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        2009年新課標(biāo)高考理數(shù)第20題解析幾何的探究

        2022-02-25 02:50:46楊雪蘋
        數(shù)理化解題研究 2022年1期
        關(guān)鍵詞:長軸原點雙曲線

        楊雪蘋

        (廣東省廣州大學(xué)附屬中學(xué)南沙實驗學(xué)校 511458)

        圓錐曲線是高考的重要考點,在解題中涉及到函數(shù)與方程、不等式、三角和直線等內(nèi)容,體現(xiàn)各種能力的綜合要求,要求學(xué)生有較高的計算水平、較強(qiáng)的計算能力.求曲線軌跡方程常用方法有:直接法、定義法、代入法、參數(shù)法.求軌跡方程,一定要注意軌跡的純粹性和完備性.要注意區(qū)別“軌跡”與“軌跡方程”是兩個不同的概念.

        1 試題呈現(xiàn)

        題目(2009年新課標(biāo)20)已知橢圓C的中心為直角坐標(biāo)系xOy的原點,焦點在x軸上,它的一個頂點到兩個焦點的距離分別是7和1.

        (1)求橢圓C的方程;

        2 試題解析

        2.1 題型分析

        求圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是作為高考解答題中的第(1)問,最常見的方法是定義法與待定系數(shù)法.本題中第(1)問考查待定系數(shù)法求圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

        離心率是高考對圓錐曲線考查的重點,涉及a,b,c三者之間關(guān)系.本題的第(2)小題是考查圓錐曲線垂直相關(guān)點的軌跡問題,是比值為離心率e時的一般化變式:

        2.2 解法探究

        由橢圓定義知:到兩個焦點的距離分別是7和1的頂點一定是長軸兩端點中一個.

        解得a=4,c=3.

        所以b2=a2-c2=16-9=7.

        (2)設(shè)M(x,y),其中x∈[-4,4].

        整理,得(16λ2-9)x2+16λ2y2=112,其中x∈[-4,4].

        化簡,得9y2=112.

        小結(jié)本題第 (1)小題主要考查橢圓的基本性質(zhì);在第(2)小題中, 點M的軌跡方程通過直接將相關(guān)點的坐標(biāo)代入等量關(guān)系,考查形如(λ-a)x2+bλy2=c(其中a,b,c為定值)的動點的軌跡,滲透著分類討論思想.若把載體變?yōu)殡p曲線,問題該如何解答呢?

        3 試題變式

        解析設(shè)M(x,y),其中x≥4或x≤-4.

        由于點P在雙曲線上,可得

        即(23-16λ2)x2-16λ2y2=112,其中x≥4或x≤-4.

        因為(23-16λ2)x2=16λ2y2+112>0,

        即23-16λ2≥7,即0<λ≤1時,

        點M的軌跡為中心在原點、實軸在x軸上的雙曲線滿足x≥4或x≤-4的部分;

        4 結(jié)論的一般化及推廣

        4.1 結(jié)論的一般化

        當(dāng)0<λ

        當(dāng)λ=e時,點M的軌跡是兩條平行于x軸的線段;

        當(dāng)e<λ<1時,點M的軌跡為中心在原點、長軸在x軸上的橢圓滿足-a≤x≤a的部分;

        當(dāng)λ≥1時,點M的軌跡為中心在原點、長軸在x軸上的橢圓.

        4.2 結(jié)論的推廣

        當(dāng)0<λ≤1時,點M的軌跡是中心在原點、實軸在x軸上的雙曲線滿足x≥a或x≤-a的部分;

        當(dāng)1<λ

        當(dāng)λ≥e時,點M的軌跡不存在.

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