劉小靖，周又和，王記增

（蘭州大學(xué) 土木工程與力學(xué)學(xué)院 西部災(zāi)害與環(huán)境力學(xué)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，蘭州 730000）

（我刊編委周又和、王記增來(lái)稿）

引 言

小波分析發(fā)端于對(duì)地震波的分析研究.對(duì)于頻率隨時(shí)間顯著變化的地震波，研究人員除希望知道其所包含有哪些頻率的波外，更期望能夠具體掌握各頻率波所出現(xiàn)的次序與持續(xù)時(shí)間等信息.Fourier 分析雖能非常精準(zhǔn)地給出整個(gè)地震波的頻譜成分，但卻完全無(wú)法識(shí)別各頻率波所發(fā)生的時(shí)刻，即Fourier 分析具有理想的頻率分辨率，但卻完全沒有時(shí)間分辨率[1].顯然，對(duì)于普遍存在于自然界與人類生產(chǎn)活動(dòng)中的各類頻率隨時(shí)間(或空間)變化的非平穩(wěn)信號(hào)而言，F(xiàn)ourier 分析是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不足以滿足需求的.故而，在Fourier 分析的基礎(chǔ)上，研究人員進(jìn)一步提出了窗口Fourier 變換[2].通過引入一個(gè)窗口函數(shù)，每次截取一小段時(shí)間(或空間)內(nèi)的信號(hào)來(lái)進(jìn)行Fourier 分析，從而使得窗口Fourier 變換能夠同時(shí)獲得一定的時(shí)間(或空間)分辨率與頻率分辨率.其中，時(shí)-頻分辨率取決于窗口函數(shù)，一旦取定則窗口Fourier 變換的時(shí)-頻分辨率會(huì)隨之確定，在整個(gè)分析中不會(huì)再發(fā)生變化.通常，較小的窗口可以獲得較高的時(shí)間(或空間)分辨率，反之較大的窗口則可以獲得較高的頻率分辨率，即時(shí)間(或空間)分辨率與頻率分辨率無(wú)法兼得.事實(shí)上，根據(jù)測(cè)不準(zhǔn)原理，我們不可能同時(shí)精確地識(shí)別出一個(gè)信號(hào)的頻率與發(fā)生時(shí)刻，即無(wú)法同時(shí)獲得理想的時(shí)間(或空間)分辨率與頻率分辨率，二者之間必須進(jìn)行折中.在現(xiàn)實(shí)應(yīng)用中，對(duì)于通常持續(xù)時(shí)間較長(zhǎng)(或空間較大)的低頻信號(hào)，我們希望獲得高的頻率分辨率，而對(duì)時(shí)間(或空間)的分辨率要求可以適當(dāng)降低.反之，對(duì)于持續(xù)時(shí)間較短(或空間較小)的高頻信號(hào)，我們則希望有高的時(shí)間(或空間)分辨率，而對(duì)頻率分辨率可適當(dāng)放松.因?yàn)榉直媛仕經(jīng)Q定著絕對(duì)誤差，對(duì)于頻率較低的信號(hào)，為控制頻率分析的相對(duì)誤差，需使得其絕對(duì)誤差處于較低的水平(即要求高頻率分辨率)，反過來(lái)由于其持續(xù)時(shí)間較長(zhǎng)(或空間較大)，則即使時(shí)間(或空間)分析的絕對(duì)誤差相對(duì)大一些也仍可使得其相對(duì)誤差維持在較低的水平.而針對(duì)高頻信號(hào)的分析要求則剛好相反.由前述介紹可知，窗口Fourier 變換的時(shí)-頻窗口在一次分析中是固定的，即其時(shí)-頻分析的絕對(duì)誤差保持不變.因此對(duì)于我們通常更為關(guān)心的相對(duì)誤差，將會(huì)隨著信號(hào)頻率與持續(xù)時(shí)間的變化而改變，這對(duì)于頻率隨時(shí)間(或空間)變化較為劇烈的非平穩(wěn)信號(hào)是不夠理想的，甚至很多時(shí)候是無(wú)法接受的.故而，研究人員在窗口Fourier 變換的基礎(chǔ)上進(jìn)一步發(fā)展出來(lái)了小波分析[3].小波分析通過尺度伸縮與位置平移可以在整個(gè)時(shí)域(或空間)生成一系列時(shí)-頻分辨率不一的窗口，即多分辨分析，從而自適應(yīng)地識(shí)別分析信號(hào)中的不同頻率成分.

從Fourier 分析到小波分析是復(fù)雜信號(hào)分析處理技術(shù)的一個(gè)逐漸改進(jìn)發(fā)展的過程.簡(jiǎn)而概之，窗口Fourier 變換在一定程度上彌補(bǔ)了Fourier 變換完全不具有時(shí)間(或空間)分辨率的缺陷，而小波分析則進(jìn)一步彌補(bǔ)了窗口Fourier 變換的時(shí)-頻分辨率無(wú)法隨信號(hào)頻率自適應(yīng)調(diào)整的不足.后者可以不是非常準(zhǔn)確地理解為，窗口Fourier 變換控制的是時(shí)間(或空間)分析與頻率分析的絕對(duì)誤差，而小波分析控制的則是實(shí)際應(yīng)用中更為關(guān)心的相對(duì)誤差.因此，小波分析被認(rèn)為是在信號(hào)處理領(lǐng)域中繼Fourier 分析之后的里程碑式進(jìn)展[4].

