馬本江, 蔣學(xué)海,2

(1,中南大學(xué) 商學(xué)院,湖南 長沙 410083; 2.北部灣海洋發(fā)展研究中心(北部灣大學(xué))，廣西 欽州 535011)

0 引言

演化博弈作為博弈論的一門分支學(xué)科因放寬了行為人完全理性假設(shè)而在經(jīng)濟(jì)與社會領(lǐng)域里得到廣泛應(yīng)用。起先，生物學(xué)家為了更好地理解生物進(jìn)化的過程和預(yù)測進(jìn)化的結(jié)果，開始利用演化博弈研究種群沖突和群體演化的規(guī)律，其中最具代表性和創(chuàng)造性的研究出自斯密斯和普瑞斯[1]發(fā)表在Nature上的論文，文中首次提出了演化穩(wěn)定策略(Evolutionary stable strategy, ESS)的概念，隨后不少學(xué)者開始深入研究進(jìn)化博弈論以及利用這一方法研究生物進(jìn)化問題[2～6]。弗里德曼[7]研究了ESS和納什均衡的關(guān)系，他指出ESS一定是納什均衡，而納什均衡卻不一定是ESS。

演化博弈的相關(guān)文獻(xiàn)大致可分為理論研究和應(yīng)用研究。理論研究部分，潘峰[8]分別構(gòu)建了基于不完全信息條件下的兩群體2×2非對稱演化博弈，并對演化穩(wěn)定策略的穩(wěn)定性進(jìn)行了多情景分析；達(dá)慶力[9]構(gòu)建了兩群體3×3對稱演化博弈，并利用動(dòng)力系統(tǒng)理論分析了系統(tǒng)演化穩(wěn)定策略穩(wěn)定性情況,完整地給出了該系統(tǒng)的全部動(dòng)力學(xué)行為；魏芳芳[10]構(gòu)建了三群體2×2×2非對稱演化博弈，完整地給出了其定性行為的等價(jià)定量分類和各參與主體不同情況下的穩(wěn)定性策略,并且用三維立體圖演示了不同策略組合的漸進(jìn)趨勢；程樂峰[11]針對開放電力市場構(gòu)建了三群體非對稱演化博弈模型，并詳細(xì)分析了系統(tǒng)的演化穩(wěn)定性。與理論研究部分相比，演化博弈應(yīng)用部分的研究文獻(xiàn)較多，范圍較廣。其中，涉及經(jīng)濟(jì)與社會領(lǐng)域的主要有三個(gè)方面：其一，委托代理問題，如政府機(jī)構(gòu)對尋租腐敗問題的監(jiān)管[12]，公司兩權(quán)分離下對高管的監(jiān)督與激勵(lì)[13]；其二，制度建設(shè)和行業(yè)監(jiān)管，如食品、藥品、環(huán)境等質(zhì)量安全監(jiān)管[14～16]，P2P網(wǎng)貸行業(yè)政府監(jiān)管[17,18]，信用保證保險(xiǎn)增信機(jī)制設(shè)計(jì)[19]，企業(yè)社會責(zé)任履行情況監(jiān)督[20]；其三，其他，如項(xiàng)目組織知識轉(zhuǎn)移與否的競爭[21]，證券投資者的交易行為[22]等等。

然而，當(dāng)前學(xué)界對三方演化博弈的穩(wěn)定性研究不足，這導(dǎo)致不少學(xué)者在在研究時(shí)仍然在討論混合策略納什均衡是否是ESS的問題，其中也有部分學(xué)者根據(jù)李雅普諾夫穩(wěn)定理論通過判斷系統(tǒng)雅可比矩陣的特征值關(guān)系證明了多數(shù)情形下混合策略納什均衡不是ESS，但就目前為止還未能對所有情形給出證明，這導(dǎo)致學(xué)界對純策略納什均衡、混合策略納什均衡與ESS的關(guān)系不清，這無論是給演化博弈的理論研究還是其在經(jīng)濟(jì)與社會領(lǐng)域里的應(yīng)用研究都帶來了不小的阻礙。

