朱 旭，趙文杰

(長(zhǎng)安大學(xué) 電子與控制工程學(xué)院，西安 710064)

0 引言

無人機(jī)(UAV，unmanned aerial vehicle)/無人車(UGV，unmanned ground vehicle)混合編隊(duì)控制，通過空地協(xié)作，可以實(shí)現(xiàn)UAV編隊(duì)和UGV編隊(duì)在感知、通訊、負(fù)載等方面的互補(bǔ)，提高整個(gè)系統(tǒng)的靈活性和對(duì)未知環(huán)境的適應(yīng)性，從而完成單獨(dú)UAV編隊(duì)或UGV編隊(duì)難以完成的任務(wù)，如空地立體化交通監(jiān)管、快速精準(zhǔn)跟蹤追逃、協(xié)同定位、緊急救援等[1-2]。

然而，UAV與UGV之間存在巨大差異，不同的工作空間、不同的動(dòng)力學(xué)特性，使得UAV/UGV混合編隊(duì)控制變得異常困難[3-4]。同時(shí)，由于網(wǎng)絡(luò)通訊環(huán)境和通訊帶寬的限制，混合編隊(duì)的交互信息中含有通信時(shí)滯，導(dǎo)致控制系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度急劇下降，甚至引發(fā)系統(tǒng)不穩(wěn)定，進(jìn)一步加劇了混合編隊(duì)控制的難度[5-7]。因此，研究通信時(shí)延下UAV/UGV混合編隊(duì)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性具有重要意義。

關(guān)于通信時(shí)延下控制系統(tǒng)穩(wěn)定性的研究，有兩大類方法：時(shí)域方法、頻域方法[8]。時(shí)域方法是當(dāng)前的主流方法，往往基于Lyapunov-Razumikhin定理或Lyapunov-Krasovskii泛函進(jìn)行研究[9-12]。然而，時(shí)域方法僅能獲取通信時(shí)延下控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充分條件，而非充要條件，具有很大的保守性[13]。

頻域方法致力于研究通信時(shí)延下控制系統(tǒng)特征方程的求解問題，可以獲取系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件[14]。但是，時(shí)延系統(tǒng)的特征函數(shù)具有無窮多個(gè)特征根，現(xiàn)有的數(shù)學(xué)工具無法計(jì)算出其所有特征根，所以更關(guān)注臨界虛根(位于復(fù)平面虛軸上的特征根)求解[15]。常用的臨界虛根求解方法有：Rekasius代換法[16]、輔助特征函數(shù)法[17]、直接法[18]、τ分解法等[19]。這些臨界虛根求解方法各有優(yōu)缺點(diǎn)，這里推薦輔助特征函數(shù)法，其主要優(yōu)勢(shì)包括：(1) 對(duì)臨界虛根的檢測(cè)可簡(jiǎn)單有效地通過求解輔助特征方程完成；(2)在輔助特征方程沒有重根的前提下，所有臨界虛根的穩(wěn)定性行為可以直接判斷，無需其他計(jì)算[20]。

目前，利用頻域方法分析通信時(shí)延下UAV/UGV混合編隊(duì)控制系統(tǒng)穩(wěn)定性的研究較為匱乏，存在一些關(guān)鍵難題。比如，囿于UAV/UGV的異構(gòu)特性，難以將頻域方法直接應(yīng)用于混合編隊(duì)的復(fù)雜系統(tǒng)特征方程的求解。特別地，隨著UAV、UGV數(shù)量的增加，混合編隊(duì)系統(tǒng)特征方程的維數(shù)不斷增加，臨界虛根求解運(yùn)算量呈指數(shù)膨脹，導(dǎo)致“維度爆炸”問題。因此，研究通信時(shí)延下UAV/UGV混合編隊(duì)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題，推導(dǎo)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件，尚存在研究瓶頸。

