顏 江

數(shù)形結(jié)合是一種數(shù)學(xué)思想方法，通過(guò)把抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言、數(shù)量關(guān)系與幾何圖形、位置關(guān)系結(jié)合起來(lái)，借助“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”的方法使問(wèn)題簡(jiǎn)單化。此數(shù)學(xué)思想在現(xiàn)代小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中較為常見(jiàn)，作為貫穿整個(gè)小學(xué)階段的數(shù)學(xué)教學(xué)有效的解題方法之一，正在被廣泛應(yīng)用。數(shù)形結(jié)合思想的本質(zhì)是通過(guò)抽象思維與形象思維的結(jié)合，使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化、抽象問(wèn)題具體化，培養(yǎng)學(xué)生的“有氧思維”，從而提高課堂效率，實(shí)現(xiàn)高效教學(xué)。本文結(jié)合課堂實(shí)例，具體闡述如何在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中開(kāi)展數(shù)形結(jié)合的有效教學(xué)。

一、數(shù)形結(jié)合的教學(xué)優(yōu)勢(shì)

（一）直觀化教學(xué)

數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)的組織、實(shí)施必須以提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力為基本標(biāo)準(zhǔn)，教師要結(jié)合學(xué)生的數(shù)學(xué)理解能力、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程設(shè)計(jì)對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)教學(xué)方案，從數(shù)學(xué)解題、問(wèn)題推導(dǎo)、信息搜集等角度入手，剖析問(wèn)題的具體構(gòu)成元素，啟發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。但對(duì)小學(xué)生來(lái)說(shuō)，多要求共存的數(shù)學(xué)教學(xué)模式并不利于學(xué)生的接受：多種理論與教學(xué)要求在課堂上共存，導(dǎo)致學(xué)生難以快速地掌握數(shù)學(xué)知識(shí)；大部分?jǐn)?shù)學(xué)教學(xué)資源以數(shù)字、符號(hào)為構(gòu)成元素，理解難度較大，教學(xué)素材難以理解。在針對(duì)有關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)開(kāi)展數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)時(shí)，很難使學(xué)生快速掌握數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)要求。數(shù)形結(jié)合則為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)提供了新的思路：在數(shù)學(xué)課堂上，有關(guān)教學(xué)活動(dòng)圍繞著數(shù)字、圖形兩大要素開(kāi)展，教師幫助學(xué)生挖掘教材中的算理知識(shí)，但不以計(jì)算的方式進(jìn)行授課，而是借由圖形加工相關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題，幫助學(xué)生進(jìn)行理解。在數(shù)形結(jié)合的推動(dòng)下，答案、結(jié)果等評(píng)價(jià)性要素被暫時(shí)舍棄，學(xué)生需要借助直觀的幾何圖形去理解數(shù)學(xué)問(wèn)題，從而形成數(shù)學(xué)探究思維[1]。對(duì)小學(xué)生來(lái)說(shuō)，數(shù)形結(jié)合給出了更為直觀的學(xué)習(xí)方式：先看圖，再提問(wèn)，最后解決問(wèn)題。數(shù)學(xué)教學(xué)演化為一個(gè)搜集資源和知識(shí)的過(guò)程，教學(xué)質(zhì)量得到了有效提升。

（二）理性化教學(xué)