從小波分析的發(fā)展背景可以看出，其為目前分析處理頻率隨時(shí)間(或空間)變化的非平穩(wěn)信號(hào)的有力工具，甚至往往是最佳選擇.而計(jì)算力學(xué)中許多問題的挑戰(zhàn)正是來(lái)自于對(duì)局部特征的表征與捕獲.如復(fù)雜幾何體的建模往往可歸結(jié)為對(duì)局部幾何細(xì)節(jié)的刻畫，斷裂問題分析的關(guān)鍵在于有效地處理裂尖附近應(yīng)力場(chǎng)的奇異性及裂紋面處的間斷.同時(shí)，由于物理與幾何強(qiáng)非線性的存在，大量力學(xué)問題在定量求解時(shí)會(huì)存在高階（高頻）信息與低階(低頻)信息耦合影響引起的計(jì)算難題.如在計(jì)算流體力學(xué)中如何有效地表征不同尺度的渦運(yùn)動(dòng)及其之間的相互作用[5].因此，小波分析的特點(diǎn)正好迎合了解決目前計(jì)算力學(xué)中這些挑戰(zhàn)性問題的根本需求，進(jìn)而在數(shù)學(xué)適用性上相較于常規(guī)方法具有更明顯的優(yōu)勢(shì).同時(shí)，小波基函數(shù)還可兼具緊支性、正交性、高階連續(xù)性、一致性、插值性等諸多在數(shù)值計(jì)算中所期望的優(yōu)良數(shù)值性質(zhì).故而，在小波理論初步成熟的20世紀(jì)90年代初，研究人員便將小波分析引入到微分方程的求解與計(jì)算力學(xué)中，構(gòu)建了多種小波基數(shù)值方法用于分析求解各類物理力學(xué)問題.如早在1991年，Latto 等便成功構(gòu)造了求解Burgers 方程的小波Galerkin 法[6].隨后，Xu 和Shann[7]系統(tǒng)研究了兩點(diǎn)邊值問題的小波Galerkin 解法，并指出需進(jìn)一步攻克緊支撐正交小波函數(shù)或尺度函數(shù)與其導(dǎo)數(shù)乘積積分(通常稱之為連接系數(shù))的高精度計(jì)算以及抑制邊界附近因級(jí)數(shù)截?cái)嗨鶎?dǎo)致的數(shù)值失穩(wěn)這兩個(gè)基本難題.Tanaka 等[8]在采用不具有正交性的B 樣條小波Galerkin 方法求解固體力學(xué)問題時(shí)，也同樣發(fā)現(xiàn)級(jí)數(shù)展開在邊界附近的截?cái)鄷?huì)導(dǎo)致離散后的剛度矩陣奇異等最終引起數(shù)值失穩(wěn)的問題.針對(duì)這兩個(gè)小波方法發(fā)展中所面臨的基礎(chǔ)性問題，蘭州大學(xué)學(xué)者[9]于2000年前后提出了緊支正交小波連接系數(shù)的精確計(jì)算方法，以及可有效抑制邊界數(shù)值失穩(wěn)的延拓技術(shù)，從而大幅改善了小波Galerkin 方法的求解精度，并在一系列數(shù)值測(cè)試中驗(yàn)證展示了小波方法相較于有限元等傳統(tǒng)數(shù)值方法在精度上的明顯優(yōu)勢(shì).隨后，學(xué)者們[9-11]還進(jìn)一步將小波Galerkin 法擴(kuò)展應(yīng)用于高階偏微分方程的求解，如梁板結(jié)構(gòu)的彎曲問題.之后，小波方法引起了更為廣泛的關(guān)注與重視，相關(guān)研究也得到了快速發(fā)展.研究人員通過結(jié)合不同的小波基函數(shù)與方程離散技術(shù)開發(fā)出了多種小波基數(shù)值方法用以求解各類物理力學(xué)問題.如Nakagoshi 和Noguchi[12]在2001年提出了一種改進(jìn)的小波Galerkin 法用以求解Mindlin 板的彎曲問題.Alqassab 和Nair[13]運(yùn)用小波Galerkin 方法分析了彈性電纜的自由振動(dòng).Li 等[14-15]基于小波有限單元法求解了板的彎曲問題，并開發(fā)了一種裂紋檢測(cè)技術(shù).這一發(fā)展時(shí)期，有關(guān)各類小波基方法的研究進(jìn)展，可進(jìn)一步參考Li 和Chen 于2014年發(fā)表的綜述性文獻(xiàn)[16].

從上述簡(jiǎn)短的介紹可以看出，小波方法在2000年前后的十余年里得到了迅猛發(fā)展.但這些研究工作大部分屬于對(duì)各類小波基數(shù)值方法的原理性驗(yàn)證，很多研究都是基于非常簡(jiǎn)單的模型問題來(lái)分析討論各類小波方法的精度、效率與穩(wěn)定性等數(shù)值特性，而針對(duì)相對(duì)更為復(fù)雜的工程問題的應(yīng)用研究則非常匱乏.事實(shí)上，研究人員一直都在持續(xù)努力推動(dòng)小波方法的實(shí)用化，但卻長(zhǎng)期受制于如下兩個(gè)基本問題遲遲無(wú)法得到有效解決而進(jìn)展緩慢.其一是非規(guī)則求解域的有效處理技術(shù).初始小波分析是定義在開區(qū)間上的，因此在有限域上運(yùn)用時(shí)需要進(jìn)行級(jí)數(shù)截?cái)啵纱藢⒃谶吔绺浇a(chǎn)生數(shù)值失穩(wěn)[9].雖然在小波方法發(fā)展的早期已經(jīng)給出了處理一維問題的邊界延拓技術(shù)[9]，但卻一直缺少直接適用于二維與三維復(fù)雜區(qū)域問題的邊界延拓方法.因此，對(duì)于二維與三維問題，相應(yīng)的小波基往往只能由結(jié)合邊界延拓后的一維小波基的張量積來(lái)生成，導(dǎo)致只能處理高度規(guī)則的問題域.雖然研究人員針對(duì)這一問題先后提出了虛擬區(qū)域法與小波有限元等處理技術(shù)，但各自都面臨著一些較為嚴(yán)峻的挑戰(zhàn).如在虛擬區(qū)域法中，求解域被擴(kuò)大導(dǎo)致計(jì)算量增加，同時(shí)往往會(huì)在虛擬區(qū)域與真實(shí)問題域的界面處產(chǎn)生不連續(xù)，導(dǎo)致計(jì)算精度下降以及數(shù)值穩(wěn)定性問題[17-18].而小波有限元?jiǎng)t需計(jì)算小波基函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)與Jacobi 矩陣之積的積分，由于小波函數(shù)的導(dǎo)數(shù)往往高度振蕩，造成這一積分所需的計(jì)算量非常大而精度卻不高.同時(shí)，在相鄰單元界面處的連續(xù)性難以保證，即通常為非協(xié)調(diào)元，故而在使用時(shí)還需額外關(guān)注穩(wěn)定性問題.其二是非線性問題的求解.在運(yùn)用小波Galerkin 法求解非線性問題時(shí)，需要計(jì)算小波基函數(shù)與其導(dǎo)數(shù)多重乘積或與超越函數(shù)之積等復(fù)雜函數(shù)的積分，而這些積分通常難以高效高精度的獲得.故而，在非線性問題求解中，往往采用小波配點(diǎn)法以避免這些復(fù)雜的積分運(yùn)算.但對(duì)于大多數(shù)物理力學(xué)問題，如固體力學(xué)問題，與變分原理對(duì)應(yīng)的Galerkin 法往往具有更為優(yōu)良的精度與穩(wěn)定性.但小波Galerkin 法由于自身存在的上述局限，難以展現(xiàn)優(yōu)勢(shì).