綜合以上分析，本文研究通信時(shí)延下UAV/UGV混合編隊(duì)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析問題，旨在推導(dǎo)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件，計(jì)算準(zhǔn)確的時(shí)延邊界，即可容許的最大時(shí)延。首先，建立考慮UAV/UGV異構(gòu)特性的混合編隊(duì)模型，并描述混合編隊(duì)的通信關(guān)系。接著，針對(duì)UAV群組、UGV群組，分別設(shè)計(jì)基于信息一致性的分布式控制器，并構(gòu)建UAV/UGV混合編隊(duì)控制系統(tǒng)。然后，利用矩陣相似變換，將高維異構(gòu)的UAV/UGV混合編隊(duì)控制系統(tǒng)降維拆分為若干等價(jià)的低維子系統(tǒng)，降低解析難度和運(yùn)算量。最后，采用輔助特征函數(shù)法計(jì)算這些子系統(tǒng)特征方程的臨界虛根，獲取系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件，得到準(zhǔn)確的時(shí)延邊界，并通過仿真驗(yàn)證了所提理論方法的有效性。

1 UAV/UGV混合編隊(duì)建模

首先，對(duì)UAV、UGV分別進(jìn)行建模，并確立UAV/UGV的共同控制量；然后，構(gòu)建UAV/UGV混合編隊(duì)的通信拓?fù)?，描述編?duì)的通信關(guān)系。

1.1 UAV與UGV建模

在地面慣性坐標(biāo)系OXYZ中[21]，由于無人車僅在OXY平面運(yùn)動(dòng)，因此選取平面運(yùn)動(dòng)狀態(tài)作為UAV/UGV共同的控制量，而高度協(xié)同控制只在UAV群組內(nèi)部進(jìn)行。UAV模型選用四旋翼，UGV模型選用雙輪差分驅(qū)動(dòng)式。

首先，四旋翼無人機(jī)的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型為[22]：

(1)

(2)

再者，雙輪差分驅(qū)動(dòng)輪式移動(dòng)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型為[23]：

(3)

為了實(shí)現(xiàn)UAV/UGV混合編隊(duì)在平面的協(xié)同，選取偏航角和偏航角速度作為UAV/UGV共同的控制量。

1.2 UAV/UGV混合編隊(duì)的通信拓?fù)?/h3>

考慮由m架四旋翼UAV、n-m輛雙輪差分驅(qū)動(dòng)UGV所構(gòu)成的混合編隊(duì)，其通信拓?fù)淇梢杂脠D論的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行描述[24-25]。

UAV/UGV混合編隊(duì)可以分為UAV群組和UGV群組，Γ1={1,2,…,m}，Γ2={m+1,m+2,…,n}分別表示UAV、UGV的集合，有Γ1∪Γ2=v。Lf∈m×m是UAV群組通信拓?fù)涞睦绽咕仃嚕琇g∈(n-m)×(n-m)是UGV群組通信拓?fù)涞睦绽咕仃嚒?/p>

2 通信時(shí)延下UAV/UGV混合編隊(duì)的穩(wěn)定性分析

針對(duì)通信時(shí)延下的UAV/UGV混合編隊(duì)，設(shè)計(jì)分布式控制器，并分析編隊(duì)的穩(wěn)定性，獲取準(zhǔn)確的時(shí)延邊界。首先，設(shè)計(jì)通信時(shí)延下基于一致性算法的UAV/UGV混合編隊(duì)分布式控制器，并推導(dǎo)編隊(duì)的閉環(huán)系統(tǒng)特征方程。然后，根據(jù)UAV/UGV編隊(duì)的閉環(huán)系統(tǒng)特征方程，推導(dǎo)編隊(duì)穩(wěn)定的一組必要條件；繼而利用輔助特征函數(shù)法對(duì)帶有通信時(shí)延的UAV/UGV混合編隊(duì)進(jìn)行穩(wěn)定性分析，證明只有一個(gè)時(shí)延區(qū)間可以令編隊(duì)穩(wěn)定，并得到編隊(duì)穩(wěn)定的充要條件，獲取準(zhǔn)確的時(shí)延邊界。

2.1 UAV/UGV混合編隊(duì)的分布式控制器設(shè)計(jì)

(4)

其中:ψd(t)、ωd(t)為UAV/UGV混合編隊(duì)的期望偏航角和期望偏航角速度。UAV/UGV混合編隊(duì)的控制目標(biāo)為：

(5)

