曹懷磊,鄧文翔,姚建勇

(南京理工大學(xué)機械工程學(xué)院,210094,南京)

機械臂廣泛應(yīng)用于工業(yè)[1]、航空航天[2]和醫(yī)療[3]等領(lǐng)域。傳統(tǒng)的機械臂剛性較強,易實現(xiàn)精確控制,但也存在負載自重比小、能耗高等缺點,難以滿足輕量、高速、低能耗等應(yīng)用需求。

柔性連桿機械臂的臂桿采用輕質(zhì)材料制成,響應(yīng)快、能耗低、操作靈活、工作效率高,逐漸在醫(yī)療、高精密制造業(yè)、太空探索等領(lǐng)域凸顯出其優(yōu)越性[4]。但是,由于剛度的降低,柔性連桿機械臂在運動時會發(fā)生彈性形變,系統(tǒng)非線性變得更復(fù)雜,同時負載隨著任務(wù)變化而變化,存在不確定性,給運動控制策略設(shè)計帶來了非常大的挑戰(zhàn)。因此,柔性機械臂的高精度運動控制成為了近些年來的研究熱點[5]。

為了提高柔性連桿機器臂的運動軌跡跟蹤控制性能,目前已經(jīng)有多種控制方法被提出,如自適應(yīng)控制[6-7]、奇異攝動控制[8-9]、迭代學(xué)習(xí)控制[10-11]、自抗擾控制[12]。這些控制方法有效的處理了柔性機械臂系統(tǒng)參數(shù)不確定性,實現(xiàn)了良好的軌跡跟蹤,但并未對連桿柔性產(chǎn)生的非線性不確定性作出針對性處理,也未考慮末端負載變化。文獻[13]針對負載不確定的柔性機械臂位置控制問題提出了一種自適應(yīng)自抗擾控制方法,將系統(tǒng)分為快慢子系統(tǒng),在快時標(biāo)系統(tǒng)中利用線性二次型控制器處理連桿柔性的影響,在慢時標(biāo)系統(tǒng)中采用迭代最小二乘法估計負載的質(zhì)量,作為補償項加入到自抗擾控制器中,但該方法模型結(jié)構(gòu)復(fù)雜,設(shè)計過程煩瑣,控制參數(shù)過多難以調(diào)節(jié)。

由于具有強大的逼近非線性函數(shù)能力,神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在柔性機械臂控制被廣泛使用[14]。文獻[15]將模糊神經(jīng)和PD控制相結(jié)合,用于變負載條件下的柔性機械臂運動控制。Rahmani等采用基于線性內(nèi)參數(shù)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來逼近和消除由連桿柔性引起的不確定性[16]。但是,神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在實際應(yīng)用時仍存在一些典型問題,如最佳學(xué)習(xí)參數(shù)難以確定[17]、運行初始階段逼近誤差較大[18]等。在變負載柔性機械臂系統(tǒng)中,除了連桿柔性引起的不確定性,還包括負載變化、非線性摩擦等效應(yīng)的集中干擾,僅靠神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)很難同時處理這些問題。

基于這些考慮,針對變負載柔性連桿機械臂的運動控制問題,本文提出了一種復(fù)合學(xué)習(xí)控制(NNDORC)方法。針對由連桿柔性引起的非線性不確定性,利用徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(RBFNN)進行逼近和消除;針對負載變化、非線性摩擦、RBFNN逼近誤差等效應(yīng)的集中干擾,構(gòu)造干擾觀測器(DOB)進行實時估計;將兩者用于控制器的前饋補償設(shè)計以提升系統(tǒng)跟蹤性能。此外,設(shè)計魯棒反饋控制律保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性。通過Lyapunov穩(wěn)定性理論證明了所提控制方法可保證跟蹤誤差的有界性和閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性?；谌嵝詸C械臂平臺的對比實驗驗證了本文所提方法的有效性和優(yōu)越性。

