在這個問題中，你們找到相同或者不變的量了嗎？”這里把不變的量作為突破口，一旦找到這個不變的量，問題就能迎刃而解。先要求出每份數(shù)，再求總數(shù)或份數(shù)的兩步計算解決問題，就是“歸一問題”的數(shù)學模型。

類似的還有這單元的“歸總問題”，教材里面的例題是“媽媽買6 元一個的碗，正好買6 個。用這些錢買9 元一個的碗可以買幾個？”這個題目同樣有兩個情境，一個是“買6 元一個的碗，正好買6 個”，然后是“用這些錢買9 元一個的碗可以買幾個”。在這兩個情境里面，碗的單價改變了，但還是有不變的量，那就是總價錢。所以用這個不變的量去溝通兩個情境，建立聯(lián)系，就能求出第二個情境的數(shù)量，從而建立“先求出總數(shù)是多少，再去解決具體問題”的歸總問題數(shù)學模型。

通過比較，引導學生找出不同事物共同的本質屬性，促進數(shù)學模型的建構。問題從情境中來，等到熟練運用“變與不變”的數(shù)學思想后，學生就會從不斷變化的情境中發(fā)現(xiàn)所有這些問題的結構、本質都是相同的，通過觀察、分析、比較、推理跳出具體情境，從具象的形式中抽象出其本質，促進學生思維的進一步發(fā)展。在數(shù)學教材中，無論是概念的引入、規(guī)律的探索或者模型的建構都蘊含著數(shù)學的基本思想方法，教師備課時一定要深入鉆研教材，挖掘出重要的數(shù)學思想方法。

二、運用“變中有不變”思想解決思維困感

教師在低段的教學中，如果能在平時滲透“變與不變”的思想，學生在日后或者高段更加有難度的數(shù)學學習中也會受益，對于一些比較難理解的知識點學生首先會從這一思想出發(fā)去思考。例如，積的變化規(guī)律、商的變化規(guī)律，這兩個課時都是所在單元的難點，尤其兩個課時學完做練習時，學生很容易把里面的兩個知識點混淆，即“什么情況下積不變、什么情況下商不變”。教學時有一點一定要讓學生體會到，如果是最后的結果不變，那么另外兩個能導致結果的元素必然是發(fā)生變化的，也就是我們所說的“變中有不變”。難點在于另外兩個元素分別怎么變化。在課堂教學中，通過舉例、對比一組組算式發(fā)現(xiàn)，如果要使積不變，那么兩個因數(shù)的變化趨勢必然是相反的。如果要使商不變，那么被除數(shù)和除數(shù)的變化趨勢是一致的。

我們周圍的世界每天都在發(fā)生變化，而變化又會帶來新鮮事物、帶來發(fā)展，作為一個老師更不應該拒絕變化，要跟著時代一起進步。但是在變化的同時，不忘初心，有時還是要回歸最本質最自然的狀態(tài)，在變化中尋求一種平衡，在平衡中繼續(xù)適應不斷變化的萬千世界。