接下來，針對(duì)UAV群組、UGV群組，分別設(shè)計(jì)基于信息一致性的分布式控制器：

(6)

(7)

(8)

其中:

其中:I為單位矩陣。定義矩陣L*為：

(9)

存在變換矩陣U，使得通過相似變換U-1L*U=Λ，得到對(duì)角矩陣Λ，Λ的特征值與L*相同，設(shè)這些特征值為γ1,γ2,…,γn。利用上述相似變換，推導(dǎo)出UAV/UGV混合編隊(duì)控制系統(tǒng)的特征方程：

f(λ,τ)=|H1+H2e-λτ-λI|=

|U-1(λ2I+(λ+1)e-λτL*)U|=

|λ2I+(λ+1)e-λτΛ|=

(10)

其中:λ為拉氏變量，fi(λ)為對(duì)控制系統(tǒng)特征方程進(jìn)行降維拆分后的子系統(tǒng)特征方程，其形式為：

fi(λ,τ)=λ2+γi(λ+1)e-λτ

(11)

至此，利用矩陣相似變換，將高維異構(gòu)的混合編隊(duì)控制系統(tǒng)(8)降維拆分為若干等價(jià)的低維子系統(tǒng)(11)，分析這些子系統(tǒng)的穩(wěn)定性與分析原UAV/UGV混合編隊(duì)控制系統(tǒng)等價(jià)，可大幅度降低穩(wěn)定性分析的解析難度和運(yùn)算量。

2.2 準(zhǔn)確時(shí)延邊界求解

針對(duì)通信時(shí)延下UAV/UGV混合編隊(duì)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析分為兩部分。首先，給出整個(gè)系統(tǒng)穩(wěn)定的一組必要條件，推導(dǎo)無時(shí)延情況下的穩(wěn)定性判據(jù)。然后，利用輔助特征函數(shù)法，證明只存在一個(gè)時(shí)延區(qū)間可以令編隊(duì)穩(wěn)定，并計(jì)算通信時(shí)延下系統(tǒng)準(zhǔn)確的時(shí)延邊界，得到編隊(duì)穩(wěn)定的充要條件。

無時(shí)延情況下UAV/UGV混合編隊(duì)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定條件，是有時(shí)延情況下系統(tǒng)穩(wěn)定的前提和必要條件。因此，先給出無時(shí)延情況下的穩(wěn)定性判據(jù)。

引理1：對(duì)于τ=0，當(dāng)且僅當(dāng)γi>0時(shí)，i∈V，UAV/UGV混合編隊(duì)控制系統(tǒng)(8)是Hurwitz穩(wěn)定的。

證明：由于分析UAV/UGV混合編隊(duì)控制系統(tǒng)(8)的穩(wěn)定性與分析各個(gè)子系統(tǒng)(11)的穩(wěn)定性等價(jià)，所以計(jì)算τ=0時(shí)子系統(tǒng)(11)的特征方程：

fi(λ,0)=λ2+γiλ+γi

(12)

用勞斯判據(jù)推導(dǎo)式(12)Hurwitz穩(wěn)定的充要條件，即γi>0。

接下來，給出通信時(shí)延下UAV/UGV混合編隊(duì)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù)。

(13)

證明：子系統(tǒng)(11)的特征方程可以寫為如下形式：

fi(λ)=a0(λ)+a1(λ)e-λτ

(14)

其中:a0(λ)=λ2，a1(λ)=γi(λ+1)。

定義輔助特征函數(shù)Fi(Wi)：

Fi(Wi)=Re(a0(iαi))2+lm(a0(iαi))2-

Re(a1(iαi))2-lm(a1(iαi))2

(15)

(16)

(17)

解方程組得到式(11)的時(shí)延邊界為(13)。

3 仿真結(jié)果與分析

為了驗(yàn)證所提出通信時(shí)延下UAV/UGV混合編隊(duì)穩(wěn)定性分析方法的有效性，使用由3架UAV和3輛UGV構(gòu)成的混合編隊(duì)進(jìn)行仿真?；旌暇庩?duì)的通信拓?fù)淙鐖D1所示。

