楊雪蘋
(廣東省廣州大學(xué)附屬中學(xué)南沙實驗學(xué)校 511458)
圓錐曲線是高考的重要考點,在解題中涉及到函數(shù)與方程、不等式、三角和直線等內(nèi)容,體現(xiàn)各種能力的綜合要求,要求學(xué)生有較高的計算水平、較強(qiáng)的計算能力.求曲線軌跡方程常用方法有:直接法、定義法、代入法、參數(shù)法.求軌跡方程,一定要注意軌跡的純粹性和完備性.要注意區(qū)別“軌跡”與“軌跡方程”是兩個不同的概念.
題目(2009年新課標(biāo)20)已知橢圓C的中心為直角坐標(biāo)系xOy的原點,焦點在x軸上,它的一個頂點到兩個焦點的距離分別是7和1.
(1)求橢圓C的方程;
求圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是作為高考解答題中的第(1)問,最常見的方法是定義法與待定系數(shù)法.本題中第(1)問考查待定系數(shù)法求圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.
離心率是高考對圓錐曲線考查的重點,涉及a,b,c三者之間關(guān)系.本題的第(2)小題是考查圓錐曲線垂直相關(guān)點的軌跡問題,是比值為離心率e時的一般化變式:
由橢圓定義知:到兩個焦點的距離分別是7和1的頂點一定是長軸兩端點中一個.
解得a=4,c=3.
所以b2=a2-c2=16-9=7.
(2)設(shè)M(x,y),其中x∈[-4,4].
整理,得(16λ2-9)x2+16λ2y2=112,其中x∈[-4,4].
化簡,得9y2=112.
小結(jié)本題第 (1)小題主要考查橢圓的基本性質(zhì);在第(2)小題中, 點M的軌跡方程通過直接將相關(guān)點的坐標(biāo)代入等量關(guān)系,考查形如(λ-a)x2+bλy2=c(其中a,b,c為定值)的動點的軌跡,滲透著分類討論思想.若把載體變?yōu)殡p曲線,問題該如何解答呢?
解析設(shè)M(x,y),其中x≥4或x≤-4.
由于點P在雙曲線上,可得
即(23-16λ2)x2-16λ2y2=112,其中x≥4或x≤-4.
因為(23-16λ2)x2=16λ2y2+112>0,
即23-16λ2≥7,即0<λ≤1時,
點M的軌跡為中心在原點、實軸在x軸上的雙曲線滿足x≥4或x≤-4的部分;
當(dāng)0<λ 當(dāng)λ=e時,點M的軌跡是兩條平行于x軸的線段; 當(dāng)e<λ<1時,點M的軌跡為中心在原點、長軸在x軸上的橢圓滿足-a≤x≤a的部分; 當(dāng)λ≥1時,點M的軌跡為中心在原點、長軸在x軸上的橢圓. 當(dāng)0<λ≤1時,點M的軌跡是中心在原點、實軸在x軸上的雙曲線滿足x≥a或x≤-a的部分; 當(dāng)1<λ 當(dāng)λ≥e時,點M的軌跡不存在.4.2 結(jié)論的推廣