王 琴，歐志英

(蘭州理工大學(xué)理學(xué)院，蘭州 730050)

芯-殼結(jié)構(gòu)復(fù)合納米顆粒[1]因其獨特性、多樣性及可調(diào)性等優(yōu)異性能得到廣泛生產(chǎn)和使用，并引起了納米材料和界面科學(xué)工作者的極大興趣。據(jù)文獻(xiàn)記載，不同頻率下的表面效應(yīng)對動應(yīng)力集中因子的影響顯著，但缺少偏心芯-殼結(jié)構(gòu)的研究。芯-殼結(jié)構(gòu)復(fù)合納米顆粒在構(gòu)造過程中，結(jié)構(gòu)內(nèi)外無法保證絕對同心，存在偏心結(jié)構(gòu)的情況。從一些文獻(xiàn)中可以看到，在多重散射作用下，表面效應(yīng)等微觀尺度性質(zhì)影響的偏心圓柱形芯-殼結(jié)構(gòu)的動態(tài)力學(xué)特性研究尚不充分。為填補(bǔ)這一空白，研究了偏心圓柱形芯-殼結(jié)構(gòu)復(fù)合納米顆粒的表/界面動力學(xué)問題，結(jié)果表明，表面效應(yīng)對動應(yīng)力集中因子的影響十分顯著。

1 模型與公式

1.1 模型建立

建立如圖1所示的模型。考慮全空間下嵌入兩個距離為2d的偏心圓柱，每個圓柱的外圓半徑為a2/b2，內(nèi)圓半徑為a1/b1，兩圓心之間的距離為h，L1和L2分別表示涂層與基體、涂層與芯體之間的界面，基體、涂層和芯體的彈性常數(shù)和密度分別為λ(i)、μ(i)和ρ(i)(i=1,2,3)。參照全局坐標(biāo)系(x,y)，為方便起見，在每個圓的中心設(shè)置一個局部坐標(biāo)系，并假定XOY平面上的平面應(yīng)變滿足σzz=v(σrr+σθθ)。

圖1 納米尺度下偏心圓柱形芯-殼結(jié)構(gòu)對入射P波的多重散射Fig.1 Multiple scattering of eccentric cylindrical core-shell structure on incident wave in nanoscale

1.2 波在不同坐標(biāo)系下的基本方程

假設(shè)隨時間變化的平面壓縮P波沿著X軸的正方向入射，入射波可以在局部坐標(biāo)系中直接表示為：

(1)

當(dāng)入射波撞擊納米尺度下偏心圓柱形芯-殼結(jié)構(gòu)時，P波和SV波分別從L1界面散射出來，由此引起的散射波相應(yīng)的位移勢為：

(2)

(3)

在納米尺度下偏心芯-殼結(jié)構(gòu)1中，根據(jù)疊加定理，由式(1)、式(2)和式(3)可得到基體中的總彈性場：

(4)

(5)

為方便計算，需統(tǒng)一坐標(biāo)系，故使用Graf加法公式進(jìn)行多極坐標(biāo)之間的轉(zhuǎn)換：

(6)

(7)

將式(6)和式(7)分別代入到式(4)和式(5)中，可以得到：

(8)

(9)

同理，偏心圓柱形芯-殼結(jié)構(gòu)2中基體的總波場形式如下：

(10)

(11)

受到涂層外邊界L1的折射和涂層內(nèi)邊界L2的散射，通過疊加原理，偏心圓柱形芯-殼結(jié)構(gòu)1和2中涂層內(nèi)的波函數(shù)為：

(12)

(13)

由于涂層中的波函數(shù)位于不同的坐標(biāo)系下，因此使用外域的Graf加法公式進(jìn)行坐標(biāo)系下的轉(zhuǎn)換：

(14)

(15)

把式(14)、式(15)分別代入到式(12)、式(13)中，可以得出在局部極坐標(biāo)系，涂層中的波函數(shù)形式分別如下：

(16)

(17)

(18)

