摘要：空間觀念的核心是空間想象，本質(zhì)是形成空間思維，想象和思維連接并直達(dá)創(chuàng)新與創(chuàng)造。如果沒(méi)有適當(dāng)訓(xùn)練，大多數(shù)人的空間觀念只能停留在原始層面而得不到發(fā)展?！白鰯?shù)學(xué)”是促進(jìn)學(xué)生空間觀念發(fā)展的重要途徑，學(xué)生運(yùn)用材料和工具在手腦并用的具身學(xué)習(xí)中，對(duì)空間圖形及其關(guān)系產(chǎn)生直覺(jué)，理解數(shù)學(xué)知識(shí)，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)關(guān)系，創(chuàng)造性解決問(wèn)題，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)?！白鰯?shù)學(xué)”促進(jìn)學(xué)生空間思維進(jìn)階的基本樣態(tài)是操作體驗(yàn)、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)和綜合實(shí)踐，通過(guò)“實(shí)物識(shí)別”“認(rèn)識(shí)圖形”“分析圖形”“解構(gòu)圖形”等活動(dòng)，幫助學(xué)生建立空間表象，發(fā)展空間想象，形成空間推理。

關(guān)鍵詞：“做數(shù)學(xué)”? 空間觀念? 操作體驗(yàn)? 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)

引用格式：孫學(xué)東.“做數(shù)學(xué)”促進(jìn)學(xué)生空間觀念發(fā)展[J].教學(xué)與管理，2022（06）：90-93.

空間觀念是個(gè)體對(duì)空間、圖形及其關(guān)系的直覺(jué)，是一種對(duì)四周環(huán)境及對(duì)環(huán)境中物體形狀的幾何觀點(diǎn)。現(xiàn)實(shí)中，空間觀念所啟示的對(duì)象及結(jié)果有趣且有重要價(jià)值，已經(jīng)滲透到數(shù)學(xué)領(lǐng)域。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的普及，幾何語(yǔ)言成為日常生活中非常重要的工具，也促進(jìn)了空間觀念在其他領(lǐng)域的廣泛遷移。事實(shí)上，空間觀念的核心是空間想象，本質(zhì)是形成空間思維，想象和思維連接并直達(dá)創(chuàng)新與創(chuàng)造。因此，相對(duì)傳統(tǒng)意義上的數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何，空間觀念的發(fā)展對(duì)義務(wù)教育階段學(xué)生而言是更為迫切的需要。

一、“做數(shù)學(xué)”在學(xué)生空間觀念發(fā)展中的作用

一線數(shù)學(xué)教育工作者往往認(rèn)為：“學(xué)生空間觀念的差異是天生的，后天難以改變?！毖芯勘砻?，如果沒(méi)有適當(dāng)?shù)挠?xùn)練，大多數(shù)人的空間觀念是不會(huì)發(fā)展的，只能停留在原始的層面上[1]。中小學(xué)生空間思維的差異很大，比如用平面截正方體后所得截面的形狀，空間思維能力好的學(xué)生理所當(dāng)然認(rèn)為可以有三角形、四邊形、五邊形和六邊形;大部分學(xué)生會(huì)認(rèn)識(shí)到除了四邊形，還可能有三角形;而空間思維能力較弱的學(xué)生無(wú)論如何只能想到四邊形。

學(xué)生形成空間觀念的困難在于：難以直接感知周?chē)h(huán)境和實(shí)際物體，難以領(lǐng)悟二維圖形與三維圖形及其相互關(guān)系，難以感悟圖形變換及其性質(zhì)。如同不可能讓學(xué)生在書(shū)本里學(xué)會(huì)游泳，在PPT里發(fā)現(xiàn)理化生實(shí)驗(yàn)結(jié)果一樣，發(fā)展學(xué)生空間觀念不可能只通過(guò)教師講解和反復(fù)解題，更需要學(xué)生的動(dòng)手操作和親身體驗(yàn)。正如弗賴(lài)登塔爾在論及空間思維的發(fā)展時(shí)所說(shuō)：“把學(xué)生在物理空間的具體活動(dòng)，通過(guò)抽象、繪圖、做出模型等有限步驟達(dá)到幾何直覺(jué)的最高階段的道路清晰描繪出來(lái)，是有巨大的教育學(xué)方面的好處的。”

