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        高考中常見比較大小問題的分類例析

        2022-02-25 02:52:44范習(xí)昱
        數(shù)理化解題研究 2022年1期
        關(guān)鍵詞:底數(shù)增函數(shù)對數(shù)

        范習(xí)昱

        (江蘇省鎮(zhèn)江市丹徒高級中學(xué) 212143)

        比較數(shù)或式的大小是高考選擇題的???,從命題角度來看,雖然起點低,學(xué)生上手快,但有的題并不簡單;從內(nèi)容上看,這類題主要考查指數(shù)和對數(shù)的運算、基本初等函數(shù)(冪指對函數(shù))的單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)的運用等;從解題策略上看,具有豐富靈活的特點,主要利用指數(shù)函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)的單調(diào)性、構(gòu)造特征函數(shù)利用單調(diào)性、作差法和作商法、以及不等式的性質(zhì)和基本不等式原理求解.

        1 指數(shù)式或?qū)?shù)式背景下的大小比較

        例1 (2013年全國文科新課標(biāo)Ⅱ卷)設(shè)a=log32,b=log52,c=log23,則( ).

        A.a>c>bB.b>c>a

        C.c>b>aD.c>a>b

        解析由題意可知:

        a=log32∈(0,1),

        b=log52∈(0,1),

        c=log23∈(1,+∞),

        即c>a>b.

        故選D.

        反思比較指數(shù)式的大小常常根據(jù)指數(shù)的結(jié)構(gòu)來判斷,如果兩個數(shù)指數(shù)相同,底數(shù)不同,則考慮冪函數(shù)的單調(diào)性;如果指數(shù)不同,底數(shù)相同,則考慮指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性;如果兩個數(shù)指數(shù)和底數(shù)都不同,有時需要借助中間數(shù)(比如1)來傳遞判斷.涉及到對數(shù)比較大小時,如果底數(shù)相同,可以利用對數(shù)的單調(diào)性來解決;如果底數(shù)不相同,可以用換底公式、基本不等式以及不等式的性質(zhì)綜合加以判斷.如果涉及指數(shù)式和對數(shù)式的綜合比較大小時,也要借助中間數(shù)(比如1或0)來傳遞加以判斷.

        2 等式條件下的大小比較

        例2 (2017年全國理科新課標(biāo)Ⅰ卷)設(shè)x,y,z為正數(shù),且2x=3y=5z,則( ).

        A.2x<3y<5zB.5z<2x<3y

        C.3y<5z<2xD.3y<2x<5z

        解析令2x=3y=5z=k(k>1),則

        x=log2k,y=log3k,z=log5k.

        則2x>3y.

        則2x<5z.

        故選D.

        反思在等式條件下進(jìn)行大小比較,需要考查等式的結(jié)構(gòu)特點,方法并不單一,非常靈活.可考慮利用待定系數(shù)的方法,先解出未知數(shù),作商比較,也可以采用賦值特殊法比較.

        3 不等條件下的大小比較

        例3 (2016年全國理科新課標(biāo)Ⅰ卷)若a>b>1,0

        A.ac

        C.alogbc

        解析因為a>b>1,0bc,故A錯;

        因為函數(shù)f(x)=xc-1在(0,+∞)上單調(diào)遞減,故ac-1bac,故B錯;

        因為0<-logac<-logbc,故-blogac<-alogbc,

        即blogac>alogbc,即alogbc

        故C正確.

        例4 (2020年全國文科新課標(biāo)Ⅱ卷)若2x-2y<3-x-3-y,則( ).

        A.ln(y-x+1)>0 B.ln(y-x+1)<0

        C.ln|x-y|>0 D.ln|x-y|<0

        解析由2x-2y<3-x-3-y,得2x-3-x<2y-3-y.令f(t)=2t-3-t,因為y=2x為R上的增函數(shù),所以y=3-x為R上的減函數(shù),所以f(t)為R上的增函數(shù).所以x1.所以ln(y-x+1)>0.則A正確,B錯誤.因為|x-y|與1的大小不確定,故C,D無法確定.

        反思在不等條件下比較大小,也要關(guān)注不等條件的結(jié)構(gòu)特點,而采用不同的方法.最常見的是利用函數(shù)的單調(diào)性或者特殊值法求解,也可以利用不等式的性質(zhì)求解,可根據(jù)不等式的特征構(gòu)造函數(shù),再利用函數(shù)單調(diào)性加以判斷求解.當(dāng)然,更多情況是綜合運用這些方法,這也是高考命題關(guān)注學(xué)生知識系統(tǒng)性、交匯性的體現(xiàn).

        4 與函數(shù)交匯下的大小比較

        例5 (2017年天津)已知奇函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù),g(x)=xf(x).若a=g(-log25.1),b=g(20.8),c=g(3),則a,b,c的大小( ).

        A.a

        C.b

        解析由題意g(x)為偶函數(shù),且在(0,+∞)上單調(diào)遞增,所以a=g(-log25.1)=g(log25.1).又2=log24

        故選C.

        反思與函數(shù)交匯下的大小比較,其根本求解策略是利用函數(shù)的單調(diào)性,先比較自變量取值的大小,再比較函數(shù)值的大小.

        5 基本不等式背景下的大小比較

        例6 (2020年上海單選13)下列不等式恒成立的是( ).

        A.a2+b2≤2abB.a2+b2≥-2ab

        解析由基本不等式可知a2+b2≥2ab,故A不正確;

        a2+b2≥-2ab,即a2+b2+2ab≥0,即(a+b)2≥0恒成立,故B正確;

        當(dāng)a=-1,b=-1時,不等式不成立,故C不正確;

        當(dāng)a=0,b=-1時,不等式不成立,故D不正確.

        故選B.

        例7 (2020年山東多選11)已知a>0,b>0,且a+b=1,則( ).

        對于B,a-b=2a-1>-1,

        對于D,因為

        故選ABD.

        反思在基本不等式背景下比較大小,應(yīng)該說更多的是在考查基本不等式的運用,這里單獨作為一類分析,一是考慮行文的整體性,二是考慮高考命題的綜合性.求解比較大小的問題,以上策略往往需要綜合考量.

        6 數(shù)列背景下大小比較

        例8 (2015年浙江)已知{an}是等差數(shù)列,公差d不為零,前n項和是Sn.若a3,a4,a8成等比數(shù)列,則( ).

        A.a1d>0,dS4>0 B.a1d<0,dS4<0

        C.a1d>0,dS4<0 D.a1d<0,dS4>0

        解析由a3,a4,a8成等比數(shù)列可得:

        (a1+3d)2=(a1+2d)(a1+7d).

        即3a1+5d=0.

        所以a1d<0.

        =2d(2a1+3d)

        故選B.

        反思在數(shù)列背景下進(jìn)行大小比較自然首要關(guān)注的是數(shù)列本身知識的運用,這里要回歸大小比較的本源,就是作差法和作商法的運用.考慮到行文的整體性,我們把這一類也整理出來.

        以上六類幾乎囊括了高考中比較兩數(shù)或兩式大小的全部類型,這類題難度一般不大,但內(nèi)涵豐富、外延廣泛,綜合性強,解題策略靈活多變,對考生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)要求很高,高三師生要引起高度重視.

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