在此背景下，論文建立了三群體2×2×2非對稱演化博弈的一般模型，首先分析了單群體策略的演化趨勢，接著根據(jù)李雅普諾夫穩(wěn)定性理論分析系統(tǒng)的漸進(jìn)穩(wěn)定性，并首次結(jié)合單群體策略的演化趨勢對三方演化博弈的系統(tǒng)穩(wěn)定性作了深入研究，并基于完整描述系統(tǒng)演化路徑的原則定義了線性策略收斂的概念，重點(diǎn)討論了一般博弈領(lǐng)域里納什均衡(包括純策略納什均衡與混合策略納什均衡、嚴(yán)格納什均衡與不嚴(yán)格納什均衡)和演化博弈領(lǐng)域里演化穩(wěn)定策略(包括ESS與線性策略收斂)的關(guān)聯(lián)性。最后，通過設(shè)計(jì)算例，并結(jié)合Matlab軟件對算例進(jìn)行模擬仿真，從而驗(yàn)證本文關(guān)于三方演化博弈穩(wěn)定性研究的相關(guān)結(jié)論。

1 模型建立及求解

考慮2×2×2三方演化博弈，假設(shè)有A、B、C三個(gè)群體，策略空間分別是Ω(A1,A2)，Ω(B1,B2)，Ω(C1,C2)，群體A選擇策略A1的概率為x，群體B選擇策略B1的概率為y，群體C選擇策略C1的概率為z。三群體策略組合及相應(yīng)的支付矩陣見表1。

設(shè)群體A選擇策略A1時(shí)的期望收益為ΓA1，選擇策略A2時(shí)的期望收益為ΓA2，同理設(shè)群體B期望收益分別為ΓB1、ΓB2，群體C期望收益分別為ΓC1、ΓC2。

對于群體A，有

ΓA1=yza1+y(1-z)a2+(1-y)za3+(1-y)(1-z)a4

ΓA2=yza5+y(1-z)a6+(1-y)za7+(1-y)(1-z)a8

對于群體B，有

ΓB1=xzb1+x(1-z)b2+(1-x)zb3+(1-x)(1-z)b4

ΓB2=xzb5+x(1-z)b6+(1-x)zb7+(1-x)(1-z)b8

對于群體C，有

ΓC1=xyc1+x(1-y)c2+(1-x)yc3+(1-x)(1-y)c4

ΓC2=xyc1+x(1-y)c2+(1-x)yc3+(1-x)(1-y)c4

利用復(fù)制動(dòng)態(tài)方程構(gòu)建三維動(dòng)力系統(tǒng)并化簡，于是有

群體A:F(x)=dx/dt=x(1-x)(ΓA1-ΓA2)=x(1-x)(zyw1+zw2-yw3-w4)

(1)

群體B:T(y)=dy/dt=y(1-y)(ΓB1-ΓB2)=y(1-y)(xzm1+xm2-zm3-m4)

(2)

群體C:H(z)=dz/dt=z(1-z)(ΓC1-ΓC2)=z(1-z)(yxn1+yn2-xn3-n4)

(3)

參數(shù)wi、mi、ni(i=1,2,3,4)。

類型1三維動(dòng)力系統(tǒng)恒有8個(gè)純策略點(diǎn)，依次記為E1=(1,1,1)、E2=(1,1,0)、E3=(1,0,1)、E4=(1,0,0)、E5=(0,1,1)、E6=(0,1,0)、E7=(0,0,1)、E8=(0,0,0)。

證明當(dāng)x,y,z分別任意取0和1時(shí)，總有F(x)=0、T(y)=0、H(z)=0三者恒成立，因此三維動(dòng)力系統(tǒng)必然存在8個(gè)純策略點(diǎn)。

