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        2009年新課標(biāo)高考理數(shù)第20題解析幾何的探究

        2022-02-25 02:50:46楊雪蘋(píng)
        數(shù)理化解題研究 2022年1期
        關(guān)鍵詞:長(zhǎng)軸原點(diǎn)雙曲線(xiàn)

        楊雪蘋(píng)

        (廣東省廣州大學(xué)附屬中學(xué)南沙實(shí)驗(yàn)學(xué)校 511458)

        圓錐曲線(xiàn)是高考的重要考點(diǎn),在解題中涉及到函數(shù)與方程、不等式、三角和直線(xiàn)等內(nèi)容,體現(xiàn)各種能力的綜合要求,要求學(xué)生有較高的計(jì)算水平、較強(qiáng)的計(jì)算能力.求曲線(xiàn)軌跡方程常用方法有:直接法、定義法、代入法、參數(shù)法.求軌跡方程,一定要注意軌跡的純粹性和完備性.要注意區(qū)別“軌跡”與“軌跡方程”是兩個(gè)不同的概念.

        1 試題呈現(xiàn)

        題目(2009年新課標(biāo)20)已知橢圓C的中心為直角坐標(biāo)系xOy的原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,它的一個(gè)頂點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離分別是7和1.

        (1)求橢圓C的方程;

        2 試題解析

        2.1 題型分析

        求圓錐曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程是作為高考解答題中的第(1)問(wèn),最常見(jiàn)的方法是定義法與待定系數(shù)法.本題中第(1)問(wèn)考查待定系數(shù)法求圓錐曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程.

        離心率是高考對(duì)圓錐曲線(xiàn)考查的重點(diǎn),涉及a,b,c三者之間關(guān)系.本題的第(2)小題是考查圓錐曲線(xiàn)垂直相關(guān)點(diǎn)的軌跡問(wèn)題,是比值為離心率e時(shí)的一般化變式:

        2.2 解法探究

        由橢圓定義知:到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離分別是7和1的頂點(diǎn)一定是長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)中一個(gè).

        解得a=4,c=3.

        所以b2=a2-c2=16-9=7.

        (2)設(shè)M(x,y),其中x∈[-4,4].

        整理,得(16λ2-9)x2+16λ2y2=112,其中x∈[-4,4].

        化簡(jiǎn),得9y2=112.

        小結(jié)本題第 (1)小題主要考查橢圓的基本性質(zhì);在第(2)小題中, 點(diǎn)M的軌跡方程通過(guò)直接將相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)代入等量關(guān)系,考查形如(λ-a)x2+bλy2=c(其中a,b,c為定值)的動(dòng)點(diǎn)的軌跡,滲透著分類(lèi)討論思想.若把載體變?yōu)殡p曲線(xiàn),問(wèn)題該如何解答呢?

        3 試題變式

        解析設(shè)M(x,y),其中x≥4或x≤-4.

        由于點(diǎn)P在雙曲線(xiàn)上,可得

        即(23-16λ2)x2-16λ2y2=112,其中x≥4或x≤-4.

        因?yàn)?23-16λ2)x2=16λ2y2+112>0,

        即23-16λ2≥7,即0<λ≤1時(shí),

        點(diǎn)M的軌跡為中心在原點(diǎn)、實(shí)軸在x軸上的雙曲線(xiàn)滿(mǎn)足x≥4或x≤-4的部分;

        4 結(jié)論的一般化及推廣

        4.1 結(jié)論的一般化

        當(dāng)0<λ

        當(dāng)λ=e時(shí),點(diǎn)M的軌跡是兩條平行于x軸的線(xiàn)段;

        當(dāng)e<λ<1時(shí),點(diǎn)M的軌跡為中心在原點(diǎn)、長(zhǎng)軸在x軸上的橢圓滿(mǎn)足-a≤x≤a的部分;

        當(dāng)λ≥1時(shí),點(diǎn)M的軌跡為中心在原點(diǎn)、長(zhǎng)軸在x軸上的橢圓.

        4.2 結(jié)論的推廣

        當(dāng)0<λ≤1時(shí),點(diǎn)M的軌跡是中心在原點(diǎn)、實(shí)軸在x軸上的雙曲線(xiàn)滿(mǎn)足x≥a或x≤-a的部分;

        當(dāng)1<λ

        當(dāng)λ≥e時(shí),點(diǎn)M的軌跡不存在.

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