正是由于小波方法在非規(guī)則求解域與非線性問題的處理中面臨著上述挑戰(zhàn)，導(dǎo)致其難以用于分析相對(duì)復(fù)雜的工程問題.因此，雖然小波方法在很多基準(zhǔn)模型測(cè)試中展現(xiàn)出了非常誘人的優(yōu)勢(shì)，但限于自身極為有限的適用范圍，造成近年來(lái)關(guān)于小波方法的研究逐步減少.但應(yīng)該看到，雖然小波方法具有一些自身的弱點(diǎn)，但在復(fù)雜問題處理中其所具有的獨(dú)特優(yōu)勢(shì)依然是不可替代的.因此，如何在保持小波分析優(yōu)勢(shì)的同時(shí)克服小波基數(shù)值方法在非規(guī)則求解域與非線性問題分析中的局限成為了近些年來(lái)研究的熱點(diǎn).本文后續(xù)部分將逐一介紹近年來(lái)小波方法在非規(guī)則求解域與非線性問題以及高階微分方程求解方面的最新研究進(jìn)展.

1 復(fù)雜求解域的處理技術(shù)

復(fù)雜求解域及相應(yīng)邊界條件的處理是所有數(shù)值方法面臨的基本難題之一，也一直是制約各種方法進(jìn)一步發(fā)展與應(yīng)用的主要障礙之一[19-20].即使是目前已非常成熟的有限元與有限體積法等網(wǎng)格基方法，也依然面臨著網(wǎng)格生成極為耗時(shí)且難以完全由計(jì)算機(jī)全自動(dòng)生成等諸多嚴(yán)峻挑戰(zhàn)[21-22].相對(duì)于這些采用多項(xiàng)式為基底的方法，對(duì)于針對(duì)開區(qū)間函數(shù)分析而構(gòu)建的小波而言則面臨著更大的困難.

根據(jù)小波多分辨分析理論，在有限區(qū)域Ω上逼近L2函數(shù)時(shí)，有[23-24]

其中 φk(x)和 ψk(x)分別為由緊支小波尺度函數(shù) φ(x)和 小波函數(shù) ψ(x)通過伸縮平移形成的基函數(shù).圖1給出了消失矩γ=6 和尺度函數(shù)一階矩M1=的廣義正交Coiflet 小波[9]的尺度函數(shù)和小波函數(shù)及其頻譜.在式(1)中，展開系數(shù)可具體表征為

圖1 廣義正交Coiflet小波(γ=6，M1=7)：(a)尺度函數(shù)φ(x)和小波函數(shù)ψ(x)；(b)頻譜Fig.1 The generalized orthogonal Coiflet with γ=6 and M1=7:(a) scaling function φ(x) and wavelet function ψ(x);(b) frequency spectrum

基于小波多分辨理論，在近似格式(1)中，尺度級(jí)數(shù)Sj f(x)表征著函數(shù)f(x)的低頻成分(如圖1所示)，并維持著式(1)精確重構(gòu)低階多項(xiàng)式的能力(即一致性)；而小波級(jí)數(shù)部分Qnf(x)則代表著f(x)的高頻成分(如圖1所示)，通常用于描述局部細(xì)節(jié)，作為對(duì)尺度級(jí)數(shù)的補(bǔ)充，可根據(jù)實(shí)際需要進(jìn)行增減.因?yàn)槌叨燃?jí)數(shù)Sj f(x)維持著式(1)的一致性，故而必須完備，即序列 {φk(x),k=1,2,···,N+Ne} 應(yīng) 當(dāng)恰好剛剛是緊支域 Ωφk與區(qū)域Ω存在交集的所有尺度基函數(shù)的集合.由此，式(1)中必定會(huì)存在緊支域 Ωφ

k只有非常小的一部分位于區(qū)域Ω內(nèi)的尺度基函數(shù) {φk(x),k=N+1,N+2,···,N+Ne}，如圖2所示.同時(shí)，由圖1可知對(duì)于緊支小波其函數(shù)值包含導(dǎo)數(shù)值在緊支域的邊界處都非常小，遠(yuǎn)小于其最大值.因此，若直接使用式(1)作為試函數(shù)，則無(wú)論是用Galerkin 法，抑或是傳統(tǒng)配點(diǎn)法，還是其他離散方法，在離散系統(tǒng)的系數(shù)矩陣中，與這些基函數(shù)對(duì)應(yīng)的行元素都會(huì)遠(yuǎn)小于其他行元素，導(dǎo)致方程系數(shù)矩陣的條件數(shù)非常大甚至接近于奇異，由此必須采用計(jì)算量非常大的特殊方法才能求解，且解的精度往往非常不理想.而另一方面，如前所述這些項(xiàng)又不能直接舍掉，否則式(1)在邊界附近將會(huì)喪失精確重構(gòu)低階多項(xiàng)式的能力，導(dǎo)致解的誤差在邊界附近急劇增大，產(chǎn)生數(shù)值失穩(wěn)[4,25].