類型2三維動(dòng)力系統(tǒng)可能存在12類雙種群采納純策略的混合局勢，即“雙純一混”策略，依次記為H1=(1,1,z)、H2=(1,0,z)、H3=(0,1,z)、H4=(0,0,z)、H5=(1,y,1)、H6=(1,y,0)、H7=(0,y,1)、H8=(0,y,0)、H9=(x,1,1)、H10=(x,1,0)、H11=(x,0,1)、H12=(x,0,0)。其中，x,y,z∈(i=1,2,…,12)。

證明對于H1，當(dāng)x=1,y=1時(shí)，有F(x)=0、T(y)=0成立，當(dāng)n1+n2-n3-n4=0(化簡即c1=c2)成立時(shí)，對于?z∈(0,1)，總有H(z)=0成立，所以是一個(gè)雙種群采納純策略的混合平衡狀態(tài)，同理也能得到其他條件成立時(shí)的雙種群采納純策略的混合局勢。另外，考慮到這類策略組合在局勢立方體上呈連續(xù)的線性分布，為準(zhǔn)確、直觀地表述，下文稱之為線性均衡策略。

類型3三維動(dòng)力系統(tǒng)可能存在6個(gè)單種群采納純策略的混合局勢，即“一純二混”策略，依次記為K1=(1,y1,z1)、K2=(0,y2,z2)、K3=(x3,1,z3)、K4=(x4,0,z4)、K5=(x5,y5,1)、K6=(x6,y6,0)。

證明對于K1，當(dāng)x1=1時(shí)，總有F(x)=0恒成立，令ΓB1-ΓB2=0、ΓC1-ΓC2=0，得yi和zi，同理也能得到另外幾組單群體采納純策略的混合局勢。參數(shù)xi、yi、zi(i=1,2,…,6)。

類型4三維動(dòng)力系統(tǒng)可能存在至多2個(gè)混合策略納什均衡L=(x,y,z)。

證明同時(shí)令

該方程組共有三個(gè)變量，并且方程組的每個(gè)方程都是由三個(gè)變量兩兩組成的二元二次方程，故由數(shù)學(xué)知識易知該方程組至多有兩組解，考慮到多數(shù)情況下直接計(jì)算混合策略解通常要方便許多，因此不再給出相應(yīng)的解析式。

值得一提的是，盡管上述方程組至多有兩解，但系統(tǒng)中通常只有一個(gè)混合策略解滿足x,y,z∈(0,1)。因此，下文在分析單群體策略演化趨勢時(shí)，只考慮系統(tǒng)中有且僅有一個(gè)混合策略解的情況，這是一個(gè)值得注意的地方。

3 模型分析

在分析系統(tǒng)演化穩(wěn)定策略之前，考慮到系統(tǒng)演化穩(wěn)定策略是由單群體策略演化趨勢所構(gòu)成，而且在下文證明相關(guān)定理時(shí)需要用到單群體策略演化趨勢，于是先分析單群體策略演化趨勢，而后在此基礎(chǔ)上分析系統(tǒng)演化穩(wěn)定策略。

3.1 單方策略演化分析

對于群體A，(1)式復(fù)制動(dòng)態(tài)方程對x求導(dǎo)，得

dF(x)/dx=(1-2x)(ΓA1-ΓA2)

=(1-2x)(zyw1+zw2-yw3-w4)

假定yw1+w2≠0，令ΓA1-ΓA2=0，可得z*=(yw1+w4)/(yw1+w2)。又令F(x)=0，有兩個(gè)確定解x=0、x=1和一個(gè)可能解z=z*，其中z*∈R，但只有滿足dF(x)/dx<0的解(或者z=z*時(shí))才是演化穩(wěn)定策略(ESS)，分如下幾種情況進(jìn)行討論。