(19)

芯體介質(zhì)內(nèi)產(chǎn)生的折射波在局部坐標(biāo)系(r2,θ2)和(r4,θ4)可表示為：

(20)

(21)

1.3 邊界條件求解

由廣義的Young-Laplace方程，可以得到應(yīng)力和位移邊界條件為：

(22)

(23)

(24)

(25)

其中，si(i=1,2,3,4)為無量綱量，表示納米尺度下所具有的表面效應(yīng)。

將平面問題中的位移和應(yīng)力表達(dá)式代入到上述位移和應(yīng)力邊界條件(22)～(25)，得到關(guān)于待求參數(shù)Anη，Bnη，Cnj，Dnj，Enj，F(xiàn)nj，Gnη，Knη(η=1,3;j=1,2;n=0,1,2…)的線性方程組，通過求解線性方程組，得到確定的位移場和應(yīng)力場。

由于結(jié)構(gòu)具有對稱性，可只考慮納米偏心圓柱形芯-殼結(jié)構(gòu)1上的界面L1周圍的波的動應(yīng)力集中情況?，F(xiàn)將邊界L1處的動應(yīng)力集中因子DSCF定義為全波在某一點上產(chǎn)生的應(yīng)力與入射波(未受障礙)在同一點上產(chǎn)生的應(yīng)力的比值，并表示為：

(26)

1.4 結(jié)果分析與討論

考慮在納米尺度下不同頻率入射波作用時的具有理想界面的偏心圓柱形芯-殼結(jié)構(gòu)間的相互作用問題，發(fā)現(xiàn)動應(yīng)力集中因子與表面效應(yīng)有關(guān)。

圖2表明，當(dāng)穩(wěn)態(tài)入射波以低頻入射，表面效應(yīng)s2對動應(yīng)力集中因子影響顯著，總體趨勢是隨著表面效應(yīng)s2的增加，在納米尺度下偏心圓柱形芯-殼結(jié)構(gòu)界面L1處的DSCF的值反而減少，并在整個范圍內(nèi)關(guān)于Y軸對稱，隨著角度的變化，DSCF值也呈現(xiàn)明顯的周期性，并均在θ=±π/2處取到最大值。

圖3表明，當(dāng)穩(wěn)態(tài)入射波以高頻入射，表面效應(yīng)s2對動應(yīng)力集中因子影響與低頻入射情況大不相同的是，由于散射現(xiàn)象起著主導(dǎo)因素，DSCF的值在納米尺度下偏心圓柱形芯-殼結(jié)構(gòu)界面L1處變得敏感，分布復(fù)雜，且出現(xiàn)多個峰值，但是總體趨勢是隨著表面效應(yīng)s2的增加，DSCF的值在整個范圍內(nèi)減少。其中，在θ=±π/2范圍內(nèi)時，變化明顯，并在θ=0處，DSCF取得最大值。

圖2 波數(shù)α1R2=0.1下，表面效應(yīng)s2對DSCF的影響Fig.2 Influence of surface effect s2 on DSCF in wave number α1R2=0.1

圖3 波數(shù)α1R2=2下，表面效應(yīng)s2對DSCF的影響Fig.3 Influence of surface effect s2 on DSCF in wave number α1R2=2

2 結(jié)論

基于表面彈性理論，研究了納米尺度下具有理想界面的偏心圓柱形芯-殼結(jié)構(gòu)對平面P波的多重散射問題，先將波動方程中的邊界問題轉(zhuǎn)化為包含波函數(shù)中未知系數(shù)的無窮代數(shù)方程組求解，再用DSCF來刻畫偏心圓柱形芯-殼結(jié)構(gòu)表面的動應(yīng)力集中因子。研究表明，無論是低頻波還是高頻波入射，當(dāng)偏心率e固定時，在軟夾雜中，其表面效應(yīng)傾向于抑制表/界面處的DSCF值，因此在復(fù)合納米材料界面的加工和設(shè)計方面需要引起重視。