胡純嚴(yán)，胡良平，2*

（1.軍事科學(xué)院研究生院，北京 100850；2.世界中醫(yī)藥學(xué)會(huì)聯(lián)合會(huì)臨床科研統(tǒng)計(jì)學(xué)專(zhuān)業(yè)委員會(huì)，北京 100029

在運(yùn)用統(tǒng)計(jì)學(xué)的過(guò)程中，離不開(kāi)一些基本的統(tǒng)計(jì)量，例如平均指標(biāo)（算術(shù)平均值、幾何平均值、中位數(shù)等）和變異指標(biāo)（方差、標(biāo)準(zhǔn)差、標(biāo)準(zhǔn)誤等）等；也離不開(kāi)一些基本的分析方法，例如差異性分析、相關(guān)分析、關(guān)聯(lián)分析、回歸分析、聚類(lèi)分析和判別分析等。其中，“方差”和“方差分析（或稱為F檢驗(yàn)）”在統(tǒng)計(jì)學(xué)中具有重要的作用。本文將對(duì)方差分析的內(nèi)容進(jìn)行介紹。

1 與方差分析有關(guān)的基本概念

1.1 方差的定義

設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量，又設(shè)E（X）是隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望（即算術(shù)平均值），若E（X2）存在，則稱由式（1）定義的V（X）為X的總體方差（簡(jiǎn)稱為方差）[1-2]，通常記為V（X）或Va（rX）或σ2。

方差V（X）的單位是隨機(jī)變量X的單位的平方，故在實(shí)際應(yīng)用時(shí)，常取其算術(shù)平方根，令稱其為標(biāo)準(zhǔn)差或均方差。顯然，標(biāo)準(zhǔn)差σ與隨機(jī)變量X具有相同的量綱。

設(shè)x1，…，xn是從特定總體中隨機(jī)抽取的樣本含量為n的一個(gè)樣本，并設(shè)為該樣本的樣本均值，則樣本方差由式（2）給出：

設(shè)總體中個(gè)體的數(shù)目為N，觀測(cè)指標(biāo)為X，其總體平均值為μ，總體方差也可由式（3）給出：

由數(shù)理統(tǒng)計(jì)知識(shí)可知：E（s2）=σ2，即樣本方差是總體方差的無(wú)偏估計(jì)量。

1.2 方差的性質(zhì)

隨機(jī)變量X的方差V（X）具有如下性質(zhì)：其一，設(shè)X=C（常數(shù)），則V（X）=0，即常數(shù)的方差為零。其二，設(shè)Y=CX（C為常數(shù)、X為隨機(jī)變量），則V（Y）=C2V（X），即常數(shù)與隨機(jī)變量之積的方差等于該常數(shù)的平方與該隨機(jī)變量的方差之積。其三，設(shè)A、B是兩個(gè)不相等的常數(shù)，則V（AX+B）=A2V（X）。其四，V（X）=E（X2）－[E（X）]2。其五，設(shè)X1與X2是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，則V（X1+X2）=V（X1）+V（X2），即兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量之和的方差等于它們各自方差之和[1-2]。這個(gè)性質(zhì)可以推廣到n個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，即設(shè)X1，…，Xn相互獨(dú)立，則有下式成立：

1.3 方差的意義

一個(gè)隨機(jī)變量的期望值（即均值）只能反映該隨機(jī)變量平均取值的大小，而無(wú)法反映其取值的波動(dòng)情況；方差是用來(lái)刻畫(huà)一個(gè)隨機(jī)變量的全部取值圍繞其期望值波動(dòng)程度大小的變異指標(biāo)之一。雖然有類(lèi)似功能的變異指標(biāo)還包括標(biāo)準(zhǔn)差、變異系數(shù)和四分位數(shù)間距，但它們的應(yīng)用場(chǎng)合遠(yuǎn)遠(yuǎn)少于方差。其根本原因在于方差中的主要部分是離均差平方和，人們可以依據(jù)資料中所包含的“變異來(lái)源的數(shù)目”對(duì)其進(jìn)行分解，從而揭示因各變異來(lái)源所引起的數(shù)據(jù)波動(dòng)的大小。尤其是在對(duì)調(diào)查資料進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析時(shí)，當(dāng)計(jì)算得出調(diào)查結(jié)果估計(jì)量之后，需要知道其估計(jì)的精度是多少，而精度最常用的度量是調(diào)查估計(jì)量的方差[3]。