1)當(dāng)z

2)當(dāng)z=z*時(shí)，對于?x∈[0,1]，都有F(x)≡0，這意味群體A無論選擇策略A1和策略A2的比例如何，其策略都是穩(wěn)定的；

3)當(dāng)z>z*時(shí)，如果yw1+w2>0，易知dF(x)/dx|x=0>0、dF(x)/dx|x=1<0，此時(shí)x→1；反之，如果yw1+w2<0，此時(shí)x→0。

同理，對群體B和群體C進(jìn)行類似分析，結(jié)果如下：對于群體B，當(dāng)x0，則y→0，反之y→1；當(dāng)x>x*時(shí)，如果zm1+m2>0，則y→1，反之y→0。對于群體C，當(dāng)y0，則z→0，反之z→1；當(dāng)y>y*時(shí)，如果xn1+n2>0，則z→1，反之z→0。

3.2 系統(tǒng)演化分析

在上文中，論文利用復(fù)制動(dòng)態(tài)方程得到了三維動(dòng)力系統(tǒng)的平衡點(diǎn)，然而只有具有抗擾動(dòng)性的平衡點(diǎn)才是系統(tǒng)的ESS。根據(jù)李雅普諾夫穩(wěn)定性理論(間接法)，三維動(dòng)力系統(tǒng)在平衡點(diǎn)處的漸進(jìn)穩(wěn)定性可以通過系統(tǒng)雅可比矩陣的三個(gè)特征值來判斷。判斷原則為：①如果雅可比矩陣的所有特征值都具有負(fù)實(shí)部，則該均衡點(diǎn)是ESS(匯)；②如果雅可比矩陣的所有特征值都具有正實(shí)部，則該均衡點(diǎn)為不穩(wěn)定點(diǎn)(源)；③如果雅可比矩陣的特征值既有正實(shí)部又有負(fù)實(shí)部，則該均衡點(diǎn)為鞍點(diǎn)；④如果雅可比矩陣的特征值具有零實(shí)部且其余特征值都有負(fù)實(shí)部，則該均衡點(diǎn)處于臨界狀態(tài)，其是否具有抗擾動(dòng)性取決于高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)。

式(1)、(2)和(3)分別關(guān)于x、y、z作偏導(dǎo)，并按照特定的順序排列成如下三維動(dòng)力系統(tǒng)的雅可比矩陣:

類型1三維系統(tǒng)中必然存在著8個(gè)純策略局勢，系統(tǒng)雅可比矩陣的特征方程是(?F(x)/?x-λ)(?T(y)/?y-λ)(?H(z)/?z-λ)=0(其中，x,y,z=0.1)，得三個(gè)特征值λ1=?F(x)/?x,λ2=?T(y)/?y,λ3=?H(z)/?z。

類型2三維系統(tǒng)中可能存在12種“雙純一混”局勢，系統(tǒng)雅可比矩陣的特征方程形如(a-λ)(b-λ)(0-λ)=0(注：a,b∈{?F(x)?x,?T(y)/?y,?H(z)/?z}且(a≠b))，得三個(gè)特征值λ1=a、λ2=b和λ3=0。

類型4三維系統(tǒng)中可能存在至多兩個(gè)三方混合策略局勢，系統(tǒng)雅可比矩陣的特征方程形如-λ3+αλ+β=0，由于三次代數(shù)方程的二次項(xiàng)系數(shù)是0，易知特征值。由于三方混合策略算式較復(fù)雜，且本文并不需要λ1,2,3的值λ1+λ2+λ3=0，于是不再給出具體值。

至此，本文得到了所有平衡點(diǎn)處系統(tǒng)雅可比矩陣的特征值，詳見表2。其中，ξi(i=1,2,...,12)。此外，為了行文方便，根據(jù)表1和表2，給出本模型的局勢立方體，詳見圖1。

表2 三維動(dòng)力系統(tǒng)的演化穩(wěn)定策略狀態(tài)及其穩(wěn)定性判定

為了更好地理解三維動(dòng)力系統(tǒng)中演化穩(wěn)定策略的概念，遂將ESS推廣至三維空間，作如下定義。

定理1ESS是一個(gè)局部范圍內(nèi)嚴(yán)格的納什均衡，是一個(gè)點(diǎn)收斂的概念，線性均衡策略Hi(i=1,2,…,12)均不是ESS。

