何永鍵

“非線性”數(shù)學(xué)課堂主要目標(biāo)在于如何促進(jìn)學(xué)生的主動(dòng)學(xué)習(xí)，通過設(shè)置預(yù)習(xí)導(dǎo)航的方式來(lái)確定學(xué)習(xí)出發(fā)點(diǎn)，實(shí)時(shí)跟蹤學(xué)生知識(shí)的動(dòng)態(tài)生成，讓學(xué)生在思維的交流與碰撞中自我升華，提高課堂學(xué)習(xí)效果。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)思考，追問能夠激發(fā)學(xué)生的探索欲望，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思考，促使學(xué)生深度學(xué)習(xí)。

一、在預(yù)習(xí)導(dǎo)航時(shí)追問

在傳統(tǒng)的課堂，教師會(huì)采用復(fù)習(xí)鋪墊、創(chuàng)設(shè)情境、制造懸念等形式來(lái)喚起已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，為新課學(xué)習(xí)創(chuàng)造條件。而在“非線性”數(shù)學(xué)課堂中，教師直接揭示課題，直奔主題，檢查預(yù)習(xí)情況，梳理和聚焦學(xué)生在預(yù)習(xí)中發(fā)現(xiàn)的問題，這就是“預(yù)習(xí)導(dǎo)航”環(huán)節(jié)。與傳統(tǒng)教學(xué)相比，課堂教學(xué)由“從預(yù)設(shè)起點(diǎn)開始”轉(zhuǎn)變?yōu)椤皬膶W(xué)生的真實(shí)起點(diǎn)開始”。因此，在“預(yù)習(xí)導(dǎo)航”環(huán)節(jié)中找準(zhǔn)學(xué)生的真實(shí)起點(diǎn)尤為重要。在一線教學(xué)中教師經(jīng)常會(huì)有這樣的疑惑：“學(xué)生預(yù)習(xí)后所給出的答案是否知其然？確實(shí)是他們真實(shí)的起點(diǎn)嗎？”這時(shí)，我們可以對(duì)學(xué)生進(jìn)行追問，了解學(xué)生真實(shí)的起點(diǎn)。

例如在“優(yōu)化——沏茶問題”這一課的預(yù)習(xí)導(dǎo)航中，學(xué)生反饋的結(jié)果是最優(yōu)方案，詢問全班學(xué)生，他們都表示同意這個(gè)方案，那么這是否代表他們都達(dá)到知其然？為了檢驗(yàn)學(xué)生真實(shí)情況，接下來(lái)可以設(shè)置以下一連串的追問：你們對(duì)于這一小組的方案存在哪些疑問或者是不同觀點(diǎn)呢？能不能把洗水壺和接水交換順序？為什么？能不能先洗茶杯再找茶葉？為什么？煮水和洗茶杯、找茶葉這樣寫代表什么意思？這一步驟一共用了多少時(shí)間？為什么不是把這3項(xiàng)的時(shí)間加起來(lái)？怎樣的方案才是合理的方案？怎樣的方案才是最優(yōu)的方案？通過學(xué)生對(duì)一系列的問題串的回答情況，我們才能檢驗(yàn)學(xué)生是否知其然。

二、在導(dǎo)學(xué)時(shí)追問

傳統(tǒng)教學(xué)里的形式往往是按備課的內(nèi)容有序推進(jìn)，教師講學(xué)生聽、教師問學(xué)生答、教師寫學(xué)生記。而在“非線性”數(shù)學(xué)課堂教學(xué)內(nèi)容的呈現(xiàn)方式由“教教材、用教材教”轉(zhuǎn)變?yōu)椤坝媒滩膶W(xué)”（學(xué)生主要依據(jù)教材進(jìn)行預(yù)習(xí)和小組討論）。學(xué)生以預(yù)習(xí)導(dǎo)航中聚焦的問題為線索和切入點(diǎn)，開展小組合作學(xué)習(xí)（異質(zhì)小組）。每位學(xué)生在小組里提出存在的學(xué)習(xí)困惑，在小組里尋求幫助，通過學(xué)生間互動(dòng)（個(gè)人探究形成思考、組內(nèi)研討達(dá)成共識(shí)、全班匯報(bào)互動(dòng)完善）和師生間互動(dòng)（大膽質(zhì)疑與細(xì)心解惑、講解與收獲），最終提出問題的解決方案。學(xué)生是否對(duì)問題最終的解決方案都理解到位了，這是教師在教學(xué)中常常擔(dān)憂的問題。其實(shí)，教師可以通過在課堂上進(jìn)行追問，引導(dǎo)全班學(xué)生一起深挖方案的內(nèi)涵，從而透徹理解問題的本質(zhì)。

如一名年輕教師執(zhí)教“分一分（一）”，提出問題：用哪一個(gè)數(shù)來(lái)表示“一半”？學(xué)生通過獨(dú)立思考以及小組交流提出了0.5和1/2這兩個(gè)結(jié)果。這時(shí)老師就開始介紹1/2就是本節(jié)課所要學(xué)習(xí)的分?jǐn)?shù)，然后進(jìn)行下一個(gè)環(huán)節(jié)。在聽課時(shí)我就在思考：1/2用來(lái)表示“一半”，學(xué)生充分理解了它的內(nèi)涵嗎？答案顯然是否定的。我認(rèn)為可以這樣追問：為什么1/2能表示“一半”？它如何與“一半”的含義對(duì)應(yīng)？你能聯(lián)想到其他不用自然數(shù)表示而用這種方式來(lái)表示的情況嗎？通過一系列的追問，引導(dǎo)學(xué)生尋根問底，適當(dāng)延伸問題，讓學(xué)生在思維的交流與碰撞中實(shí)現(xiàn)升華。