1 動力學(xué)模型

考慮末端帶有質(zhì)量可變負載的單桿柔性機械臂的運動控制,將其視為Euler-Bernoulli梁[19],物理模型如圖1所示。圖中:XOY為慣性坐標(biāo)系,xOy為固連在機械臂上的浮動坐標(biāo)系;g為重力加速度;長為L的機械臂一端固連在驅(qū)動關(guān)節(jié)上,另一端為自由端且?guī)в锌梢暈橘|(zhì)點的負載;負載質(zhì)量m不確定,其變化范圍為0～1倍的臂重;ρ為柔性臂的線密度(即單位長度的質(zhì)量);E為彈性模量,I為截面慣性矩,EI為機械臂的抗彎剛度;Jh為旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)的轉(zhuǎn)動慣量。

旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)由伺服電機產(chǎn)生的力矩τ驅(qū)動,柔性臂夾持在關(guān)節(jié)上隨之運動,θ(t)為柔性機械臂的旋轉(zhuǎn)角度,δ(x,t)為在運動過程中由于臂桿柔性在x處產(chǎn)生的彈性變形。

根據(jù)假設(shè)模態(tài)法,在運動過程中t時刻,連桿在x處的變形可以描述為[20]

(1)

式中:φi(x)表示第i階振型函數(shù);qi(t)表示對應(yīng)的模態(tài)坐標(biāo)。前幾階模態(tài)足夠描述機械臂的變形,剩余模態(tài)對系統(tǒng)的影響可以忽略不計。本文考慮系統(tǒng)前2階模態(tài),即

(2)

振型函數(shù)φi(s)表達式為

φi(x)=ai[cosh(βix)-cos(βix)-

(3)

式中βi為頻率方程的特征根,頻率方程為

1+cosh(βL)cos(βL)

(4)

αi為歸一化函數(shù)求出的非0常數(shù),歸一化函數(shù)為[21]

(5)

結(jié)合假設(shè)模態(tài)法和Lagrange法[22-23],柔性連桿機械臂動力學(xué)方程可以寫為

(6)

式中:M為質(zhì)量正定矩陣;B為阻尼矩陣;K為剛度矩陣;f為科氏力和向心力矩陣;G為重力矩陣;θ和q=[q1q2]T分別代表機械臂的剛性轉(zhuǎn)角和彈性變形的模態(tài)坐標(biāo);Δ為系統(tǒng)非線性摩擦、建模誤差等綜合項;由文獻[24]可知,τ=kuu,其中ku為力矩放大系數(shù),u為控制輸入。

為了便于分析系統(tǒng)的非線性項和控制器設(shè)計,將動力學(xué)方程式(6)重新寫為

(7)

(8)

式(7)代表系統(tǒng)的剛性部分,主要表征運動中連桿的角度變化,式(8)代表系統(tǒng)的柔性部分,主要表征運動中連桿的彈性變形。兩式互相耦合,式(8)可以重新寫為

(9)

將式(9)代入式(7),可以得到新的動力學(xué)方程

(10)

式(10)從形式上看類似于剛性機械臂的運動學(xué)方程,但其中m*是綜合了剛性和柔性項的等效質(zhì)量,而h則代表了由于系統(tǒng)柔性部分帶來的系統(tǒng)非線性不確定函數(shù)。

(11)

為便于控制器設(shè)計,做出如下合理假設(shè)。

假設(shè)1系統(tǒng)期望角度信號x1d(t)二階連續(xù)可微且其各階導(dǎo)數(shù)均有界。

2 控制器設(shè)計

本文的控制目標(biāo)是在柔性機械臂末端負載質(zhì)量變化的情況下,能夠克服系統(tǒng)非線性不確定性和集中干擾,使系統(tǒng)狀態(tài)x1能夠跟蹤到期望角度信號x1d,控制器結(jié)構(gòu)如圖2所示。

圖2 NNDORC控制器結(jié)構(gòu)Fig.2 Structure of NNDORC controller

定義誤差變量

(12)

式中:z1為角度跟蹤誤差;x2d為狀態(tài)x2的虛擬控制律;z2為兩者之間的偏差。

設(shè)計虛擬控制律x2d為

(13)