圖2 在有限區(qū)域上逼近函數(shù)所需的尺度基函數(shù)及邊界延拓示意圖Fig.2 Diagrammatic drawing of the required scaling basis function and the corresponding boundary extension in the approximation of a function in a finite domain

鑒于在微分方程求解中，既不能直接將式(1)中的展開系數(shù)ck，k=N+1,N+2,···,N+Ne作為基本求解量，也不能直接賦為零(即舍掉)，故而研究人員提出了邊界延拓的思想[26-27]，即用其余展開系數(shù)ck，k=1,2,···,N將這部分系數(shù)表征出來(lái).但要通過初始定義式(2)建立二者之間的聯(lián)系，除非采用周期延拓否則幾乎不可能.但周期延拓，即認(rèn)為函數(shù)是以求解域?yàn)橐粋€(gè)周期的周期函數(shù)的處理方式，一方面只適用于高度規(guī)則的求解域，同時(shí)并不能確保近似格式(1)的一致性，只適用于極少數(shù)特定問題.故而，王記增與周又和[17-18]進(jìn)一步提出了計(jì)算尺度展開系數(shù)ck的廣義小波Gauss 積分法，同時(shí)國(guó)外學(xué)者也開發(fā)了插值小波[25].二者的共同特征是用節(jié)點(diǎn)值來(lái)表征尺度展開系數(shù)ck，即式(1)可改寫為

式中 θk(x)為(擬)插值小波尺度基函數(shù)，xk，k=1,2,···,N和k=N+1,N+2,···,N+Ne則分別為位于域內(nèi)和域外的節(jié)點(diǎn).

基于近似格式(3)，邊界延拓轉(zhuǎn)化為用域內(nèi)節(jié)點(diǎn)值外推給出所需的域外節(jié)點(diǎn)值.但由于在早期研究中缺少完善的理論分析，往往根據(jù)尺度級(jí)數(shù)Sjf(x)表征的是低頻光滑部分，因此邊界延拓應(yīng)該保證延拓后的域外函數(shù)與原域內(nèi)函數(shù)也應(yīng)該具有一定的光滑性這一定性原則進(jìn)行.但對(duì)于邊界是曲線的一般二維區(qū)域與邊界為曲面的一般三維區(qū)域，要構(gòu)建一個(gè)與域內(nèi)函數(shù)在邊界處具有高階連續(xù)導(dǎo)數(shù)的域外函數(shù)非常困難，故而只成功發(fā)展了針對(duì)一維問題的邊界延拓技術(shù)，如Lagrange 插值延拓與Taylor 展開延拓[9,28].而對(duì)于二維與三維問題則只能采用延拓后的一維小波基的張量積來(lái)進(jìn)行逼近，導(dǎo)致只能適用于長(zhǎng)方形與立方體等高度規(guī)則的求解域.為了進(jìn)一步處理非規(guī)則求解域，研究人員一方面通過引入有限元的概念提出了小波有限元方法[16]，但該方法在應(yīng)用時(shí)其單元間的連續(xù)性往往難以保證，且所需的小波基函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)與Jacobi 矩陣之積的積分難以高精度獲得.另一方面，研究人員通過將求解域擴(kuò)大為規(guī)則區(qū)域再結(jié)合Lagrange 乘子法或罰函數(shù)法施加界面約束條件的方式構(gòu)建了虛擬區(qū)域法[12]，但這一方法一直面臨著計(jì)算量大而精度低，且數(shù)值穩(wěn)定性不好的問題.因此，雖然經(jīng)過了諸多嘗試與努力，但小波基數(shù)值方法一直未能有效地?cái)U(kuò)展應(yīng)用于一般求解域問題，難以處理各類實(shí)際問題，適用范圍與實(shí)用性極為有限，造成近年來(lái)小波基方法的研究逐漸減少.

針對(duì)小波方法難以有效處理非規(guī)則求解域的問題，Liu 等[29-31]經(jīng)過長(zhǎng)期探索于近期提出了一套針對(duì)一般區(qū)域的普適邊界延拓技術(shù).基于完善的數(shù)學(xué)證明，他們首先明確給出了邊界延拓的實(shí)質(zhì)是要補(bǔ)充一組適當(dāng)?shù)挠蛲夤?jié)點(diǎn)值，從而使得近似格式(3)在全域內(nèi)具有精確重構(gòu)低階多項(xiàng)式的能力這一定量原則.繼而通過理論證明，用與距域外節(jié)點(diǎn)最近的域內(nèi)節(jié)點(diǎn)通過Lagrange 插值給出該域外節(jié)點(diǎn)值即可滿足該要求.如對(duì)于圖2所示的域外節(jié)點(diǎn)xo，可由離其最近的域內(nèi)節(jié)點(diǎn)(位于虛線框內(nèi))通過Lagrange 插值給出相應(yīng)的值.對(duì)于每一個(gè)域外節(jié)點(diǎn)，這一插值都完全獨(dú)立，彼此之間不相互影響，故而整個(gè)邊界延拓過程非常簡(jiǎn)便易于實(shí)施.由此，Liu等[29-31]給出了一種有效逼近定義在非規(guī)則區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的小波格式，即

其中?k(x)為結(jié)合邊界延拓后的改進(jìn)尺度基函數(shù)，其為標(biāo)準(zhǔn)尺度基函數(shù)θk(x)的線性組合.