“做數(shù)學(xué)”是以“做”為支架的一種數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)，學(xué)生運(yùn)用材料和工具，在手腦協(xié)同的過(guò)程中，理解數(shù)學(xué)知識(shí)，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律，創(chuàng)造性解決問(wèn)題，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)[2]。由此看來(lái)，“做數(shù)學(xué)”于發(fā)展學(xué)生空間觀念而言并不是新鮮的學(xué)習(xí)方式，而是必然的學(xué)習(xí)需求，只是“聽(tīng)中記”“題中熟”的學(xué)習(xí)方式泛濫，淹沒(méi)了應(yīng)有之意的“做數(shù)學(xué)”。

二、“做數(shù)學(xué)”發(fā)展學(xué)生空間觀念的要求

空間觀念由一系列通過(guò)構(gòu)建與運(yùn)用心像來(lái)表征空間物體、關(guān)系與變換的認(rèn)識(shí)過(guò)程組成，學(xué)生空間觀念的發(fā)展需經(jīng)過(guò)對(duì)他們所看到的圖形形狀及特征的了解、抽象、概括、分析與綜合的過(guò)程，因此，只有在充分認(rèn)識(shí)幾何世界的基礎(chǔ)上，學(xué)生的空間觀念才可能更為完備?？臻g觀念的發(fā)展是一個(gè)思維進(jìn)階的過(guò)程，表現(xiàn)為空間感知、空間表象、空間想象和空間推理等認(rèn)知水平的階段性遞進(jìn)發(fā)展。

不同認(rèn)知階段學(xué)生空間觀念發(fā)展的任務(wù)和內(nèi)容載體不同，“做數(shù)學(xué)”的任務(wù)、活動(dòng)及必要工具也不同（見(jiàn)表1）。

三、“做數(shù)學(xué)”促進(jìn)學(xué)生空間思維進(jìn)階的基本形態(tài)

“做數(shù)學(xué)”通過(guò)操作體驗(yàn)、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)及綜合實(shí)踐等形式，經(jīng)過(guò)實(shí)物識(shí)別、認(rèn)識(shí)圖形、分析圖形和解構(gòu)圖形的過(guò)程，實(shí)現(xiàn)空間思維進(jìn)階（如圖1）。以學(xué)生空間思維的階段性表征為線索，闡述“做數(shù)學(xué)”在發(fā)展學(xué)生空間思維中的實(shí)踐內(nèi)涵及價(jià)值效果。

1.操作體驗(yàn)：操作實(shí)物，建立空間表象

空間表象的基礎(chǔ)是空間感知，即在大量空間知覺(jué)的基礎(chǔ)上，形成關(guān)于物體和圖形的形狀、大小及相互位置關(guān)系的印象。“兒童的智慧在指尖”，然而數(shù)學(xué)對(duì)象及內(nèi)容的高度抽象性，容易忽視小學(xué)低年級(jí)學(xué)生的認(rèn)知需要經(jīng)歷對(duì)實(shí)物的觀察、觸摸和描畫(huà)等直觀感知階段。忽視這一點(diǎn)，實(shí)際是忽視了學(xué)生由具體到抽象的空間感知和圖形抽象的過(guò)程，如此學(xué)生圖形識(shí)別等空間表象能力的發(fā)展就會(huì)受到制約。比如正方體的主視圖，學(xué)生實(shí)際認(rèn)可的往往是圖2，至于后期解決類(lèi)似問(wèn)題時(shí)又認(rèn)為是正方形，多是在習(xí)題的反復(fù)訓(xùn)練中記憶與模仿的結(jié)果。

操作實(shí)際物體，可以讓學(xué)生在“做”中真實(shí)而深刻地認(rèn)識(shí)圖形、理解圖形，真正意義上完整地經(jīng)歷感知空間—抽象圖形—建立空間表象的過(guò)程。

案例1.把平的面請(qǐng)到紙上

目標(biāo)：經(jīng)歷空間圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形的過(guò)程。

實(shí)物：積木、印泥和釘子板等。

步驟：（1）印一印、描一描。用印或描的方法將積木的面請(qǐng)到紙上。（2）分一分。將印或描出來(lái)的圖形分類(lèi)，并命名。（3）圍一圍。在釘子板上將印或描出的圖形用橡皮筋圍出來(lái)。

案例2.“折出”正方形和長(zhǎng)方形的特點(diǎn)

目標(biāo)：通過(guò)實(shí)踐操作，發(fā)現(xiàn)正方形和長(zhǎng)方形的特點(diǎn)，同時(shí)積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

