白禮虎

摘要：新的課程標(biāo)準(zhǔn)雖然刪除了“十字相乘法”，但是在實(shí)際教學(xué)中，很多初高中老師仍將其作為一個(gè)重要內(nèi)容補(bǔ)充給學(xué)生，用以鍛煉學(xué)生的思維和能力。鑒于此文中給出了四個(gè)教學(xué)片斷，并對(duì)“十字相乘法”的教學(xué)給出了一些建議，以供參考。

關(guān)鍵詞：十字相乘法;判別式;試誤;教學(xué)

中圖分類號(hào)：A 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：（2022）-2-

整式乘法和因式分解是初中數(shù)學(xué)一個(gè)非常重要的內(nèi)容，二者是一個(gè)互逆的過程。單就思維量而言，整式乘法要少一點(diǎn)，因式分解要復(fù)雜一些。文[1]中給出了十字相乘法的基本原理，同時(shí)對(duì)“十字相乘法”與“求根公式法”進(jìn)行了比較，并且指出后者更具一般性，是適應(yīng)性更寬的“通性通法”。新的課程標(biāo)準(zhǔn)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程課標(biāo)（2011年版）》認(rèn)為“十字相乘法”不是一般方法，故而刪去了“十字相乘法”。但是很多一線教師和學(xué)者對(duì)此不太贊同， 文[2] 中認(rèn)為“十字相乘法”可以對(duì)學(xué)生進(jìn)行素質(zhì)教育，有利于培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維和探索精神。文[3]中認(rèn)為“十字相乘法”并未增加多少學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)，呼吁給“十字相乘法”留一席之地。文[4]中經(jīng)過調(diào)查得出，初中數(shù)學(xué)教師在講解因式分解過程中將其作為教學(xué)知識(shí)進(jìn)行補(bǔ)充、高中數(shù)學(xué)教師在初高中知識(shí)銜接過程中將其作為教學(xué)知識(shí)進(jìn)行補(bǔ)充是一個(gè)普遍現(xiàn)象.

本文就這一問題談?wù)勛约旱恼J(rèn)識(shí)，從“十字相乘法”的解題過程來看，將二次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)分解后，交叉相乘再相加要等于一次項(xiàng)系數(shù)。問題的關(guān)鍵在于分解的不唯一性從而導(dǎo)致可能要多次嘗試才能湊成中間的一次項(xiàng)系數(shù)。試誤的過程加大了計(jì)算的難度，而且并不是所有的二次三項(xiàng)式都可以用，所以課本在因式分解一節(jié)中只介紹了提公因式法和公式法以及簡(jiǎn)單的分組分解法，對(duì)于“十字相乘法”只字未提。但是從實(shí)際教學(xué)角度來看很多教師傾向于添加“十字相乘法”作為補(bǔ)充內(nèi)容。這主要是因?yàn)樵黾又罂梢院芎玫腻憻拰W(xué)生的思維并鞏固所學(xué)內(nèi)容。學(xué)生一旦掌握，對(duì)于二次三項(xiàng)式的因式分解以及解一元二次方程和不等式都有更快速的解題優(yōu)勢(shì)。故而我認(rèn)為盡管教材刪除了，但我們?nèi)匀豢梢宰鳛檠a(bǔ)充內(nèi)容好好的講解一下。那么究竟如何添加，講解時(shí)要注意哪些要點(diǎn)，下面我給出四個(gè)教學(xué)片斷供大家教學(xué)參考。

教學(xué)片斷一：

問題：形如可以因式分解嗎？

設(shè)計(jì)意圖：在分組分解的基礎(chǔ)上讓學(xué)生掌握十字相乘法的一般原理。

教學(xué)片斷二：

十字相乘法的形式：

舉例：因式分解

一般形式：

其中，，

步驟： ?1. 將常數(shù)項(xiàng)和二次項(xiàng)進(jìn)行分解

交叉相乘和相加，湊成中間一次項(xiàng)

橫寫因式即可

簡(jiǎn)記為：豎向分解，交叉相乘，求和湊中，橫寫因式

規(guī)律： ?1. 先將常數(shù)項(xiàng)分解成兩個(gè)有理數(shù)的乘積，再看這兩個(gè)有理數(shù)的和是否等于一次項(xiàng)的系數(shù)。