證明(反證法) 假設(shè)線性策略組合是ESS，由于線ESS是由點(diǎn)ESS所構(gòu)成，所以線性策略組合上任一點(diǎn)必然也是ESS。不妨假設(shè)線性均衡策略集Φ?Ω(Ω是策略空間)是ESS，其中存在一個(gè)策略組合X={X1,X2,X3}∈Φ，于是可推出也是ESS。若突變策略組合Y∈Φ且Y≠X，此時(shí)總有一個(gè)群體u[X,(1-ε)X+εY]≡u[Y,(1-ε)X+εY]，與ESS的定義矛盾，因此X不是ESS。同理線性策略組合上的其他點(diǎn)也都不是ESS，說明線性均衡策略不是ESS，因此ESS是一個(gè)點(diǎn)收斂概念，證畢。

有趣的是，盡管線性均衡策略不是ESS，但這并不代表線性均衡策略上不存在一個(gè)局部空間內(nèi)的帕累托上策均衡，只是不穩(wěn)定而已。由于線性均衡策略的雅可比矩陣除零特征值外其余特征值均小于零，根據(jù)定理1的證明，假設(shè)策略組合γ={γ1,γ2,γ3}∈Φ且u[γ,(1-ε)γ+εY]=maxu[X,(1-ε)γ+εX]成立，γ即是這個(gè)局部空間內(nèi)的帕累托上策均衡。但遺憾的是，決定系統(tǒng)效用選優(yōu)的關(guān)鍵并不在于負(fù)特征值群體，而在于零特征值群體的策略選擇。例如H1=(1,1,z)，有λ1,2<0，此時(shí)在其收斂域內(nèi)，群體A、B在H1上任意策略總是優(yōu)于其他策略，但系統(tǒng)效用選優(yōu)的關(guān)鍵卻在于群體C。對于群體C，有u[X,(1-ε)X+εY]≡u[Y,(1-ε)X+εY]，因此它沒有任何動(dòng)力去選擇局勢γ，這時(shí)群體C被看成是一個(gè)“攪局者”，它的行動(dòng)使得帕累托上策均衡γ變得不穩(wěn)定。

如果線性均衡策略的雅可比矩陣除零特征值外其余特征值均小于零，盡管其不是一個(gè)ESS,但考慮到它在一定的侵入邊界內(nèi)依然具有局部收斂性，為了更全面的描述系統(tǒng)演化路徑，對線性策略收斂作如下定義。

定義線性策略收斂之后，由定理1可以得到推論1和推論2。

推論1如果線性策略組合Φ是一個(gè)線性策略收斂，那么必然存在一個(gè)策略組合γ∈Φ是局部空間內(nèi)的帕累托上策均衡，但因不穩(wěn)定而不是ESS。

推論2如果線性策略組合Φ是一個(gè)線性策略收斂，那么?ρ={ρ1,ρ2,ρ3}∈Φ必然不是ESS。反之，如果一個(gè)策略組合γ={γ1,γ2,γ3}是ESS，那么γ1?Φ。

對比ESS和線性策略收斂的定義，可知ESS既不是線性策略收斂存在的充分條件，也不是其存在的必要條件，二者是完全不同的概念。與ESS相比，線性策略收斂有兩個(gè)不足。其一，線性均衡策略存在的條件比較特殊，如H1=(1,1,z)需要c1=c2成立，只需支付的一個(gè)極細(xì)微的變化就能使線性均衡策略被打破，更不用考慮線性策略收斂是否存在，而相對而言ESS對支付的靈敏度就不那么明顯。其二，與ESS的點(diǎn)收斂相比，線收斂比點(diǎn)收斂的穩(wěn)定性較弱，在描述、反映實(shí)際問題上稍顯不足，重要性相對弱于ESS。盡管線性策略收斂與ESS相比有不足之處，但也不可否認(rèn)線性策略收斂與ESS一樣也能描述三維動(dòng)力系統(tǒng)的演化路徑，尤其是當(dāng)系統(tǒng)中不存在ESS時(shí)，線性策略收斂能夠發(fā)揮重要作用。