著名數(shù)學(xué)家歐幾里得提出的“幾何學(xué)”的有關(guān)概念為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展和人類文明的進(jìn)步作出了巨大的貢獻(xiàn)。隨著后世幾何學(xué)的不斷發(fā)展，數(shù)字與圖形之間的壁壘被逐漸打破，關(guān)于數(shù)字與圖形之間關(guān)系的探索逐漸演化為推動(dòng)教育改革的原動(dòng)力。阿恩海姆認(rèn)為，思維的基本材料是表象，而不是人們通常所強(qiáng)調(diào)的概念和語(yǔ)言。這一觀點(diǎn)指明了思維與客觀現(xiàn)象之間的關(guān)系：學(xué)生在認(rèn)識(shí)到有關(guān)材料之后形成數(shù)學(xué)思維，并通過(guò)對(duì)材料的挖掘、探究來(lái)鍛煉自身的思維意識(shí)。對(duì)教學(xué)活動(dòng)來(lái)說(shuō)，“表面現(xiàn)象”遠(yuǎn)比復(fù)雜的數(shù)學(xué)理論更為重要。在數(shù)形結(jié)合教學(xué)下，數(shù)學(xué)圖形材料作為“現(xiàn)象”出現(xiàn)在數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)當(dāng)中，在向?qū)W生展示數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)，借助圖形來(lái)掩蓋數(shù)學(xué)理論，要求學(xué)生通過(guò)理性分析過(guò)程掌握相關(guān)數(shù)學(xué)關(guān)系，重新理解數(shù)學(xué)知識(shí)[2]。圖形中包含多種數(shù)學(xué)信息，可對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)推導(dǎo)能力和邏輯思維等關(guān)鍵素養(yǎng)進(jìn)行開(kāi)發(fā)，從而促使學(xué)生快速掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，找準(zhǔn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的突破口。教師要抓住教學(xué)的理性化、功能化特點(diǎn)組織授課，積極挖掘數(shù)形結(jié)合的教學(xué)功能，以圖形呈現(xiàn)數(shù)學(xué)關(guān)系，鍛煉學(xué)生的相關(guān)數(shù)學(xué)思維，優(yōu)化數(shù)學(xué)教學(xué)方法。

二、數(shù)形結(jié)合在小學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算教學(xué)中的應(yīng)用策略

（一）以 “圖” 引 “數(shù)”，掌握計(jì)算思路

計(jì)算教學(xué)只有搞明白了算理“為什么要這樣算”，才能真正掌握算法“如何計(jì)算”。在“數(shù)”中尋找“形”，把計(jì)算問(wèn)題轉(zhuǎn)化為形狀、圖示去解決問(wèn)題，這樣的直觀呈現(xiàn)，易于學(xué)生理解和接受[3]。同時(shí)，學(xué)生在探究、領(lǐng)悟算理的過(guò)程中，建模思維也可得到發(fā)展，形成抽象的計(jì)算方法，提高計(jì)算的正確率和速度。小學(xué)生由于感性思維的發(fā)育程度比理性思維要高，其在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中更容易從直觀的“形”中讀取信息，而對(duì)抽象的“數(shù)”缺乏敏感度。在這種情況下，數(shù)學(xué)教師需要幫助學(xué)生彌補(bǔ)短板，在數(shù)形結(jié)合教學(xué)中，訓(xùn)練學(xué)生對(duì)“數(shù)”的判斷能力，使其在面對(duì)“數(shù)”時(shí)，也能夠擁有足夠的分析能力，更好地解決問(wèn)題。

例如，在教學(xué)“分?jǐn)?shù)乘法”一課時(shí)，如果只是讓學(xué)生知道計(jì)算方法——分子乘分子作分子，分母乘分母作分母，相信所有的學(xué)生都能記住并運(yùn)用，計(jì)算的正確率較高。但是，教學(xué)不僅僅是為了讓學(xué)生會(huì)機(jī)械地計(jì)算，還需要讓學(xué)生知道分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的算理。課堂上，教師通過(guò)圖形的展示為學(xué)生講解相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)：將一個(gè)圓形分成6 份，要求學(xué)生說(shuō)明每一份與原圖形之間的關(guān)系。通過(guò)算理推導(dǎo)不難發(fā)現(xiàn)，被分割之后的圖形與原圖形之間保留著“局部”“整體”的關(guān)系，即6 份能夠重新組合成一個(gè)圖形，由此引出“六分之一”的數(shù)學(xué)概念。教師在講解算理之后導(dǎo)入新一輪的數(shù)學(xué)教學(xué)：既然等分的圖形可以用“幾分之幾”這一概念來(lái)表示，那么圖形所分成的分?jǐn)?shù)是不是也會(huì)對(duì)數(shù)產(chǎn)生影響？由此引出對(duì)分子、分母兩個(gè)數(shù)學(xué)概念的探究，圍繞著數(shù)字的寫(xiě)法、表達(dá)特點(diǎn)繼續(xù)展開(kāi)討論。

（二）理 “數(shù)” 畫(huà) “形”，突破難點(diǎn)