式中k1為反饋增益系數(shù),k1>0。

根據(jù)式(11)～(13),可以得到誤差動態(tài)方程

(14)

2.1 RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)設(shè)計

RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一種3層前項網(wǎng)絡(luò),可以任意逼近未知非線性函數(shù),其輸入層到隱含層的映射是非線性的,而隱含層到輸出層的映射是線性的,因此可以加快學(xué)習(xí)速率并避免局部極小值問題[25]。RBFNN結(jié)構(gòu)如圖3所示。

圖3 RBFNN結(jié)構(gòu)Fig.3 Structure of RBFNN

(15)

成立。式中:ω=[ω1ω2ω3ω4ω5]T代表神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)最優(yōu)權(quán)值;ε為逼近誤差;R(X)=[R1R2R3R4R5]T為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)基函數(shù),Rj表達式為

(16)

其中,Cj=[cj1cj2cj3]T表示隱含層第j個節(jié)點的中心矢量,bj為第j個節(jié)點的基寬度參數(shù),bj>0。

將式(15)代入式(11),x2的動態(tài)方程變化為

(17)

同時,z2的動態(tài)方程可以寫為

(18)

(19)

設(shè)計神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)權(quán)值更新律為

(20)

式中γ和α是設(shè)計參數(shù),γ>0,σ>0。

(21)

2.2 非線性干擾觀測器設(shè)計

為了處理總干擾d,設(shè)計一種非線性干擾觀測器

(22)

(23)

進而可以得到

(24)

2.3 復(fù)合控制律設(shè)計

根據(jù)2.1、2.2小節(jié)設(shè)計的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和干擾觀測器,結(jié)合式(19)(20)(22),最終的復(fù)合控制律設(shè)計為

(25)

式中k2為反饋增益系數(shù),k2>0。

根據(jù)式(18)(25),誤差動態(tài)方程可以重新寫為

(26)

3 穩(wěn)定性分析

理論1對于式(11)描述的柔性機械臂系統(tǒng),基于RBFNN(式(19)(20))和DOB(式(22))所設(shè)計的控制器NNDORC(式(25))可以保證閉環(huán)系統(tǒng)中所有信號有界,實現(xiàn)系統(tǒng)有界穩(wěn)定。

證明定義Lyapunov函數(shù)

V(t)=V1+V2+V3+V4

(27)

由式(21)(24)(26)可以得到

(28)

(29)

(30)

(31)

(32)

利用簡單的數(shù)學(xué)關(guān)系,可以得到

(33)

式中:‖R‖2≤Θ;ν1和ν2為任意正數(shù)。

(34)

定義

(35)

選取合適的σ、v1、v2、kd,使得k3>0,k4>0,則

(36)

(37)

式中λ=min[2k1,2k2,2γk3,2k4]。

根據(jù)V(t)的定義以及有界性定理,可以得到

(38)

4 實驗驗證與分析

4.1 柔性機械臂實驗平臺介紹

實驗平臺由機械系統(tǒng)和測控系統(tǒng)兩部分組成。機械系統(tǒng)如圖4a所示,主要包括支座、直流伺服電機、旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)和柔性機械臂,伺服電機和旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)通過聯(lián)軸器連接,柔性機械臂直接固連在旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)上,同時配有角度編碼器。測控系統(tǒng)如圖4b所示,主要包括工控機、PCI-1716A/D轉(zhuǎn)換板卡、PCI-1723D/A轉(zhuǎn)換板卡、光電編碼器數(shù)據(jù)采集卡、顯示器等,控制器程序在下位機中由C++代碼編寫,并在上位機中構(gòu)建可視化監(jiān)控軟件。

(a)機械系統(tǒng)

(b)測控系統(tǒng)圖4 柔性機械臂實驗平臺Fig.4 Flexible manipulator experiment platform

實驗臺各參數(shù)如下:Jh=0.3 kg·m2,柔性機械臂長L=0.5 m,寬度b=0.049 8 m,厚度h=0.004 m,E=2×1011N/m2,線密度ρ=1.52 kg/m,重力加速度g取9.8 m/s2,負載質(zhì)量m變化范圍為0～0.5 kg。系統(tǒng)中其他參數(shù)均可由這些參數(shù)計算得出。