定理2(零特征值非ESS定理)三維動(dòng)力系統(tǒng)中若純策略平衡點(diǎn)的雅可比矩陣存在零特征值，則可直接判定其一定不是ESS。

由定理2可以得到推論3和推論4。

推論3如果一個(gè)純策略平衡點(diǎn)的系統(tǒng)雅可比矩陣除零特征值外其余特征值均為負(fù)值，那么必然存在一個(gè)包含該點(diǎn)的一端連續(xù)的線性策略收斂。

推論4如果一個(gè)純策略平衡點(diǎn)是ESS，那么在局勢立方體上與之相鄰的三條邊都不存在線性策略收斂。

定理3(ESS不共邊定理)三維動(dòng)力系統(tǒng)中若存在任意一個(gè)純策略平衡點(diǎn)是ESS，則在局勢立方體上與之共邊的三個(gè)純策略平衡點(diǎn)一定不是ESS，反之則不成立。

由定理3可以得到推論5～7。

推論5三維動(dòng)力系統(tǒng)中若在局勢立方體上互為體對角的兩個(gè)純策略平衡點(diǎn)都是ESS，則系統(tǒng)中有且僅有這兩個(gè)純策略平衡點(diǎn)是ESS，也必然存在混合策略點(diǎn)是系統(tǒng)鞍點(diǎn)，同時(shí)系統(tǒng)中也一定不存在線性策略收斂。

推論6三維動(dòng)力系統(tǒng)中若在局勢立方體上與之相鄰的三個(gè)純策略平衡點(diǎn)都不是ESS，則其必然是源(發(fā)散點(diǎn))或者匯(聚集點(diǎn)，ESS)其中之一。

推論7三維動(dòng)力系統(tǒng)中至多只存在4個(gè)ESS。

再將ESS不共邊定理推廣到N維動(dòng)力系統(tǒng)，得定理3#。

定理4在N維動(dòng)力系統(tǒng)中，若任意一個(gè)純策略平衡點(diǎn)是ESS，則在N維超立方體上與之共邊的N個(gè)純策略平衡點(diǎn)一定都不是ESS，且N維系統(tǒng)中至多只有2N-1個(gè)純策略ESS。

定理5在三維動(dòng)力系統(tǒng)中，“一純二混”均衡策略組合一定不是ESS。

定理6在三維動(dòng)力系統(tǒng)中，三方混和策略納什均衡一定不是ESS。

以上定理(2,3,4,5,6)，局勢穩(wěn)定性分析輔助圖見圖2。

上述研究表明，嚴(yán)格純策略納什均衡是ESS，不嚴(yán)格純策略納什均衡是線性策略收斂，混合策略納什均衡作為劃分ESS吸引域的系統(tǒng)鞍點(diǎn)決定了ESS收斂域的大小，三者共同決定系統(tǒng)的演化路徑與演化穩(wěn)定策略。

4 算例分析及仿真

接下來，為了直觀驗(yàn)證相關(guān)結(jié)論，本文設(shè)計(jì)了六組經(jīng)典算例，詳見表6。對于算例1，用劃線法不難得到4個(gè)純策略納什均衡，均衡的具體策略可對照表1，不再列出。用劃線法同樣不難得到算例2有3個(gè)純策略納什均衡，算例3和算例4都有兩個(gè)純策略納什均衡(策略一樣效用不同)，算例5和算例6都各有一個(gè)純策略納什均衡(策略一樣效用不同)。