但近似格式(4)通常不具有插值性，即使是對(duì)于插值小波也只在與尺度基函數(shù)對(duì)應(yīng)的節(jié)點(diǎn)上(均勻分布的節(jié)點(diǎn)，如圖3中的紅色節(jié)點(diǎn))才滿足關(guān)系f(xk)=Sj f(xk).這一極為有限的插值性導(dǎo)致本質(zhì)邊界條件無(wú)法像有限元一樣簡(jiǎn)便施加，只能采用目前無(wú)網(wǎng)格方法中所普遍使用的Lagrange 乘子法或罰函數(shù)法進(jìn)行處理.但前者會(huì)擴(kuò)大最后代數(shù)方程組的維數(shù)，并且造成剛度矩陣喪失正定性，而后者則無(wú)法精確施加邊界條件，導(dǎo)致計(jì)算精度偏低.針對(duì)這一問題，Liu 等[29-31]通過重新定義多分辨分解關(guān)系(小波理論的核心關(guān)系)建立了一種能在任意指定局部節(jié)點(diǎn)上(與小波基函數(shù)對(duì)應(yīng))進(jìn)行過點(diǎn)插值的小波近似格式，即

式中基函數(shù)φk(x)為標(biāo)準(zhǔn)基函數(shù) θk(x)和 ψk(x)的線性組合.插值格式(5)滿足性質(zhì)f(xk)≡fh(xk)，k∈?，其中節(jié)點(diǎn)組{xk,k∈?}可為整體節(jié)點(diǎn)組的任意子集，如圖3所示，Q為?的補(bǔ)集.

圖3 小波多分辨定向插值的節(jié)點(diǎn)分布示意圖Fig.3 Diagrammatic drawing of the distribution of nodes for targeted wavelet interpolation

結(jié)合小波多分辨定向插值格式(5)與變分原理，并通過開發(fā)非規(guī)則區(qū)域上小波連接系數(shù)的半解析積分方法，Liu 等[29-31]建立了小波多分辨插值Galerkin 方法，并將其成功應(yīng)用于線彈性力學(xué)與線彈性斷裂力學(xué)問題的定量分析中.數(shù)值算例表明，這一方法可以非常高效地處理非規(guī)則求解域，如汽車連桿與輪轂等具有復(fù)雜幾何形狀的問題.同時(shí)在節(jié)點(diǎn)數(shù)量相同的情形下，其精度明顯優(yōu)于常用的線性有限元，而計(jì)算時(shí)間相當(dāng)(有限元計(jì)算耗時(shí)中不包括網(wǎng)格劃分)[29-31].此外，該小波多分辨插值Galerkin 方法還具有如下優(yōu)點(diǎn)[29-31]：1) 不需要網(wǎng)格，包括背景網(wǎng)格，是一種真正的無(wú)網(wǎng)格法；2) 所需節(jié)點(diǎn)分為均勻節(jié)點(diǎn)(可以都不位于邊界上)與可任意添加的局部節(jié)點(diǎn)，如圖3所示，生成規(guī)則明確易于實(shí)現(xiàn)，均可由計(jì)算機(jī)全自動(dòng)高效生成；3) 形函數(shù)生成過程中不存在任何矩陣求逆運(yùn)算與任何經(jīng)驗(yàn)參數(shù)；4) 剛度矩陣積分可由半解析方法高效獲得；5) 位移邊界條件的施加與有限元一樣簡(jiǎn)便高效；6) 得益于小波多分辨分析，具有強(qiáng)健穩(wěn)定的局部細(xì)化能力，如對(duì)于裂尖應(yīng)力場(chǎng)，只需在局部做多分辨細(xì)化即可準(zhǔn)確地捕獲到該奇異場(chǎng).由國(guó)內(nèi)學(xué)者近期所發(fā)展的這一小波多分辨插值Galerkin 方法，為處理非規(guī)則域問題的求解這一小波基數(shù)值方法長(zhǎng)期以來(lái)所面臨的關(guān)鍵性基礎(chǔ)難題，提供了一種可行的方案，展現(xiàn)出了發(fā)展成為科學(xué)研究與工程應(yīng)用中各類物理與力學(xué)問題普適求解新型數(shù)值工具的潛力.

2 非線性問題的封閉求解技術(shù)

非線性廣泛存在于各類科學(xué)和工程問題中，如彈塑性、大變形、接觸、湍流等.這類問題的高效、高精度求解一直是計(jì)算數(shù)學(xué)與計(jì)算力學(xué)研究領(lǐng)域的前沿?zé)狳c(diǎn)與難點(diǎn)問題之一.目前，針對(duì)非線性問題的求解總體上可分為兩條基本途徑.一是逐步追蹤逼近，將原非線性問題轉(zhuǎn)化為一系列線性問題進(jìn)行求解[32-35]，典型的如分析大變形問題的增量有限元.但這一方法對(duì)于強(qiáng)非線性問題往往面臨著精度難以滿足需求，甚至無(wú)法獲得收斂解的難題.同時(shí)，各種線性化與收斂增強(qiáng)技術(shù)的有效性往往依賴于具體問題，缺乏普適性[32-37].另一種途徑則是直接數(shù)值求解非線性微分方程，通過將待求函數(shù)用級(jí)數(shù)展開并將其代入非線性項(xiàng)以獲得非線性項(xiàng)的近似逼近格式，繼而再由Galerkin 或配點(diǎn)方法等離散技術(shù)獲得非線性離散系統(tǒng)以實(shí)現(xiàn)求解[38-39].但現(xiàn)有采用這一途徑的數(shù)值方法包括小波基方法均面臨著一些局限.

