管良梁

(安徽省合肥市第四中學(xué) 233000)

題目已知函數(shù)f(x)=x2-mx-2m2,若對(duì)任意x∈[1,+∞)，恒有f(x)>0，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解法1(利用動(dòng)軸定區(qū)間)由題意，得

則f(x)min=f(1)>0，

即1-m-2m2>0,

點(diǎn)評(píng)本解法利用動(dòng)軸定區(qū)間的思想.討論對(duì)稱軸的位置，根據(jù)對(duì)稱軸的位置確定定區(qū)間里的最小值f(x)min，由f(x)min>0確定m的取值范圍.

解法2(利用判別式)因?yàn)?/p>

Δ=(-m)2-4×(-2m2)=9m2≥0,

解法3(利用根的位置)令f(x)=0,

則x2-mx-2m2=0.

所以(x-2m)(x+m)=0.

即x=2m或x=-m.

(1)當(dāng)m>0時(shí)，則2m>0>-m.

(2)當(dāng)m=0時(shí)，2m=-m=0，顯然成立.

(3)當(dāng)m<0時(shí)，2m<0<-m,

所以-m<1，

即m>-1，

所以-1

點(diǎn)評(píng)本解法利用參數(shù)m將方程f(x)=0的根表示出來(lái)，再對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論,確定根的位置進(jìn)行求解.

解法4 (利用改變變量)因?yàn)閒(x)>0，

所以x2-mx-2m2>0.

所以2m2+mx-x2<0.

即(2m-x)(m+x)<0.

因?yàn)閤∈[1,+∞)，

解法5 (利用導(dǎo)數(shù))

因?yàn)閒(x)=x2-mx-2m2，

所以f′(x)=2x-m.

函數(shù)y=f(x)在[1,+∞]上單調(diào)遞增，

所以f(x)min=f(1).

所以f(1)>0即可.

即1-m-2m2>0，

點(diǎn)評(píng)本解法利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)y=f(x)的單調(diào)性，對(duì)參數(shù)m進(jìn)行討論，確定最小值，由f(x)min>0求出實(shí)數(shù)m的取值范圍.

通過(guò)以上五種解法的探究，提高學(xué)生綜合運(yùn)用的能力，同時(shí)也避免了“題海戰(zhàn)術(shù)”.在平時(shí)的解題過(guò)程中要多思考、多總結(jié)，從多渠道、多途徑對(duì)問(wèn)題進(jìn)行解答，這樣既鞏固了基礎(chǔ)知識(shí)，也提高了解題能力，促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展.