三、在反饋時(shí)追問

傳統(tǒng)教學(xué)里，反饋環(huán)節(jié)就是鞏固練習(xí)，形式一般是學(xué)生練教師評(píng)，一題一評(píng)（學(xué)生做完一題后舉手示意，等教師講評(píng)完后，再做下一題）。相比之下，“非線性”數(shù)學(xué)課堂的反饋是當(dāng)堂反饋預(yù)習(xí)和導(dǎo)學(xué)的效果，及早暴露學(xué)習(xí)中的薄弱點(diǎn)、模糊點(diǎn)與易錯(cuò)點(diǎn)。通過適量的針對(duì)性訓(xùn)練，結(jié)合對(duì)比練、小組議（異質(zhì)小組）、集中評(píng)（一次性布置反饋練習(xí)，學(xué)生完成后就在本組內(nèi)交流，最后全班展示、點(diǎn)評(píng)）的形式，檢查、分析學(xué)生對(duì)已學(xué)知識(shí)的掌握情況和課堂教學(xué)效果。若在反饋時(shí)發(fā)現(xiàn)學(xué)生理解不到位，可以通過追問來(lái)協(xié)助學(xué)生梳理并構(gòu)建知識(shí)框架。

在教學(xué)六年級(jí)“百分?jǐn)?shù)的應(yīng)用（四）”時(shí)，我設(shè)計(jì)了以下的反饋練習(xí)：

1. 淘氣把800元存入銀行，定期一年，年利率2.79%。到期后淘氣可獲得多少元利息？

2. 李叔叔購(gòu)買20000元國(guó)家建設(shè)債券，時(shí)間為5年，年利率為3.81%。五年以后，李叔叔可以得到多少元利息？

3. 下面是張阿姨購(gòu)買一筆國(guó)債的信息，這筆國(guó)債到期時(shí)，可得本金和利息共多少元？（圖略）

4. 樂樂的爸爸打算把5000元存入銀行，兩年后再取出來(lái)。他應(yīng)該選擇哪種存取方式取才能得到最多的利息？（利率參考教材P97第5題的表格）

通過反饋發(fā)現(xiàn)，學(xué)生還是沒有真正理解第2題利息的計(jì)算方法，較多學(xué)生忘了還要乘以存入銀行的時(shí)間這個(gè)步驟。還有學(xué)生預(yù)習(xí)時(shí)沒有深入了解存款方式，像第4題存入兩年的情況，部分學(xué)生沒有想到除了整存整取外，還可以一年一年存，一年到期后連同利息一起再存一年;不少學(xué)生都沒有想到還有零存整取、整存零取、存本取息等方式。這時(shí)我們可以通過追問的方式來(lái)幫助學(xué)生梳理知識(shí)：你還記得剛才我們學(xué)習(xí)的年利率指的是什么？只是利息÷本金嗎？學(xué)生通過再次思考互動(dòng)重新認(rèn)識(shí)：存一年的年利率指的是一年的利息÷本金，存兩年的年利率是兩年平均每年的利息÷本金，存三年、五年的年利率參考存兩年的方法計(jì)算年利率。順著前面的認(rèn)識(shí)再次追問：用20000乘以年利率3.81%得到的結(jié)果是什么呢？是全部利息嗎？學(xué)生再次思考交流，認(rèn)識(shí)到這只是一年的利息，要計(jì)算全部的利息還需要乘以存入的時(shí)間長(zhǎng)度5年。我們現(xiàn)在主要學(xué)習(xí)把存款方式都看成整存整取的，實(shí)際生活中還有其他存款方式嗎？為什么會(huì)有這樣的存款方式？整存整取有什么好處？學(xué)生帶著這些問題再次重新思考，了解到各種存款方式的不同，最后通過計(jì)算發(fā)現(xiàn)整存整取收到的利息是最多的。通過追問引導(dǎo)學(xué)生再次進(jìn)行數(shù)學(xué)思考，解題思路得到重新梳理，重新構(gòu)建模型，促使學(xué)生深度學(xué)習(xí)。

四、在歸納積累時(shí)追問

傳統(tǒng)教學(xué)的課堂小結(jié)往往是教師多點(diǎn)提問，學(xué)生逐個(gè)說自己的收獲，由多個(gè)學(xué)生的零散發(fā)言構(gòu)成。而“非線性”數(shù)學(xué)課堂采取歸納積累的方法，一方面對(duì)所學(xué)知識(shí)形成整體認(rèn)識(shí)，另一方面體現(xiàn)課堂學(xué)習(xí)的知識(shí)增值。學(xué)生獨(dú)立寫出自己的課堂學(xué)習(xí)收獲，經(jīng)小組交流后向全班同學(xué)展示，最后教師點(diǎn)評(píng)。全班交流時(shí)，學(xué)生的匯報(bào)要在充分理解前一個(gè)同學(xué)的匯報(bào)的基礎(chǔ)上，提出更深入或更新穎的觀點(diǎn)，亦可以是糾正同學(xué)匯報(bào)的問題，亦可以是補(bǔ)充同學(xué)觀點(diǎn)的不足，亦可以是對(duì)前人的觀點(diǎn)進(jìn)行提煉。由“說收獲”轉(zhuǎn)變?yōu)椤皩懯斋@”，實(shí)現(xiàn)條理化、概括化、策略化，讓學(xué)生學(xué)會(huì)積累歸納，對(duì)方案予以合理的簡(jiǎn)化，建立和發(fā)展學(xué)生的空間觀念。如何確信學(xué)生已經(jīng)掌握了總結(jié)的內(nèi)容，這需要教師善于運(yùn)用追問來(lái)收集相關(guān)信息。