如對(duì)于一般形式的偏微分方程：

其中L和N分別為線性和非線性微分算子.在數(shù)值求解中不可避免地要對(duì)待求函數(shù)u(x)的展開級(jí)數(shù)進(jìn)行截?cái)?，即將其表示?/p>

其中uh(x)為所保留的近似解，而(x)為舍掉的截?cái)嗾`差，ak和hk(x)分別為展開系數(shù)與基函數(shù).將式(7)代入式(6)可得

式中Q(x)為實(shí)際所求解的近似方程L[uh(x)]+N[uh(x)]=0的殘差.顯然，求解中必須將方程殘差Q(x)控制到足夠小才能保證uh(x)為u(x)的有效近似.另一方面，如果Q(x)過大，即近似方程與原方程存在較大區(qū)別，則可能出現(xiàn)原方程有解但實(shí)際所求解的近似方程卻并不存在解的情形，由此導(dǎo)致求解過程不收斂.但從式(8)可以看出，方程殘差Q(x)不但依賴于截?cái)嗾`差(x)，同時(shí)還依賴于近似解uh(x)，故而無(wú)法通過單獨(dú)調(diào)控截?cái)嗾`差(x)來(lái)確保方程殘差Q(x)處于相對(duì)極小的范圍，從而導(dǎo)致方法的有效性依賴于所求解的具體問題.這一在非線性問題求解中所出現(xiàn)的近似解與截?cái)嗾`差相互耦合，彼此相互影響的問題即為所謂的求解不封閉[40].這是非線性問題求解顯著區(qū)別于線性問題求解的基本特征.例如，若N也為一線性算子，根據(jù)疊加原理則有方程殘差即對(duì)于線性問題，方程的殘差只依賴于截?cái)嗾`差(x) 而與近似解uh(x)無(wú)關(guān)，所以求解是封閉的.正是由于這一封閉性問題的存在，導(dǎo)致非線性問題的求解難度遠(yuǎn)大于線性問題.

此外，對(duì)于近似方程式(8)，如采用Galerkin 或有限元等方法求解，則需計(jì)算等復(fù)雜積分，這些積分通常是難以獲得的.尤其是當(dāng)非線性算子N為一非整數(shù)冪次或超越函數(shù)關(guān)系時(shí)，基本無(wú)法直接計(jì)算，往往需先進(jìn)行Taylor 展開轉(zhuǎn)化為一整數(shù)冪次非線性問題再進(jìn)行求解[40].由此，在求解中又必須對(duì)這一Taylor 展開的收斂性加以關(guān)注研究.而對(duì)于利用性質(zhì)優(yōu)異的緊支撐正交小波為基底的小波Galerkin 方法而言，這一問題尤為突出，因?yàn)槟壳爸淮嬖谟嘘P(guān)緊支撐正交小波基函數(shù)與其導(dǎo)數(shù)3 重乘積積分的精確數(shù)值計(jì)算的有效方法[4,9].因此即使是對(duì)于超過2 次的整數(shù)冪次非線性問題，也難以利用小波Galerkin 方法進(jìn)行處理，造成其在非線性問題求解中的適用范圍極為有限.

針對(duì)現(xiàn)有數(shù)值方法普遍存在的封閉性問題以及小波Galerkin 法面臨的復(fù)雜積分無(wú)法獲得的難題，周又和團(tuán)隊(duì)[40]在其所開發(fā)的廣義小波Gauss 積分法的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步提出了非線性問題的小波封閉解法.在這一方法中，假定非線性項(xiàng)是平方可積的，這時(shí)其也可被視為一獨(dú)立函數(shù)用式(4)進(jìn)行展開，即

其中非線性項(xiàng)的展開系數(shù)可用待求函數(shù)的展開系數(shù)加以顯式表征，從而避免了待求系數(shù)的增加.這一處理方式明顯區(qū)別于常規(guī)方法中所使用的將近似解直接代入非線性項(xiàng)的處理方式.將式(4)和式(9)代入方程(7)，可得實(shí)際所求解近似方程的殘差為

從式(10)中可以看出，方程殘差完全取決于決定截?cái)嗾`差的展開系數(shù)和，而獨(dú)立于表征近似解的展開系數(shù)u(xk)，即實(shí)現(xiàn)了近似解與截?cái)嗾`差的解耦，因而其對(duì)于非線性問題的求解是封閉的[40].

此外，從非線性項(xiàng)的展開格式(9)可以看出，非線性算子只作用在展開系數(shù)上，而不影響基函數(shù).因此，對(duì)于一般的非線性問題，包括超越函數(shù)形式的非線性問題，這一小波封閉算法均只需用到已有方法即可實(shí)現(xiàn)精確計(jì)算的兩項(xiàng)連接系數(shù)[40]，從而完美解決了傳統(tǒng)小波Galerkin 法在非線性問題求解中所面臨的復(fù)雜積分無(wú)法獲得的難題.事實(shí)上，在使用這一小波封閉算法求解非線性微分方程時(shí)，其離散過程與線性問題的處理情形高度相似，同樣的便捷.因此，相較于其他Galerkin 類方法，由Zhou 及其合作者所建立的小波封閉算法在求解普遍的非線性問題時(shí)也更為高效，易于實(shí)施[40].

為測(cè)試上述小波封閉解法的實(shí)際性能，學(xué)者們[10,11,40-52]已具體研究分析了大量物理力學(xué)非線性問題，如梁板結(jié)構(gòu)的彎曲與屈曲問題、Burgers 方程和淺水波方程等.所得到的大量數(shù)值結(jié)果表明，這一小波封閉算法相較于有限元和有限差分法等常規(guī)數(shù)值方法具有更高的求解精度與計(jì)算效率，并且可以統(tǒng)一求解從弱到強(qiáng)的非常廣泛的非線性問題，從而有效解決了常規(guī)方法的有效性依賴于具體問題非線性特征的難題[10,11,40-52].最近，Ma 等[53]直接運(yùn)用這一小波封閉解法定量研究了大范圍軸向運(yùn)動(dòng)繩的非線性耦合振動(dòng)，評(píng)價(jià)其比有限元等常規(guī)方法計(jì)算精度更高且分析速度更快.美國(guó)與科威特學(xué)者則直接將該小波封閉解作為無(wú)法獲得精確解的非線性問題的標(biāo)準(zhǔn)參考解，作為評(píng)估他們所提方法數(shù)值精度的標(biāo)準(zhǔn)[54].此外，Yu 及其合作者[55-56]通過將這一非線性小波封閉展開格式與傳統(tǒng)同倫算法相結(jié)合，發(fā)展形成了所謂的小波同倫方法，在多類強(qiáng)非線性問題的定量求解[57-60]中獲得了良好的效果.他們認(rèn)為這一小波逼近格式具有正交性、緊支集、插值性等在數(shù)值計(jì)算中所期望的良好性質(zhì)，并可非常方便地平衡效率與精度.同時(shí)，由于這一函數(shù)近似逼近格式對(duì)非線性形式不敏感，從而有效解決了傳統(tǒng)同倫方法一直面臨的對(duì)不同問題進(jìn)行求解時(shí)需選擇有效基函數(shù)的難題.