“數(shù)字”對(duì)一年級(jí)的學(xué)生來(lái)說(shuō)是比較抽象的，他們具備的是形象思維，傾向于通過(guò)表征來(lái)接受新知識(shí)。為了彌補(bǔ)短板，小學(xué)生需要進(jìn)行有關(guān)“數(shù)”的訓(xùn)練，將“數(shù)”中的信息轉(zhuǎn)變?yōu)椤靶巍保瑥亩鸩教岣咦陨韺?duì)“數(shù)”的敏感度。在實(shí)際教學(xué)中，數(shù)學(xué)教師應(yīng)注意相關(guān)練習(xí)的安排，在圍繞“數(shù)字”展開(kāi)教學(xué)的過(guò)程中，有意識(shí)地加入“數(shù)字”向“圖形”的轉(zhuǎn)化，讓學(xué)生在不知不覺(jué)中適應(yīng)這種學(xué)習(xí)方式。因此，在教學(xué)時(shí)，教師應(yīng)根據(jù)數(shù)字畫(huà)出圖形，借由圖像、線條等素材展示數(shù)學(xué)知識(shí)，用寫(xiě)繪的形式凸顯知識(shí)的難點(diǎn)，從而使學(xué)生突破難點(diǎn)，掌握知識(shí)[4]。

例如，在教學(xué)“10 以內(nèi)數(shù)的加法”這一部分內(nèi)容時(shí)，教學(xué)的難點(diǎn)在于：在原有的基數(shù)上再累加上去。簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)知識(shí)當(dāng)中包含著算理，這一環(huán)節(jié)的教學(xué)要為學(xué)生后續(xù)數(shù)學(xué)技能的發(fā)展服務(wù)。在組織教學(xué)活動(dòng)的過(guò)程中，可配合數(shù)形結(jié)合方法來(lái)實(shí)施授課。教師為學(xué)生準(zhǔn)備寫(xiě)有數(shù)字1—9 的卡片，在課堂上與學(xué)生進(jìn)行游戲：學(xué)生每人畫(huà)出一條數(shù)軸，隨后隨機(jī)抽取兩張或多張卡片，如抽取兩次卡片，分別抽取到“5”和“9”，則要在數(shù)軸上先向前移動(dòng)5 個(gè)點(diǎn)，再向前移動(dòng)9 個(gè)點(diǎn)，并計(jì)算出移動(dòng)的最終距離?；A(chǔ)板塊的數(shù)學(xué)計(jì)算教學(xué)難度偏低，但算理的有關(guān)概念較為復(fù)雜，因此，教師要正確理解算理與數(shù)學(xué)計(jì)算之間的關(guān)系，挖掘算理的本真價(jià)值，借由數(shù)形結(jié)合，將數(shù)學(xué)計(jì)算活動(dòng)轉(zhuǎn)化為一個(gè)直觀、高效的過(guò)程，使學(xué)生在實(shí)踐的同時(shí)理解數(shù)學(xué)知識(shí)。

（三）析 “數(shù)” 聯(lián) “形”，直擊重點(diǎn)

“數(shù)形結(jié)合”是數(shù)學(xué)學(xué)科中格外重要的一種理念，貫穿數(shù)學(xué)教學(xué)的各個(gè)階段。學(xué)生熟練掌握“數(shù)形結(jié)合”，可以在后續(xù)的學(xué)習(xí)中減少許多困難，更加高效地解決問(wèn)題。在課堂教學(xué)中，數(shù)學(xué)教師要從多個(gè)角度展現(xiàn)“數(shù)”與“形”的關(guān)系，并引導(dǎo)學(xué)生采取不同的方式對(duì)二者進(jìn)行轉(zhuǎn)化與聯(lián)合解讀，使學(xué)生熟練地運(yùn)用解題工具。在算理教學(xué)中，教師可引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)聯(lián)系形，以形詮釋數(shù)，實(shí)現(xiàn)數(shù)形聯(lián)合，從而直擊知識(shí)重點(diǎn)，使學(xué)生在直觀中明晰算理，在抽象中掌握算法。