圖1 UAV/UGV混合編隊(duì)的通信拓?fù)?/p>

圖1所示通信拓?fù)鋵?duì)應(yīng)的L*為：

L*的特征值為γ1=13.392 3，γ2=9.464 1，γ3=5.531 9，γ4=1.280 3，γ5=2.535 9，γ6=3.795 6。所有的特征值均大于零，滿足引理1。

接下來，分三種情況驗(yàn)證定理1的正確性。三種情況的時(shí)延大小有差異，分別為：1) 時(shí)延略小于邊界值，τ=0.110 0 s；2) 時(shí)延等于邊界值，τ=0.111 4 s；3)時(shí)延略大于邊界值，τ=0.112 0 s。

情況1：τ=0.110 0 s

UAV/UGV混合編隊(duì)的偏航角和偏航角速度變化曲線分別如圖2、圖3所示，偏航角誤差和偏航角速度誤差曲線分別如圖4、圖5所示。UAV/UGV的偏航角在50 s之內(nèi)趨近于控制目標(biāo)80°并保持不變，偏航角速度趨近于0，偏航角誤差、偏航角速度誤差也均在50 s內(nèi)趨近于0。由此可知當(dāng)通信時(shí)延τ=0.110 0 s時(shí)，UAV/UGV混合編隊(duì)控制系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

圖2 τ=0.110 0 s時(shí)的偏航角

圖3 τ=0.110 0 s時(shí)的偏航角速度

圖4 τ=0.110 0 s時(shí)的偏航角誤差

圖5 τ=0.110 0 s時(shí)的偏航角速度誤差

UAV/UGV混合編隊(duì)的OXY平面運(yùn)動(dòng)軌跡如圖6所示，三維運(yùn)動(dòng)軌跡如圖7所示。UAV/UGV混合編隊(duì)系統(tǒng)在50 s內(nèi)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)。

圖6 UAV/UGV混合編隊(duì)的OXY平面運(yùn)動(dòng)軌跡

圖7 UAV/UGV混合編隊(duì)的三維運(yùn)動(dòng)軌跡

情況2：τ=0.111 4 s

UAV/UGV混合編隊(duì)的偏航角誤差和偏航角速度誤差分別如圖8、圖9所示。此時(shí)，系統(tǒng)的狀態(tài)呈現(xiàn)等幅振蕩，UAV/UGV混合編隊(duì)控制系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。

圖8 τ=0.111 4 s時(shí)的偏航角誤差

圖9 τ=0.111 4 s時(shí)的偏航角速度誤差

情況3：τ=0.112 0 s

UAV/UGV混合編隊(duì)的偏航角誤差和偏航角速度誤差分別如圖10、圖11所示。此時(shí)，混合編隊(duì)的偏航角誤差、偏航角速度誤差曲線均發(fā)散，UAV/UGV混合編隊(duì)控制系統(tǒng)不穩(wěn)定。

圖10 τ=0.112 0 s時(shí)的偏航角誤差

圖11 τ=0.112 0 s時(shí)的偏航角速度誤差

上述三種不同情況的仿真結(jié)果表明，定理1的時(shí)延邊界計(jì)算方法是正確的，所提出的通信時(shí)延下UAV/UGV混合編隊(duì)穩(wěn)定性分析方法是有效的。

4 結(jié)束語

針對(duì)通信時(shí)延下的高維異構(gòu)UAV/UGV混合編隊(duì)控制系統(tǒng)，本文提出了系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件，給出準(zhǔn)確時(shí)延邊界的計(jì)算方法。建立了考慮異構(gòu)特性的UAV/UGV混合編隊(duì)模型，對(duì)UAV群組、UGV群組分別設(shè)計(jì)了基于信息一致性的分布式控制器。利用矩陣相似變換，將高維異構(gòu)的UAV/UGV混合編隊(duì)控制系統(tǒng)進(jìn)行降維拆分，極大地降低了穩(wěn)定性分析的解析難度和運(yùn)算量。證明了只存在一個(gè)時(shí)延區(qū)間可以令編隊(duì)穩(wěn)定，并利用輔助特征函數(shù)法推導(dǎo)了準(zhǔn)確的時(shí)延邊界。最后，通過三組仿真驗(yàn)證了所提出穩(wěn)定性分析方法的有效性。