3 高階微分方程的高精度求解

高階微分方程廣泛用于描述天體物理、流體運(yùn)動(dòng)與結(jié)構(gòu)力學(xué)等學(xué)科中的諸多現(xiàn)象.如非對(duì)稱載荷作用下，正交各向異性圓柱薄殼的變形可由8 階偏微分方程組描述[61]，均勻梁扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的控制方程也為8 偏微分方程[62].而在流體力學(xué)中也存在許多需要由高階微分方程來(lái)加以描述的問題[63]，甚至有些問題的數(shù)學(xué)模型為高達(dá)24 階的微分方程組[3].

針對(duì)高階微分方程的求解，目前有兩條基本途徑.一是將高階微分方程的求解轉(zhuǎn)化為低階微分方程組，其實(shí)質(zhì)就是利用逐步迭代的方式，通過多次使用低階微分離散算子，來(lái)獲得高階微分的離散格式[64-69].如Liu等[67-69]通過反復(fù)使用低階微分求積來(lái)離散算子，分別求解了4 階、6 階和8 階微分方程.但在這類方法中，由于誤差的急劇累加，導(dǎo)致解的精度將隨著微分方程階次的升高而急劇下降，難以獲得高精度的近似解[64-69].第二條途徑是直接構(gòu)造高階微分算子的離散格式.如Boutayeb 和Twizell[70]提出了離散8 階導(dǎo)數(shù)的有限差分格式，進(jìn)而建立了求解8 階微分方程的有限差分法.但針對(duì)高階導(dǎo)數(shù)的有限差分格式，一方面其構(gòu)造過程異常繁瑣，同時(shí)更重要的是在使用較小的網(wǎng)格尺寸時(shí)，其離散矩陣的條件數(shù)會(huì)非常高，從而引發(fā)數(shù)值穩(wěn)定性問題[70].因此，為保證求解的穩(wěn)定性，不能使用過于細(xì)密的網(wǎng)格，求解精度受到限制，難以獲得高精度解.而用有限元、配點(diǎn)法與Galerkin 法等方法求解高階微分方程時(shí)，需要高階連續(xù)的試函數(shù)與權(quán)函數(shù).即使是對(duì)試函數(shù)連續(xù)性要求相對(duì)較低的弱形式，也要求試函數(shù)具有微分方程階次一半階次的弱導(dǎo)數(shù).但通常具有高階連續(xù)導(dǎo)數(shù)的試函數(shù)的構(gòu)造極為繁瑣，尤其是當(dāng)求解域較為復(fù)雜時(shí)[71-75].同時(shí)，這些方法在實(shí)際使用中還往往面臨著穩(wěn)定性問題.如Siddiqi 和 Twizell[73-74]在使用高次樣條函數(shù)求解高階線性邊值問題時(shí)，便遇到了解在邊界附近不收斂的問題.

事實(shí)上，上述求解格式的基本思想都是將待求函數(shù)作為基本未知量，然后通過數(shù)值微分將其導(dǎo)數(shù)用待求函數(shù)自身進(jìn)行近似表征[64-75].眾所周知，數(shù)值微分隨著導(dǎo)數(shù)階次的升高其精度將會(huì)急劇下降，從而導(dǎo)致這些方法的求解精度都會(huì)隨著微分方程階次的升高而急劇衰減.特別是這些方法的收斂速度通常較低，一般很難超過2 階[64-75]，由此導(dǎo)致難以獲得高階微分方程的高精度近似解.這一問題即使是對(duì)于數(shù)值性質(zhì)優(yōu)良的小波基方法也無(wú)法避免[46-54].如對(duì)于2 階微分方程，小波Galerkin 法的收斂速度可達(dá)到5 階[47]，但用其求解4 階微分方程時(shí)則迅速衰減為3 階[10].而且在用小波方法求解高階微分方程時(shí)還面臨著自身特有的難題.由于大部分性質(zhì)優(yōu)良的小波通常不具有解析表達(dá)式，且其導(dǎo)數(shù)往往為高度振蕩的函數(shù)，因此計(jì)算其高階導(dǎo)數(shù)以及與之相關(guān)的連接系數(shù)將是一項(xiàng)頗具挑戰(zhàn)性的工作，通常難以高精度地獲得求解高階微分方程中所需的這些導(dǎo)數(shù)和積分.