例如，教師在教學(xué)“筆算兩位數(shù)乘兩位數(shù)”時(shí)，可以兩位數(shù)乘整十?dāng)?shù)和兩位數(shù)乘一位數(shù)的筆算為基礎(chǔ)。教學(xué)“14×12”時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生厘清算理，讓學(xué)生嘗試自己獨(dú)立完成計(jì)算，可以用畫(huà)一畫(huà)、圈一圈、算一算等方法實(shí)施授課。教師可以常見(jiàn)的“點(diǎn)子圖”為對(duì)象，指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)計(jì)算：繪制兩張橫向、縱向分別有10 個(gè)點(diǎn)的點(diǎn)子圖，在每張點(diǎn)子圖上分別選定12、14 個(gè)點(diǎn)，進(jìn)行乘法計(jì)算。學(xué)生手持畫(huà)有12個(gè)點(diǎn)的點(diǎn)子圖，在上面標(biāo)記點(diǎn)數(shù)，與所選中的14 個(gè)點(diǎn)相乘，每次點(diǎn)擊一個(gè)點(diǎn)，則最終的計(jì)算結(jié)果要增加14。在利用點(diǎn)子圖進(jìn)行計(jì)算的過(guò)程中，幫助學(xué)生整理數(shù)學(xué)計(jì)算思路：既然每一次點(diǎn)擊都代表著增加14，是否可以將12 分成不同的數(shù)字進(jìn)行點(diǎn)擊？如將12 劃分為6+6、10+2 等，將兩位數(shù)與兩位數(shù)的乘法轉(zhuǎn)化為兩位數(shù)乘一位數(shù)的乘法。教師可以有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生觀察點(diǎn)子圖和口算以及筆算之間的聯(lián)系，使學(xué)生明白數(shù)字當(dāng)中的乘積關(guān)系，確定數(shù)學(xué)計(jì)算方向。教師引導(dǎo)學(xué)生口算與點(diǎn)子圖進(jìn)行溝聯(lián)、口算與筆算進(jìn)行溝聯(lián)、點(diǎn)子圖與筆算進(jìn)行溝聯(lián)，進(jìn)行多番的轉(zhuǎn)換，直擊算理的重點(diǎn)，直觀中抽象出計(jì)算方法，并建立表象，形成模型，從而掌握兩位數(shù)乘兩位數(shù)的計(jì)算方法。

（四）“形” 上覓 “數(shù)”，非此即彼

數(shù)學(xué)概念比較抽象，需要較強(qiáng)的邏輯思維能力。而學(xué)生形象思維占主體，要理解、形成和內(nèi)化、運(yùn)用概念，需要建立具象和表象。教學(xué)中運(yùn)用“形”的直觀性，引入概念，發(fā)現(xiàn)概念的形成過(guò)程，抓住概念的本質(zhì)屬性，結(jié)合“數(shù)”概括出其內(nèi)涵，深刻理解概念，發(fā)展學(xué)生發(fā)散性思維[5]。對(duì)小學(xué)生來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)知識(shí)本身帶有獨(dú)立性、不可替代性的特點(diǎn)，但借由圖形材料解答相關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題，則可以模糊數(shù)學(xué)知識(shí)之間的邊界，將學(xué)生已經(jīng)掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)引入到全新的教學(xué)活動(dòng)當(dāng)中，啟發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。