2. 當(dāng)常數(shù)項(xiàng)為正數(shù)時(shí)，拆成的兩個(gè)有理數(shù)一定同號(hào)，符號(hào)與一次項(xiàng)系數(shù)相同;當(dāng)常數(shù)項(xiàng)是負(fù)數(shù)時(shí)，拆成的兩個(gè)有理數(shù)異號(hào)，絕對(duì)值較大的數(shù)與一次項(xiàng)系數(shù)同號(hào)。

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生理解十字相乘法的格式，掌握常數(shù)項(xiàng)的分解規(guī)律。

教學(xué)反思：教學(xué)片斷一、二是在因式分解中介紹提公因式法、公式法和分組分解法后緊跟著介紹“十字相乘法”。此時(shí)更多的以規(guī)律的形式給出，借助分組分解法，讓學(xué)生掌握“十字相乘法”的一般原理，同時(shí)給出較簡(jiǎn)單的可以用“十字相乘法”的運(yùn)算習(xí)題。第一課時(shí)注重對(duì)原理的理解，形式的把握，題目難度要嚴(yán)格控制。

教學(xué)片斷三：

問題1：所有形如的式子都可以用“十字相乘法”嗎？

舉例：可以用“十字相乘法”嗎？

讓學(xué)生先來解一元二次方程，計(jì)算判別式

，

此時(shí)一定有兩個(gè)根而且由于判別式不能開根，所以一定是兩個(gè)無理根，此時(shí)不能用。

如果改成，可以嗎？

問題2：你可以得出能用“十字相乘法”的判斷標(biāo)準(zhǔn)嗎？

結(jié)論：用判別式進(jìn)行判定，如果可以開根，則可以用“十字相乘法”得到有理根。

設(shè)計(jì)意圖：本節(jié)內(nèi)容放在一元二次方程后面，進(jìn)一步介紹“十字相乘法”的適用范圍，給出了“十字相乘法”的一個(gè)判定標(biāo)準(zhǔn)，避免盲目試誤。

教學(xué)片斷四：

問題：可以用十字相乘法嗎？如果可以，該怎么分解？

舉例：因式分解

先算判別式，可以開根。

結(jié)論：當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)不為1時(shí)，也可對(duì)其進(jìn)行分解 。

一般形式：

其中，，，

設(shè)計(jì)意圖：將“十字相乘法”進(jìn)一步擴(kuò)展到二次項(xiàng)系數(shù)不為1的情況，讓學(xué)生更深刻體會(huì)它的形式和原理。

教學(xué)反思：教學(xué)片斷三和四，作為第二課時(shí)要到二次函數(shù)和一元二次方程結(jié)束之后，進(jìn)一步討論“十字相乘法”。此時(shí)學(xué)生已對(duì)“十字相乘法”有了一定的了解，要著重從判別式的角度對(duì)該方法的適用情景做探討，并且進(jìn)一步將“十字相乘法”推廣到二次項(xiàng)系數(shù)不為1的情況。

小結(jié)

文中以四個(gè)教學(xué)片斷展示了“十字相乘法”教學(xué)的幾個(gè)主要內(nèi)容，即“十字相乘法”的原理，求解的過程，適用的判斷方法以及推廣到二次項(xiàng)系數(shù)不為1的情況。建議分兩個(gè)課時(shí)從兩個(gè)不同的時(shí)間段進(jìn)行切入。第一個(gè)為初學(xué)階段，重點(diǎn)為原理;第二個(gè)為深入階段，重點(diǎn)為靈活運(yùn)用。在第一個(gè)階段，學(xué)生初次接觸到“十字相乘法”，要引導(dǎo)學(xué)生逆向思考，注重學(xué)生的探索精神的培養(yǎng)。第二個(gè)階段，學(xué)生已學(xué)習(xí)了二次函數(shù)以及一元二次方程的相關(guān)內(nèi)容，特別是求根公式的使用，可以和學(xué)生講解“求根公式法”和“十字相乘法”二者之間的聯(lián)系，讓學(xué)生靈活運(yùn)用。

參考文獻(xiàn)

[1]王尚志，張思明，胡鳳娟.如何認(rèn)識(shí)“十字相乘法”？（一）[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2008（11）：6-8.

[2]鄺孔秀.“十字相乘法”該刪嗎？[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2001（10）：22-23.

[3]王懷喜.請(qǐng)給“十字相乘法”留一席之地[J].中小學(xué)數(shù)學(xué)（初中版），2013（Z1）：84.

[4]郭蕊. 初中數(shù)學(xué)“十字相乘法”教與學(xué)的調(diào)查研究[D].新疆師范大學(xué)，2016.