實(shí)物：彩紙、直尺、三角板和釘子板等。

步驟：（1）折一折、量一量。通過(guò)折正方形、長(zhǎng)方形，觀察邊和角的特點(diǎn)，再用直尺、三角板測(cè)量驗(yàn)證。（2）圍一圍。在釘子板上用橡皮筋圍出正方形和長(zhǎng)方形，通過(guò)移動(dòng)橡皮筋將正方形和長(zhǎng)方形分別變?yōu)殚L(zhǎng)方形和正方形。（3）說(shuō)一說(shuō)。說(shuō)出前兩個(gè)活動(dòng)中自己的發(fā)現(xiàn)、可能的理由。能不能用釘子板圍一個(gè)圓？

操作體驗(yàn)促進(jìn)空間思維發(fā)展的內(nèi)涵：案例1用積木印出一些面，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從立體到平面、從具體到抽象的過(guò)程，以此認(rèn)識(shí)基本的平面圖形。在這些具體的實(shí)驗(yàn)活動(dòng)中學(xué)生領(lǐng)悟到周?chē)h(huán)境中的立體實(shí)物有不同的面，這些面通過(guò)描畫(huà)在紙上，就抽象為數(shù)學(xué)的研究對(duì)象。案例2用折一折、量一量、圍一圍的實(shí)驗(yàn)探索長(zhǎng)方形和正方形的特點(diǎn)，進(jìn)一步從性質(zhì)特征的角度加深對(duì)圖形的認(rèn)識(shí)。同時(shí)也積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，即以后再研究其他圖形特征時(shí)可以通過(guò)類(lèi)似的方式研究圖形的邊、角關(guān)系。

認(rèn)識(shí)圖形是一個(gè)感知、抽象的過(guò)程，不僅是讓學(xué)生區(qū)別圖形和名稱(chēng)概念，更重要的是通過(guò)認(rèn)識(shí)圖形學(xué)會(huì)根據(jù)圖形特點(diǎn)進(jìn)行分類(lèi)。學(xué)生容易區(qū)分差異大的圖形，比如三角形和四邊形;差異較小的圖形區(qū)分就有困難，比如長(zhǎng)方形和正方形。正方形是長(zhǎng)方形的特例，僅僅記住定義是不行的，必須動(dòng)手操作，在操作的過(guò)程中從本質(zhì)上認(rèn)識(shí)圖形的特征，積累包括思維層面、實(shí)踐層面的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。這些特征往往是圖形間對(duì)比的結(jié)果，這種對(duì)比是分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)建立的過(guò)程，比如釘子板能?chē)鰣A嗎？

2.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)：實(shí)驗(yàn)思考，發(fā)展空間想象

心理學(xué)把人對(duì)頭腦中已有表象進(jìn)行改造，創(chuàng)造出新形象的過(guò)程稱(chēng)作想象。沒(méi)有想象，很難談到對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的了解與把握，很難談到發(fā)明與創(chuàng)造，因此發(fā)展學(xué)生的空間觀念一定要重視想象?？臻g想象就是以現(xiàn)實(shí)世界為背景，對(duì)頭腦中已有的幾何表象進(jìn)行加工改造，創(chuàng)造新形象的過(guò)程?？臻g想象是建立空間觀念的核心，它表征為建立并操縱二維和三維物體的心智，從不同角度觀察物體的能力，既包括從現(xiàn)實(shí)物體到平面圖形的抽象，也包括從平面圖形到現(xiàn)實(shí)物體的想象。

案例3 .從不同方向觀察物體

實(shí)驗(yàn)?zāi)繕?biāo)：經(jīng)歷不同方向觀察物體的過(guò)程，把三維空間的圖形轉(zhuǎn)化為二維圖形;由平面圖形想象空間圖形，實(shí)現(xiàn)二維向三維的轉(zhuǎn)化。