1.4 方差分析的內(nèi)容

1.4.1 方差的估計(jì)

對(duì)于來(lái)自復(fù)雜抽樣設(shè)計(jì)的資料，研究者關(guān)注的是調(diào)查結(jié)果的方差大小，這就是方差估計(jì)問(wèn)題[3]。由于調(diào)查結(jié)果的精度受抽樣調(diào)查設(shè)計(jì)類(lèi)型、樣本含量、調(diào)查結(jié)果資料性質(zhì)等因素的影響，故調(diào)查結(jié)果估計(jì)量的方差估計(jì)問(wèn)題是一個(gè)非常復(fù)雜的統(tǒng)計(jì)學(xué)問(wèn)題[3]。

1.4.2 方差的比較

方差的比較包括兩方面內(nèi)容：其一，比較地位平等的兩個(gè)或多個(gè)方差之間的差別是否有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義，以推斷它們所代表的兩個(gè)或多個(gè)總體的方差是否相等。與此研究目的對(duì)應(yīng)的假設(shè)檢驗(yàn)被稱為方差齊性檢驗(yàn)[4-5]。其二，比較地位可能不平等的兩個(gè)或多個(gè)方差（例如某因素各水平組間方差與組內(nèi)方差、某因素各水平組間方差與包含該因素的統(tǒng)計(jì)模型的誤差的方差）之間的差別是否有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義，以推斷不同變異來(lái)源對(duì)試驗(yàn)結(jié)果平均效應(yīng)的影響是否有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。第二方面的內(nèi)容就是基于均值比較的方差分析，通常被稱為一元或多元單因素方差分析或多因素方差分析[6-7]。

在前述提及的第二方面內(nèi)容中，若觀測(cè)結(jié)果變量為定量變量且構(gòu)建的回歸模型是多重線性回歸模型，基于兩個(gè)嵌套回歸模型（其中一個(gè)為包含所有自變量的全模型、另一個(gè)為僅包含部分自變量的部分模型）的殘差方差的比較，可推斷出是否可用部分模型取代全模型[6]。

2 方差分析的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)——F分布

2.1 F分布的歷史

F分布是一種連續(xù)型分布，它不僅是方差分析的基礎(chǔ)，還與正態(tài)分布、χ2分布和t分布都有密切聯(lián)系。最初，人們是通過(guò)研究組間方差與組內(nèi)方差之比入手的。Fisher于1924年發(fā)現(xiàn)方差比有一個(gè)分布，并以的形式來(lái)編表。

2.2 F分布的定義

在式（5）中，F(xiàn)的分布稱為分子和分母的自由度分別為m和n的F分布[8]，并記作F～Fm，n。F分布的密度函數(shù)見(jiàn)式（6）：

2.3 F分布的性質(zhì)

2.3.1 概率密度函數(shù)的圖形

在f（x；m，n）中，m為分子的自由度，n為分母的自由度，當(dāng)m=10，n分別取4、10、50、∞時(shí)，F(xiàn)分布的概率密度函數(shù)圖形見(jiàn)圖1；當(dāng)n=10，m分別取4、10、50、∞時(shí)，F(xiàn)分布的概率密度函數(shù)圖形見(jiàn)圖2。

圖1 第一組條件下F分布概率密度函數(shù)圖形

圖2 第二組條件下F分布概率密度函數(shù)圖形

F分布概率密度函數(shù)圖形特點(diǎn)如下：①f（x；m，n）的形狀受分子和分母自由度的影響，固定其中一個(gè)自由度，改變另一個(gè)自由度，可以得到兩簇密度函數(shù)曲線；②單側(cè)F分布表用于方差分析，雙側(cè)F分布表用于兩總體方差齊性檢驗(yàn)。

通常是已知右側(cè)尾端概率p（單側(cè)）或雙側(cè)尾端概率p（雙側(cè)）、分子和分母的自由度m和n，去查F分布的分位數(shù)（也稱為臨界值）。單、雙側(cè)時(shí)，分別由式（8）和式（9）來(lái)確定橫軸上的分位數(shù)F。