表6 算例矩陣

根據(jù)前文對ESS的討論，不難得知算例1～5的純策略納什均衡都是ESS，而算例6的純策略納什均衡(A1，B1，C1)不是一個(gè)ESS，而是(1,1,z)線性策略收斂中的一點(diǎn)，其中0.5≤z≤1，驗(yàn)證了弗里德曼關(guān)于“ESS一定是納什均衡，而納什均衡卻不一定是ESS”的結(jié)論。根據(jù)定理1，ESS是一個(gè)點(diǎn)，該點(diǎn)在所屬局部空間內(nèi)要絕對優(yōu)于其他任意點(diǎn)，是一個(gè)嚴(yán)格的納什均衡。但在算例6中c1=c2，說明(A1，B1，C1)并不是一個(gè)嚴(yán)格的納什均衡，所以它不是一個(gè)ESS。再根據(jù)定理2和推論3，不難知道必然存在一個(gè)包含該點(diǎn)的線性策略收斂(1,1,z)，其中0.5≤z≤1。

為了更直觀、清晰地描述三維動(dòng)力系統(tǒng)的演化路徑，接下來將利用Matlab軟件對上述六種算例分別進(jìn)行模擬仿真，結(jié)果如圖3所示。特別的，算例6沒有ESS，但有一個(gè)線性策略收斂(1,1,z)，z∈[0.5,1]，仿真結(jié)果與理論分析一致。

5 結(jié)束語

本文研究了2×2×2三方演化博弈的穩(wěn)定性問題，創(chuàng)新性地結(jié)合單群體策略演化趨勢對系統(tǒng)穩(wěn)定性作了深入研究，所做出的貢獻(xiàn)主要在于：

其一，提出了線性策略收斂的概念，這是對完整描述系統(tǒng)演化路徑的一個(gè)補(bǔ)充。接著分析了ESS與線性策略收斂的性質(zhì)，得到若干定理，并在相關(guān)定理的基礎(chǔ)上對二者的區(qū)別與聯(lián)系進(jìn)行了詳細(xì)討論。

其二，首先證明了零特征值非ESS定理，說明只要純策略局勢的系統(tǒng)雅可比矩陣存在零特征值，就可直接判定其一定不是ESS。但若其余特征值均為負(fù)數(shù)，則可進(jìn)一步判定系統(tǒng)中一定存在一個(gè)包含該點(diǎn)的線性策略收斂。然后證明了ESS不共邊定理，這是N群體雙策略演化博弈中最重要的一個(gè)性質(zhì)，在此基礎(chǔ)上又證明了N維雙策略系統(tǒng)中至多只有2N-1個(gè)ESS。最后證明了所有類型的混合策略納什均衡都是系統(tǒng)鞍點(diǎn)，而非ESS。

其三，證明指出嚴(yán)格純策略納什均衡是ESS，不嚴(yán)格純策略納什均衡是線性策略收斂，即ESS+線性策略收斂=純策略納什均衡，所有類型的混合策略納什均衡均為鞍點(diǎn)，共同劃分了ESS的吸引域，指出可以通過改變混合策略納什均衡在局勢立方體的位置來擴(kuò)大特定ESS的吸引域，調(diào)整參數(shù)放在實(shí)際問題中就是采取何種措施，以及實(shí)施這種措施的程度。

然而，需要說明的是本文關(guān)于演化博弈穩(wěn)定性的研究結(jié)論目前僅適用于博弈群體雙策略空間的情形，相關(guān)定理及推論對博弈群體多策略空間情形是否也成立仍有待進(jìn)一步研究。但可喜的是，論文關(guān)于N群體雙策略非對稱演化博弈，尤其是對三群體2×2×2非對稱演化博弈的有關(guān)研究取得了一定的進(jìn)展，這給三方非對稱演化博弈在經(jīng)濟(jì)與社會領(lǐng)域的實(shí)際應(yīng)用提供了指導(dǎo)與幫助，也給后續(xù)N群體多策略空間演化博弈的理論研究提供了借鑒與啟發(fā)。