實驗采樣間隔為0.5 ms,角度信號由編碼器采集得到,速度信號由高精度角度信號向后差分得到,同時采用截止頻率為50 Hz的二階Butterworth濾波器來減少速度信號中的測量噪聲。

4.2 實驗結(jié)果及分析

為驗證所設(shè)計控制器的有效性和優(yōu)越性,選取3種控制器進行對比實驗

(1)本文提出的復(fù)合學(xué)習(xí)控制器(NNDORC)。系統(tǒng)參數(shù)的名義值選擇為α1n=3.22,α2n=1.10,α3n=2.51;反饋增益k1=k2=50;RBFNN權(quán)值參數(shù)γ=50,σ=0.01,b1～b5均為5.0,C1=[0.20.62.5]T,C2=[0.10.31.25]T,C3=[000]T,C4=-C2,C5=-C1;DOB參數(shù)kd=30。

選取跟蹤誤差最大值me、平均值μ和標(biāo)準(zhǔn)差σ共3項性能指標(biāo)[26],比較不同控制器之間的跟蹤效果。期望角度信號為x1d(t)=10[1-cos(3.14t)][1-exp(-t)] °,在負載質(zhì)量m=0,0.25,0.5 kg共3種工況下進行實驗。

表1 m=0時的性能指標(biāo)Table 1 Performance indicators (m=0)

圖6 m=0時NNDORC對和d的估計 and d estimation of NNDORC (m=0)

表2 m=0.25 kg時的性能指標(biāo)Table 2 Performance indicators (m=0.25 kg)

圖7 m=0.25 kg時3種控制器跟蹤誤差Fig.7 Tracking error of three controllers (m=0.25 kg)

圖8 m=0.25 kg時NNDORC對和d的估計 and d estimation of NNDORC (m=0.25 kg)

表3 m=0.5 kg時的性能指標(biāo)Table 3 Performance indicators (m=0.5 kg)

圖9 m=0.5 kg時3種控制器的跟蹤誤差Fig.9 Tracking error of three controllers (m=0.5 kg)

圖10 m=0.5 kg時NNDORC對和d的估計 and d estimation of NNDORC (m=0.5 kg)

為了更直觀地看到負載變化對3種控制器跟蹤性能帶來的影響,將不同控制器最后兩個周期的實時跟蹤曲線及Me變化進行對比,如圖11所示?？梢悦黠@看出,在跟蹤誤差和Me方面,NNDORC能有效克服負載變化帶來的影響,保持自身跟蹤精度,而NNRC在無負載和小負載時也可保持一定精度,但大負載時跟蹤誤差明顯變大,跟蹤性能變差。

(a)FDL (b)NNRC

(c)NNDORC (d)跟蹤誤差最大值圖11 3種控制器在不同負載條件下的跟蹤誤差Fig.11 Tracking error of three controllers under different load conditions

5 結(jié) 論

針對變負載柔性連桿機械臂的運動控制問題,提出了一種NNDORC方法,該方法能夠有效克服系統(tǒng)未知動態(tài),在負載變化下保證跟蹤精度在0.5%以內(nèi)。本文主要結(jié)論如下。

(1)將柔性連桿機械臂系統(tǒng)中由連桿柔性引起的非線性不確定性和由負載變化、非線性摩擦、RBFNN逼近誤差等效應(yīng)的集中干擾分開考慮,前者利用RNFNN逼近和消除,后者由DOB估計并補償。在避免高增益反饋的同時,有效克服了系統(tǒng)中未知動態(tài)對跟蹤性能的不利影響。

(2)將RBFNN和DOB結(jié)合,保留了各自的優(yōu)點,有效彌補了RBFNN的不足,當(dāng)RBFNN逼近效果不理想時,DOB可以有效處理RBFNN的逼近誤差。實驗結(jié)果表明,與僅使用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的控制器相比,NNDORC應(yīng)對負載變化的能力更強,跟蹤性能提高了24.7%。