雙側(cè)時(shí)，左側(cè)分位數(shù)F可由下式算出：，它通常小于1，而在計(jì)算兩樣本方差比時(shí)，特意將較大方差放在分子上，故用于檢驗(yàn)兩總體方差齊性的F統(tǒng)計(jì)量的值通常大于等于1。因此，制表時(shí)，即使是雙側(cè)分位數(shù)，也只列出右側(cè)的分位數(shù)，省略了左側(cè)的分位數(shù)。

2.3.2 倒數(shù)變換后的隨機(jī)變量仍服從F分布

服從F分布的隨機(jī)變量的倒數(shù)仍是服從F分布的隨機(jī)變量，但需要調(diào)換分子與分母的自由度，即若X～Fm，n，Y=1/X，則有下式：

2.3.3 F分布與其他分布之聯(lián)系

若 X～tn，則 X2～F1，n；若，則 X～mFm，∞；若 X～z（標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量），則X2～F1，∞?？偨Y(jié)上述關(guān)系，可得到式（11）：

在應(yīng)用中，利用上述關(guān)系有時(shí)可將一種檢驗(yàn)轉(zhuǎn)化為另一種檢驗(yàn)，或用來(lái)核對(duì)計(jì)算是否正確。

2.3.4 服從F分布的隨機(jī)變量經(jīng)對(duì)數(shù)變換后服從正態(tài)分布

若 X～Fm，n，令Zm，n＝lnX，則當(dāng)m和n都較大時(shí)，Zm，n的分布近似于式（12）：

3 方差分析在差異性檢驗(yàn)中的應(yīng)用

3.1 用于均值比較的方差分析

在分析試驗(yàn)資料時(shí)，若觀測(cè)結(jié)果為定量資料，一個(gè)最常見(jiàn)的分析目的就是比較某試驗(yàn)因素在不同水平條件下定量觀測(cè)指標(biāo)平均值之間的差別是否有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。在單因素試驗(yàn)研究場(chǎng)合下，需要進(jìn)一步考察試驗(yàn)設(shè)計(jì)的具體類(lèi)型和定量資料所滿足的前提條件，方可選擇合適的差異性檢驗(yàn)方法。通常，單因素試驗(yàn)設(shè)計(jì)類(lèi)型可分為以下四種：?jiǎn)谓M設(shè)計(jì)、配對(duì)設(shè)計(jì)、成組設(shè)計(jì)和單因素多水平設(shè)計(jì)；定量資料可分為滿足和不滿足參數(shù)檢驗(yàn)前提條件（即獨(dú)立性、正態(tài)性和方差齊性）這兩種情形。

當(dāng)定量資料滿足參數(shù)檢驗(yàn)的前提條件且設(shè)計(jì)類(lèi)型為“單組設(shè)計(jì)、配對(duì)設(shè)計(jì)和成組設(shè)計(jì)”三種時(shí)，人們習(xí)慣于選擇基于t分布為理論依據(jù)的t檢驗(yàn)；而當(dāng)定量資料滿足參數(shù)檢驗(yàn)的前提條件且設(shè)計(jì)類(lèi)型為“單因素多水平設(shè)計(jì)”時(shí)，統(tǒng)計(jì)學(xué)上要求進(jìn)行方差分析。

在多因素試驗(yàn)研究場(chǎng)合下，當(dāng)定量資料滿足參數(shù)檢驗(yàn)的前提條件且設(shè)計(jì)類(lèi)型為“某種特定的多因素設(shè)計(jì)”時(shí)，統(tǒng)計(jì)學(xué)上強(qiáng)調(diào)必須選用與特定設(shè)計(jì)類(lèi)型對(duì)應(yīng)的方差分析方法處理定量資料。常見(jiàn)的多因素試驗(yàn)設(shè)計(jì)類(lèi)型包括隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)、拉丁方設(shè)計(jì)、交叉設(shè)計(jì)、析因設(shè)計(jì)、嵌套（或系統(tǒng)分組）設(shè)計(jì)、具有重復(fù)測(cè)量因素的設(shè)計(jì)和正交設(shè)計(jì)等。