教師要嘗試?yán)酶黝悢?shù)學(xué)用具、圖像來(lái)貫徹“數(shù)形結(jié)合”思想，以形展示數(shù)、以數(shù)標(biāo)記形，啟發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)探究思維。以數(shù)學(xué)教材中“大數(shù)的認(rèn)識(shí)”為例，學(xué)生開(kāi)始接觸百萬(wàn)、千萬(wàn)等大數(shù)，數(shù)的概念被無(wú)限放大，如果通過(guò)數(shù)位、數(shù)字等簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)知識(shí)要求學(xué)生進(jìn)行記憶，則數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)過(guò)于單一，教師可通過(guò)數(shù)形結(jié)合喚醒學(xué)生的數(shù)學(xué)思維：以個(gè)、十、百三個(gè)基礎(chǔ)單位為對(duì)象引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思考，要求其通過(guò)畫(huà)正方形的方式說(shuō)明三個(gè)數(shù)位之間的關(guān)系。用面積為1 的正方形代表個(gè)位，則面積為10 的正方形代表十位，邊長(zhǎng)為10 的正方形代表百位，面積即是數(shù)位的最大值。而面對(duì)“百萬(wàn)”“千萬(wàn)”等更大的數(shù)位，則可以通過(guò)數(shù)學(xué)計(jì)算來(lái)繪制數(shù)學(xué)圖形，通過(guò)圖形來(lái)理解數(shù)學(xué)單位。我們目前學(xué)到的最大的單位是萬(wàn)，如果用正方形來(lái)表示萬(wàn)，那么這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是多少？如果用表示萬(wàn)的正方形來(lái)表示百萬(wàn)，這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)又是多少？一萬(wàn)當(dāng)中包含著100個(gè)100，故正方形的面積為10000，邊長(zhǎng)為100。對(duì)于一百萬(wàn)，則相當(dāng)于100 個(gè)面積為10000 的正方形，邊長(zhǎng)要變?yōu)樵瓉?lái)的10 倍。在形上尋找數(shù)的“蹤跡”，將抽象的數(shù)字轉(zhuǎn)化為直觀的幾何概念，可以有效提升學(xué)生的數(shù)學(xué)理解能力。

（五）潤(rùn) “形” 解 “數(shù)”，還原本質(zhì)

在傳統(tǒng)教育模式下，理論類的知識(shí)點(diǎn)往往被錯(cuò)誤地看作需要“背誦”的部分，進(jìn)而產(chǎn)生了一系列機(jī)械式教學(xué)方法，使學(xué)生陷入無(wú)窮無(wú)盡的死記硬背中，喪失學(xué)習(xí)活力。實(shí)際上，數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)并不是一個(gè)死記硬背的過(guò)程，是需要學(xué)生經(jīng)過(guò)自主消化、吸收的過(guò)程，學(xué)生只有自己領(lǐng)悟其中的本質(zhì)，才能很好地掌握并運(yùn)用概念。對(duì)于概念的展開(kāi)，運(yùn)用“數(shù)形結(jié)合”，追溯概念的根本，掌握概念的本質(zhì)，順藤摸瓜理解概念的外延，進(jìn)而達(dá)到靈活應(yīng)用[6]。

例如，同一個(gè)數(shù)在不同的數(shù)位所表示的大小和意義是不一樣的，學(xué)生剛接觸這一知識(shí)點(diǎn)時(shí)理解起來(lái)還是有一定的難度的。要把這個(gè)難點(diǎn)突破并內(nèi)化成自己的知識(shí)，可以進(jìn)行一些操作實(shí)踐，一步一步地領(lǐng)悟。學(xué)生可以學(xué)著教師的樣子，把一顆珠子在計(jì)數(shù)器上擺一擺，在擺的過(guò)程中推導(dǎo)算理——相同的珠子擺放在百位上、擺放在十位上，其大小是否會(huì)發(fā)生變化，并思考這個(gè)數(shù)在不同數(shù)位上所表示的數(shù)學(xué)概念。在擺放珠子、記錄數(shù)字的過(guò)程中，通過(guò)形的展示幫助學(xué)生理解數(shù)位的有關(guān)概念：由于數(shù)位的不同，同一個(gè)數(shù)所表示的意義和大小其實(shí)是完全不同的，本質(zhì)含義一目了然。這樣的教學(xué)可以使學(xué)生自己領(lǐng)悟和理解概念的內(nèi)涵，掌握知識(shí)，最后通過(guò)這樣的活動(dòng)舉一反三，在探索的過(guò)程中領(lǐng)悟其他的知識(shí)。

“數(shù)形結(jié)合”的思想方法是數(shù)學(xué)課堂中不可或缺的一種教學(xué)方法，更是學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程中的一種重要解題方法。學(xué)生掌握“數(shù)形結(jié)合”學(xué)習(xí)策略后，在厘清算理、透析概念、解決問(wèn)題方面有了本質(zhì)的改變，明白了在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程中要理解知識(shí)的本質(zhì)、明了概念的形成，把抽象的知識(shí)具體化、形象化，做到“有形”，在“有形”的數(shù)學(xué)中掌握知識(shí)要領(lǐng)，發(fā)展了“有氧思維”，從而形成了“無(wú)形”的思維。