鑒于高階微分方程求解所面臨的難題，學(xué)者們[42,76-77]提出了一種高精度的小波積分配點(diǎn)法.這一方法的基本思想是將非線性微分方程中的各階導(dǎo)數(shù)分別看作未知函數(shù)，從而將方程中復(fù)雜的導(dǎo)數(shù)與非線性耦合的關(guān)系轉(zhuǎn)化為函數(shù)之間的直接關(guān)系，并進(jìn)一步通過配點(diǎn)方法將原方程離散為在節(jié)點(diǎn)上滿足的一系列代數(shù)方程.而代表各階導(dǎo)數(shù)的未知函數(shù)之間，則通過小波數(shù)值積分技術(shù)近似表征.由于這一方法是采用數(shù)值積分來(lái)建立方程中各階導(dǎo)數(shù)之間的聯(lián)系，而不是常規(guī)數(shù)值方法中所使用的數(shù)值微分思想，因此這一小波積分配點(diǎn)法可有效地克服上述常規(guī)數(shù)值方法所面臨的問題.第一個(gè)優(yōu)點(diǎn)是可以大幅放寬對(duì)試函數(shù)連續(xù)性的要求.例如，Amin 等[78-79]以只存在一階弱導(dǎo)數(shù)的Haar 小波為試函數(shù)便成功地獲得了8 階與10 階微分方程的有效近似解.第二個(gè)明顯的優(yōu)勢(shì)是其收斂速度與精度對(duì)于微分方程的階次不再十分敏感，這得益于數(shù)值積分的精度通常要遠(yuǎn)高于數(shù)值微分.如對(duì)于基于同一種小波所構(gòu)造的數(shù)值微分與數(shù)值積分格式，在近似逼近函數(shù)的4 階導(dǎo)數(shù)時(shí)，數(shù)值精度較之逼近原函數(shù)會(huì)下降約6 個(gè)數(shù)量級(jí)，而相應(yīng)的收斂速度會(huì)降低4 階.但在逼近不同重?cái)?shù)的積分時(shí)，其精度與收斂速度則幾乎保持不變[40,76].具體的數(shù)值算例表明，小波積分配點(diǎn)法在分別求解4 階、6 階和8 階非線性微分方程時(shí)，其收斂速度一直可保持6 階，與直接利用小波基逼近函數(shù)的收斂階數(shù)一致.針對(duì)線性問題的誤差分析表明，在求解過程中小波積分配點(diǎn)法所涉及相關(guān)系數(shù)矩陣的條件數(shù)會(huì)隨著未知量個(gè)數(shù)的增加而降低，相較其他方法具有非常獨(dú)特的數(shù)值穩(wěn)定特性[76].在一維與二維非線性波動(dòng)問題的求解中[77]，小波積分配點(diǎn)法的收斂階數(shù)在空間上仍保持在了6 階.而且這一收斂階數(shù)幾乎不依賴于問題中非線性的形式、時(shí)間的存在以及空間的維數(shù).

4 總結(jié)與展望

本文對(duì)小波分析的提出背景、優(yōu)點(diǎn)以及其在微分方程求解中的運(yùn)用進(jìn)行了簡(jiǎn)要梳理總結(jié).從中可以看出，小波分析由于其獨(dú)具的時(shí)頻局部性與多分辨特性，從而在復(fù)雜信號(hào)(或函數(shù))的分析表征上具有明顯的理論優(yōu)勢(shì)，使得各類基于小波級(jí)數(shù)展開的數(shù)值方法也在微分方程的求解中體現(xiàn)出相應(yīng)的優(yōu)良性質(zhì).但在將小波分析運(yùn)用于計(jì)算數(shù)學(xué)與計(jì)算力學(xué)廣泛?jiǎn)栴}的普適求解時(shí)，也存在著一些必須克服的基礎(chǔ)性難題，如難以高效處理具有非規(guī)則求解域與復(fù)雜非線性的問題等.這些難題的存在造成各類小波基方法的適用范圍極為有限，也因此導(dǎo)致近年來(lái)有關(guān)小波方法研究的關(guān)注度持續(xù)下降.但近期，國(guó)內(nèi)學(xué)者通過開發(fā)提出小波多分辨插值Galerkin 法、小波封閉解法以及小波積分配點(diǎn)法等，給出了涉及非規(guī)則求解域、強(qiáng)非線性以及高階導(dǎo)數(shù)等特征微分方程的高效處理技術(shù)，有效地解決了小波基方法長(zhǎng)期以來(lái)在這些問題求解中所面臨的基礎(chǔ)性難題.由于這些方法在完整保留小波分析獨(dú)特優(yōu)勢(shì)的同時(shí)有效地克服了小波方法自身的局限，從而在相關(guān)問題的求解中表現(xiàn)出了相較于有限元與有限差分法等常規(guī)數(shù)值方法非常明顯的優(yōu)勢(shì)，并使得將小波方法直接用于復(fù)雜工程問題的求解成為可能，也使得小波基數(shù)值方法再次展現(xiàn)出了良好的發(fā)展前景與潛力.

但是應(yīng)當(dāng)看到，小波基方法雖然經(jīng)過了30 余年的發(fā)展，但離發(fā)展成熟依然相距甚遠(yuǎn)，還遺留著諸多問題有待進(jìn)一步深入研究.比如，如何將小波多分辨插值Galerkin 法與小波封閉算法融合起來(lái)，從而形成一套對(duì)分析求解實(shí)際工程問題中所面臨的各類具有復(fù)雜幾何形態(tài)與局部大梯度的非線性問題廣泛適用的新型數(shù)值方法？以及如何運(yùn)用小波多分辨插值Galerkin 法的基本思想將求解高階微分方程的小波積分配點(diǎn)法擴(kuò)展至非規(guī)則求解域問題的研究中？此外，發(fā)展小波基數(shù)值方法與CAD的無(wú)縫數(shù)據(jù)交換技術(shù)，以及將已有算法進(jìn)一步軟件化，這在其進(jìn)一步發(fā)展與實(shí)用化過程中也是必須要加以研究的課題.最后，小波分析在大規(guī)模數(shù)據(jù)的處理中具有非常獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)，因此其與基于大數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的計(jì)算數(shù)學(xué)和計(jì)算力學(xué)具有天然的契合點(diǎn)，但目前只有極少數(shù)工作對(duì)此進(jìn)行了初步的嘗試，故而將二者深度而有機(jī)地融合起來(lái)，將有望成為小波基方法與計(jì)算力學(xué)領(lǐng)域新發(fā)展的下一個(gè)驅(qū)動(dòng)點(diǎn).