3.2 用于方差比較的方差分析

實(shí)施用于均值比較的方差分析的一個(gè)重要前提條件是方差齊性，即某試驗(yàn)因素各水平組總體方差相等。SAS/STAT的GLM過(guò)程中介紹了4種方差齊性檢驗(yàn)方法：Bartlett’sχ2檢驗(yàn)、Levene’sF檢驗(yàn)、O′Brien’sF檢驗(yàn)以及Brown和Forsythe提出的F檢驗(yàn)方法。另外，基于兩樣本方差之比構(gòu)造出檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量來(lái)推斷兩總體方差是否相等的檢驗(yàn)方法，也屬于用于方差比較的方差分析。

3.3 用于線性回歸模型評(píng)價(jià)的方差分析

假定在一個(gè)包含k（k≥2）個(gè)自變量和一個(gè)定量因變量且樣本含量為n的統(tǒng)計(jì)資料中，先構(gòu)建一個(gè)包含全部k（k≥2）個(gè)自變量（假定每個(gè)自變量都以一次方形式出現(xiàn)，未引入任何派生自變量）的多重線性回歸模型，得到其殘差的離差平方和記為SSFR，自由度記為dfFR；依據(jù)專(zhuān)業(yè)知識(shí)，從k（k≥2）個(gè)自變量中取出m（m

在式（13）中，F(xiàn)服從分子與分母自由度分別為df1和dfFR的F分布；?=SSPR－SSFR，df1=dfPR－dfFR。若檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量F值大于臨界值則表明不能采用簡(jiǎn)化回歸模型取代全模型，反之亦然。

4 基于均值比較的方差分析的基本思想

4.1 概述

方差分析的基本思想是對(duì)定量結(jié)果變量Y的總離均差平方和的分解。分解出來(lái)的項(xiàng)數(shù)為所考查的影響因素（包含擬考查的因素之間的交互作用項(xiàng)）的項(xiàng)數(shù)加一個(gè)誤差項(xiàng)。由于基于均值比較的方差分析與試驗(yàn)設(shè)計(jì)類(lèi)型和擬考查的交互作用項(xiàng)數(shù)有密切關(guān)系，故對(duì)定量結(jié)果變量Y的總離均差平方和的分解結(jié)果將會(huì)隨具體情況而變化。下面給出兩種常見(jiàn)試驗(yàn)設(shè)計(jì)類(lèi)型對(duì)應(yīng)的總離均差平方和分解的樣例。

4.2 單因素多水平設(shè)計(jì)一元定量資料總離均差平方和的分解

設(shè)試驗(yàn)因素A有k個(gè)水平，各水平下獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)次數(shù)為nj（j=1，2，…，k）；又設(shè)在第j個(gè)水平下第i（j=1，2，…，nj）次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)結(jié)果為Yij，設(shè)該水平條件下Y的平均值為；再設(shè)定量結(jié)果變量Y的總均值為Yˉ..。則定量結(jié)果變量Y的總離均差平方和的分解結(jié)果見(jiàn)式（14）：

在式（14）中，SSA和SSE分別代表因素A和誤差E的離均差平方和，表達(dá)式見(jiàn)式（15）、式（16）：

4.3 隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)一元定量資料總離均差平方和的分解

設(shè)試驗(yàn)因素A有k個(gè)水平，區(qū)組因素B有c個(gè)水平，試驗(yàn)因素A各水平下都獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)c次；又設(shè)在第j個(gè)水平下第i（i=1，2，…，c）次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)結(jié)果為Yij；再設(shè)定量結(jié)果變量Y的總均值為則定量結(jié)果變量Y的總離均差平方和的分解結(jié)果見(jiàn)式（17）：

在式（17）中，SSA、SSB和SSE分別代表因素A、因素B和誤差E的離均差平方和，具體表達(dá)式見(jiàn)式（18）、式（19）、式（20）：

4.4 檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量F的構(gòu)造

在總離均差平方和被正確分解之后，進(jìn)行方差分析就需要構(gòu)造出檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量F，然后基于樣本數(shù)據(jù)計(jì)算出檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量F的值，再依據(jù)F分布做出接受或拒絕無(wú)效假設(shè)的結(jié)論。也就是說(shuō)，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量F是與特定無(wú)效假設(shè)和備擇假設(shè)相對(duì)應(yīng)的。

