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        利用導(dǎo)數(shù)突破高考圓錐曲線壓軸題

        2022-02-25 02:50:00賀鳳梅
        數(shù)理化解題研究 2022年1期
        關(guān)鍵詞:壓軸切線最值

        賀鳳梅

        (新疆伊犁鞏留縣高級(jí)中學(xué) 835400)

        1 題目呈現(xiàn)

        題目(2021年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試全國(guó)乙卷理科 第21題) 已知拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)為F,且F與圓M:x2+(y+4)2=1上點(diǎn)的距離的最小值為4.

        (1)求p的值;

        (2)若點(diǎn)P在M上,PA,PB是C的兩條切線,A,B是切點(diǎn),求ΔPAB面積的最大值.

        2 總體分析

        本題是全國(guó)乙卷理科解答題的第21題,屬于壓軸題,以面積最值為命題點(diǎn),綜合考查圓錐曲線和導(dǎo)數(shù).圓錐曲線中的最值問(wèn)題解決方法一般分兩種:第一種是幾何法,特別是利用圓錐曲線的定義和平面解析幾何的有關(guān)結(jié)論來(lái)求最值;第二種是代數(shù)法,常將圓錐曲線的最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或三角函數(shù)的最值問(wèn)題,然后利用基本不等式、函數(shù)的單調(diào)性或三角函數(shù)的有界性等來(lái)求解最值.另外,導(dǎo)數(shù)的幾何意義的引入也大大豐富了高中數(shù)學(xué)的知識(shí)體系,給我們用常規(guī)方法無(wú)法解決的問(wèn)題提供了新的視角,同時(shí)也拓寬了解決圓錐曲線問(wèn)題的思路.下面從不同的視角來(lái)探討這個(gè)高考?jí)狠S題,并進(jìn)行追根溯源,深刻理解此問(wèn)題的本質(zhì),期望弄通悟透.

        3 試題解答

        以下重點(diǎn)探討第(2)問(wèn).

        視角1借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義,同一法求直線方程,進(jìn)而求面積的最值

        化簡(jiǎn)整理,得x2-2x0x+4y0=0,

        由韋達(dá)定理有x1+x2=2x0,x1x2=4y0,

        由條件易知y0∈[-5,-3].

        視角2借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義,斜截式求直線方程,進(jìn)而求面積的最值.

        在進(jìn)行道床建設(shè)時(shí),要保證材料符合相關(guān)的標(biāo)準(zhǔn)要求,加強(qiáng)道床施工的質(zhì)量控制,保證其具有較高標(biāo)準(zhǔn)的承載力,可以在較長(zhǎng)時(shí)間承載地鐵的運(yùn)行,有以下技術(shù)要點(diǎn):①在道床施工中,要將預(yù)留縫隙與隧道結(jié)構(gòu)縫控制在統(tǒng)一平面上;②在搭設(shè)與拆除腳手架時(shí)要與鋼軌置離;③進(jìn)行混凝土澆筑時(shí)要適當(dāng)?shù)姆謱?,采用特殊的方法分臺(tái)階澆筑,保證其具有充足的承載力。

        評(píng)注此解法同解法1,先得出切線PA,PB的方程,聯(lián)立兩直線方程得出交點(diǎn)P的坐標(biāo)(用點(diǎn)A,B的橫坐標(biāo)表示);再設(shè)直線AB的斜截式方程,與拋物線方程聯(lián)立,借助韋達(dá)定理得出兩根之和與兩根之積.接下來(lái)進(jìn)行對(duì)照,將點(diǎn)P的坐標(biāo)用直線AB方程斜截式中的k和b來(lái)表示,最后利用面積公式并結(jié)合解法1可得解.

        視角3借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義及數(shù)形結(jié)合思想,求出面積表達(dá)式,進(jìn)而求面積的最值.

        解法3 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),由解法2可得

        設(shè)AB中點(diǎn)為Q,則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得點(diǎn)

        所以|PQ|=|yQ-yP|.

        評(píng)注此解法關(guān)注到點(diǎn)P的橫坐標(biāo)與弦AB中點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)相同,因此PQ⊥x軸,從而簡(jiǎn)化了面積的轉(zhuǎn)化與求解,這也體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的重要性.由此解法我們得到的啟示是:在做直線與圓錐曲線的綜合題時(shí),先做草圖,數(shù)形結(jié)合,也許可以找到解題的突破口.

        4 追根溯源

        (1)求p的值;

        (2)當(dāng)M在C2上運(yùn)動(dòng)時(shí),求線段AB的中點(diǎn)N的軌跡方程.

        評(píng)注此題也有多種解法,可以直接設(shè)切點(diǎn)的坐標(biāo),利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得出切線方程,再利用求軌跡的方法求解.此法的關(guān)鍵點(diǎn)是設(shè)而不求,思路直接,難點(diǎn)是參數(shù)多,需要注意消參的技巧;也可以借助拋物線的參數(shù)式,利用導(dǎo)數(shù)求出切線的方程,進(jìn)而求出兩切線的方程,轉(zhuǎn)化為以t1,t2為兩根的方程,最后利用韋達(dá)定理求解,關(guān)鍵點(diǎn)是方程的轉(zhuǎn)化和消元的技巧.此題解法從略,有興趣的讀者可以自己嘗試.

        從近幾年全國(guó)各地的高考圓錐曲線的壓軸題來(lái)看,圓錐曲線的定義、幾何性質(zhì)及直線與圓錐位置關(guān)系仍是高考的熱點(diǎn)和難點(diǎn).文中兩題以圓錐曲線中的拋物線為背景,過(guò)曲線外一點(diǎn)引曲線兩條切線問(wèn)題為載體展開(kāi).一道題是利用導(dǎo)數(shù)求切線斜率,并求所得到的三角形面積的最大值;另一道是利用導(dǎo)數(shù)求切線斜率,尋求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程.兩題均考查了圓錐曲線的一些基本知識(shí)及消參等基本運(yùn)算;從思想方法上來(lái)看,考查了數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想等.

        要學(xué)好高中數(shù)學(xué),就應(yīng)該對(duì)所學(xué)知識(shí)有整體的認(rèn)識(shí)和把握,即理解這些知識(shí)在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題乃至實(shí)際問(wèn)題中所起的作用.我們也要明確,數(shù)學(xué)是思維的科學(xué),邏輯思維、數(shù)形結(jié)合、概括與綜合等都是數(shù)學(xué)的重要思想方法.

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