杜佳星

（甘肅省靖遠縣第一中學(xué)，甘肅 靖遠）

數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)教育中的重點，能否掌握數(shù)學(xué)思想對于學(xué)生在數(shù)學(xué)領(lǐng)域的成長和未來發(fā)展有重要的影響。分類討論思想是解決高中數(shù)學(xué)各類數(shù)列、函數(shù)題目時應(yīng)用頻率較高的一種數(shù)學(xué)思想，是學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的有力手段，應(yīng)用分類討論思想可以為高中生解決數(shù)學(xué)問題提供一些思路和幫助。

相較于小學(xué)、初中階段的數(shù)學(xué)而言，高中階段的數(shù)學(xué)因為參數(shù)的增多、抽象性提高而表現(xiàn)出復(fù)雜的情況，如果還進行統(tǒng)一分析，很多學(xué)生很難理清復(fù)雜的題干關(guān)系。而分類討論思想之所以在高中數(shù)學(xué)教學(xué)和解題中受歡迎，是因為這種數(shù)學(xué)思想能夠幫助學(xué)生簡化題干關(guān)系，將一個問題分割成幾個小問題，這些小問題更容易理解和解決。

一、分類討論思想概述

分類討論思想是一種先分后合的數(shù)學(xué)分析思想，也是一種解決數(shù)學(xué)題目、完整回答問題的思路。在應(yīng)用分類討論方法解決抽象的數(shù)學(xué)問題時，將一個復(fù)雜的大問題按照統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)劃分為幾個小問題，逐一解決這些小問題可有效化簡大問題，提高問題的解決質(zhì)量和效率。

二、分類討論思想在高中數(shù)學(xué)中的舉例說明

（一）數(shù)列部分應(yīng)用分類討論思想

數(shù)列部分是高中數(shù)學(xué)的重點之一，在數(shù)學(xué)考試中占據(jù)一定的分?jǐn)?shù)比例。分類討論思想是高質(zhì)量、高效率解決數(shù)列部分問題的有力方法，應(yīng)用分類討論思想能夠幫助學(xué)生減小丟分的可能性。

例1.現(xiàn)有一等比數(shù)列，此數(shù)列中首項于題干中明確，但公比不確定設(shè)為系數(shù)a，求前N項的數(shù)值總和[1]。

這樣一個數(shù)列問題可以作為母本出N個數(shù)列題目，而學(xué)生可以從解決這個母本問題入手。現(xiàn)在，在沒有具體數(shù)列、首項的干擾下，分析這道數(shù)列問題。因題干中公比不確定，所以公比有兩種情況：一種是公比數(shù)值為1，另一種是公比數(shù)值不為1。當(dāng)公比數(shù)值為1時，那么所求的前N項的數(shù)值總和就是前N項的乘積；當(dāng)公比數(shù)值不為1時，那么所求的前N項的數(shù)值總和就是（首項+第N項）×N/2。數(shù)列問題本來并不困難，但很多學(xué)生在解題過程中會忽視第一種公比數(shù)值為1的情況，導(dǎo)致解題過程和答案不完整。如果學(xué)生能夠掌握分類討論的思想，將所遇到的問題按照統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)進行分類處理，就能夠有效降低回答不完整情況的概率。

（二）函數(shù)部分應(yīng)用分類討論思想

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的一個大類別，也是很多高中生很頭疼的一部分。單純的函數(shù)最值、極值、單調(diào)性等問題的解決已經(jīng)讓很多學(xué)生感到困難，如果函數(shù)中能夠有參數(shù)問題參與，那函數(shù)問題就會出現(xiàn)更加復(fù)雜的情況。關(guān)于這類問題，很多學(xué)生會運用分類討論思想對變化的因素進行分類討論，但對于“以誰為對象進行分類”“怎么分類”則把握不住，整個解題過程思路非?；靵y，解題錯誤或不完整幾乎成為必然。學(xué)生在這樣混亂的解題中并未感受到解決數(shù)學(xué)問題的快樂，反而覺得處處都是陷阱，又怎么會喜歡學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)呢。

解決這道函數(shù)題目，首先需要從f（x）=l n x-ax+得到函數(shù)m（x）=ax2-x-（a-1）與f′（x）在符號上是相反的[2]?，F(xiàn)在需要分析函數(shù)m（x）的特殊情況。函數(shù)m（x）的二次項系數(shù)內(nèi)含有參數(shù)，這里學(xué)生需要做分類討論。這一層次的分類討論所討論的是二次項系數(shù)a在不同情況下函數(shù)的零點，然后做符號判斷確定單調(diào)性。首先，當(dāng)二次項系數(shù)a=0時，函數(shù)被簡化為一次函數(shù)，零點、符號、單調(diào)性都迎刃而解；其次，當(dāng)二次項系數(shù)a≠0時，需要進行二次項因式分解，從而出現(xiàn)兩個零點，學(xué)生需要考慮兩個零點的變化。到了這里學(xué)生遇到了第二層需要分類討論的情況，那就是二次函數(shù)的開口方向。這一層次的分類討論所需要討論的是a>0和a<0的兩種情況。然后，當(dāng)兩個零點的大小關(guān)系不能確定的時候，學(xué)生還需要針對兩個零點的位置開展第三層分類討論，直至將這個函數(shù)的單調(diào)性問題討論清楚。在講解這類函數(shù)問題時，教師應(yīng)將分類討論的思想和分類討論的過程講解清楚，讓學(xué)生明白這里為什么要進行分類討論，按照怎樣的標(biāo)準(zhǔn)進行分類，對哪個討論對象進行分類討論，讓學(xué)生明白我們是在逐層討論問題。

本人與不少高中階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)困難的學(xué)生進行過深入的交談和分析，發(fā)現(xiàn)這些學(xué)生并不是對數(shù)學(xué)不感興趣，也不是上課不聽講，而是缺少正確的解題思路。當(dāng)學(xué)生沒有具備分類討論的思想時，講再多試題，學(xué)生還是不明白。高中數(shù)學(xué)解題的突破關(guān)鍵在于讓學(xué)生明白，為什么在這里我們要用這種方法和這個公式。