4.4.1 與單因素多水平設(shè)計(jì)一元定量資料對(duì)應(yīng)的方差分析

第一步，建立檢驗(yàn)假設(shè)。H0：因素A各水平下定量觀測(cè)結(jié)果Y的平均值相等；H1：因素A各水平下定量觀測(cè)結(jié)果Y的平均值不等或不全相等；給定顯著性水平α的值，通常取α=0.05。

第二步，構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量F，見(jiàn)式（21），其中n為總樣本含量，F(xiàn)服從分子與分母自由度分別為（k－1）與（n－k）的F分布。

第三步，做出統(tǒng)計(jì)結(jié)論。計(jì)算出檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量F的值，若F大于等于F分布下右側(cè)尾端概率為α=0.05對(duì)應(yīng)的臨界值，可得出拒絕無(wú)效假設(shè)H0、接受備擇假設(shè)H1的統(tǒng)計(jì)結(jié)論。

4.4.2 與隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)一元定量資料對(duì)應(yīng)的方差分析

與“第4.4.1節(jié)”步驟基本相同，不同的是需要構(gòu)造兩個(gè)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，分別用于檢驗(yàn)因素A和因素B。因篇幅所限，現(xiàn)將兩個(gè)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量扼要呈現(xiàn)如下，見(jiàn)式（22）、式（23）：

5 討論與小結(jié)

5.1 討論

總離均差平方和的分解方法不是唯一的，它與分解方法所依據(jù)的統(tǒng)計(jì)假設(shè)密切相關(guān)。在SAS/STAT的GLM過(guò)程[5]中，基于一般線性模型的理論進(jìn)行方差分析時(shí)，對(duì)總離均差平方和給出了四種分解方法，分別為I型、II型、III型和IV型離均差平方和。在對(duì)多因素輕度非平衡（不同試驗(yàn)因素水平組合條件下獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)次數(shù)不等，但沒(méi)有一種組合條件下重復(fù)試驗(yàn)次數(shù)為0）試驗(yàn)設(shè)計(jì)定量資料進(jìn)行方差分析時(shí)，基于四型離均差平方和所得到的方差分析結(jié)果不盡相同（此時(shí)，III型和IV型離均差平方和所對(duì)應(yīng)的方差分析結(jié)果相同）；尤其是在嚴(yán)重非平衡（不同試驗(yàn)因素水平組合條件下獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)次數(shù)不等，且部分組合條件下重復(fù)試驗(yàn)次數(shù)為0）試驗(yàn)設(shè)計(jì)條件下，基于四型離均差平方和所得到的方差分析結(jié)果幾乎完全不同。

雖然方差分析可用于分析多因素試驗(yàn)研究資料，但它一般是由多次F檢驗(yàn)組成的。因?yàn)槊看蜦檢驗(yàn)都只針對(duì)一個(gè)因素或交互作用項(xiàng)；而當(dāng)某因素的水平數(shù)大于2，且當(dāng)F檢驗(yàn)的結(jié)果為該因素的全部水平條件下定量結(jié)果變量的均值之間差異有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義時(shí)，還需要進(jìn)行多重比較。一般來(lái)說(shuō)，不適合采用簡(jiǎn)單的t檢驗(yàn)[9-10]進(jìn)行多重比較，而需要根據(jù)不同的要求和精度，從眾多的多重比較方法中選用最符合分析要求的方法[5]。

5.2 小結(jié)

本文介紹了與方差分析有關(guān)的內(nèi)容，包括基本概念、方差分析的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)——F分布、方差分析在差異性檢驗(yàn)中的應(yīng)用場(chǎng)合以及基于均值比較的方差分析的基本思想。最后，在討論部分中提出了“四型離均差平方和”的概念。之所以介紹這些在常規(guī)統(tǒng)計(jì)學(xué)教科書(shū)中幾乎未曾提及過(guò)的內(nèi)容，以引起讀者的興趣和思考。