實(shí)驗(yàn)工具：正方體、圓柱體、長(zhǎng)方體、圓錐、三棱錐、四棱錐等積木若干，正方形塑料片若干，橡皮泥若干。

實(shí)驗(yàn)步驟：（1）擺一擺，畫(huà)一畫(huà)。用4個(gè)正方體積木搭出“L”形，再?gòu)倪@個(gè)物體的前面、右面和上面觀察，借助擺正方形塑料片或者在方格紙上畫(huà)圖等方式，將每次看到的“樣子”擺或畫(huà)出來(lái)。（2）反方向擺一擺，畫(huà)一畫(huà)。用這4個(gè)正方體積木搭出反“L”形物體，同樣從三個(gè)面觀察，用正方形塑料片擺或在方格紙上畫(huà)看到圖形的“樣子”。（3）議一議，擺一擺。給定一個(gè)方向觀察到的形狀，擺出可能的物體;給定兩個(gè)方向觀察到的形狀，擺出可能的物體;給定三個(gè)方向觀察到的形狀，擺出可能的物體。（4）想一想，堵一堵。選擇積木堵一堵圖3中的正方形、圓和三角形，如果只堵其中一種，你有什么發(fā)現(xiàn)？如果只堵其中兩種呢？將三種都堵上呢？如果沒(méi)有你所需要的積木，請(qǐng)用橡皮泥設(shè)計(jì)一個(gè)你認(rèn)為可以的立體圖形。

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)促進(jìn)空間思維發(fā)展的內(nèi)涵是用同樣的小立方體拼搭成組合體，從組合體的前面、右邊和上面觀察，想象觀察的圖形，這是形成空間想象力的基礎(chǔ)。這個(gè)實(shí)驗(yàn)的關(guān)鍵，首先是觀察方法的規(guī)范;其次是用正方形拼出看到的圖形，在方格中畫(huà)出看到的圖形，實(shí)現(xiàn)“思維的可視”，促進(jìn)學(xué)生的想象;最后是通過(guò)比較，引導(dǎo)學(xué)生感悟?qū)τ诓煌奈矬w觀察到的面的形狀相同或不同。步驟（3）是給出從某個(gè)方向看應(yīng)該看到的樣子，讓學(xué)生用4個(gè)小正方體積木搭出符合特征的物體，交流匯總，學(xué)生能搭出多種不同的物體，但從每個(gè)方向看到形狀都相同;增加一個(gè)方向看到的形狀，符合的搭法少了;再增加一個(gè)方向看到的形狀，符合的搭法只有1種。步驟（4）是進(jìn)一步由二維到三維的空間想象，尤其是設(shè)計(jì)出同時(shí)能堵住正方形、圓和正三角形的立體圖形，具有較大的挑戰(zhàn)性，學(xué)生必須在前面三步實(shí)驗(yàn)操作形成空間圖形表象的基礎(chǔ)上，產(chǎn)生新的表象，同時(shí)感悟到從三個(gè)面看能夠唯一確定立體圖形。設(shè)計(jì)出或者認(rèn)識(shí)到如圖4的立體圖形表明學(xué)生已經(jīng)建立了較好的想象力。

空間想象是對(duì)頭腦中已有空間表象進(jìn)一步抽象的存在，也就是說(shuō)它不是看到過(guò)的具體物體的復(fù)制，而是頭腦中存在的抽象了的圖形，正如鄭板橋所謂“其實(shí)胸中之竹，并不是眼中之竹也”。對(duì)已有空間表象的加工、改造和結(jié)合往往有一個(gè)頓悟和豁然開(kāi)朗的過(guò)程，這個(gè)過(guò)程就是空間想象建立的過(guò)程，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)可以促進(jìn)這種想象力的產(chǎn)生。

3.綜合實(shí)踐：實(shí)踐探究，形成空間推理

推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式，也是生活生產(chǎn)中最常用的思維方式，空間推理是在對(duì)空間圖形進(jìn)行結(jié)構(gòu)分解基礎(chǔ)上，對(duì)結(jié)論的有邏輯的判斷、驗(yàn)證和分析，它不僅表現(xiàn)為結(jié)論的獲得，還表現(xiàn)為新問(wèn)題的發(fā)現(xiàn)和提出。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)有助于空間推理能力的發(fā)展和新問(wèn)題的發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)造。

案例4.探究正方體截面的形狀

綜合實(shí)踐目標(biāo)：通過(guò)“水”立方探索正方體截面的形狀，發(fā)展空間推理能力和發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題的能力。

綜合實(shí)踐任務(wù)：探究正方體截面的形狀。生活中很多富有美感的物體都是基本圖形的組合，比如造型各異的鉆石就是原石經(jīng)切割、打磨而成的。制作前的設(shè)計(jì)需要有很好的想象力，比如一個(gè)正方體沿平面切一刀，截面會(huì)是什么形狀？

綜合實(shí)踐活動(dòng)：如果不能準(zhǔn)確的想象出結(jié)果，可以做具體的實(shí)踐活動(dòng)，比如設(shè)計(jì)替代物進(jìn)行實(shí)踐探究。

綜合實(shí)踐工具：兩類(lèi)含水量不同的“水”立方若干個(gè)。

綜合實(shí)踐步驟：（1）猜想：用一個(gè)平面截正方體，所得截面形狀有哪些？能否設(shè)計(jì)工具在“做”中發(fā)現(xiàn)結(jié)論？（2）操作“水”立方，觀察水面會(huì)有哪些形狀，與你的猜想是否一致，據(jù)此你能提出哪些新的猜想？能說(shuō)明你的猜想的合理性嗎？（3）觀察水面呈現(xiàn)的四邊形的特點(diǎn)，并說(shuō)明理由。（4）類(lèi)比四邊形，說(shuō)說(shuō)五邊形、六邊形截面的幾何特征。（5）操作水立方，還有其他發(fā)現(xiàn)嗎？

綜合實(shí)踐促進(jìn)空間思維發(fā)展的內(nèi)涵是：正方體截面的形狀是一個(gè)空間思維要求比較高的問(wèn)題，僅僅憑借抽象的思考，學(xué)生很難想通，更難以發(fā)現(xiàn)截面形狀深層次的結(jié)構(gòu)特征。“水”立方數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)工具把水面當(dāng)成正方體的截面，通過(guò)調(diào)節(jié)“水”立方的擺放方式，可以直觀觀察正方體截面的形狀。同時(shí)，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)，水面和正方體的每個(gè)面相交都形成了截面的一條邊，正方體有六個(gè)面，所以截面最多是六邊形。步驟（3）是對(duì)具體截面幾何特征的深入觀察：截面四邊形可以是正方形、平行四邊形、菱形、梯形、等腰梯形，好像都至少有一組對(duì)邊互相平行，進(jìn)而推理出正方體任意4個(gè)面中至少有兩個(gè)面是相對(duì)的，它們互相平行，觀察發(fā)現(xiàn)和它們相交的截面也是平行的。進(jìn)一步推理：截面是五邊形時(shí)，5個(gè)面里至少有2組面是相對(duì)面，所以五邊形截面有兩組邊互相平行。步驟（5）引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)，水量少的“水”立方呈現(xiàn)不出六邊形水面，水量多的“水”立方呈現(xiàn)不出三邊形水面，那么，形成六邊形（三角形）的最少（最多）水量分別是多少呢？如果正方體的截面圖形是三角形，切割后的立體圖形會(huì)是怎樣的？四邊形、五邊形、六邊形呢？

直觀想象能力是空間思維的核心，學(xué)生的空間思維往往表現(xiàn)為“理所當(dāng)然如此”，也常處于“知其然不知其所以然”的狀態(tài)，“做數(shù)學(xué)”不僅讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)結(jié)論，而且通過(guò)空間推理認(rèn)識(shí)結(jié)論的合理性不是偶然而是必然，同時(shí)進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)新結(jié)論，并深入推理論證。

實(shí)物識(shí)別、圖形認(rèn)識(shí)、圖形分析和圖形解構(gòu)等空間認(rèn)知水平在同一個(gè)體中有時(shí)是交錯(cuò)共存的，即同一學(xué)生在某種場(chǎng)合下表現(xiàn)出此種水平，而在另一情境中又可能表現(xiàn)出其他水平。因此，“做數(shù)學(xué)”促進(jìn)學(xué)生空間思維進(jìn)階，并不是嚴(yán)格意義上的階段劃分，而是一般狀態(tài)下，學(xué)生空間思維發(fā)展的階段描述，目的是藉由“做數(shù)學(xué)”更清晰地認(rèn)識(shí)空間思維發(fā)展的意義、認(rèn)知狀態(tài)和形成過(guò)程。

參考文獻(xiàn)

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[2] 董林偉.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)：初中生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式的變革[J].全球教育展望，2020，49（09）：103-115.

[作者：孫學(xué)東（1977-），男，安徽肥東人，江蘇省無(wú)錫市教師發(fā)展學(xué)院，副主任，中學(xué)高級(jí)職稱(chēng)，碩士。]

該文為2019年江蘇省基礎(chǔ)教育前瞻性教學(xué)改革實(shí)驗(yàn)重大項(xiàng)目“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)：義務(wù)教育數(shù)學(xué)學(xué)科育人的創(chuàng)新實(shí)踐”、江蘇省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃2018年度重點(diǎn)自籌課題“初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中發(fā)展學(xué)生高階思維能力的行動(dòng)研究”（B/b2018/02/08）的研究成果