羅 珊，王緯波

（1.中國(guó)船舶科學(xué)研究中心 船舶振動(dòng)噪聲重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江蘇 無(wú)錫 214082；2.常州工程職業(yè)技術(shù)學(xué)院 檢驗(yàn)檢測(cè)認(rèn)證學(xué)院，江蘇 常州 213164）

0 引 言

脫層是復(fù)合材料結(jié)構(gòu)常見(jiàn)的損傷之一。制造缺陷或服役期間的低速?zèng)_擊等都可能使結(jié)構(gòu)產(chǎn)生脫層，在壓縮載荷下，脫層的屈曲甚至擴(kuò)展將引起結(jié)構(gòu)剛度的退化，從而顯著降低結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性，導(dǎo)致災(zāi)難性后果，對(duì)脫層屈曲特性的研究是復(fù)合材料結(jié)構(gòu)損傷容限設(shè)計(jì)方面的重要課題。隨著復(fù)合材料殼體結(jié)構(gòu)在航空航天、船舶海洋、汽車(chē)工業(yè)等領(lǐng)域中的廣泛應(yīng)用，其力學(xué)性能的研究越來(lái)越引起重視，與面內(nèi)壓力下復(fù)合材料梁、板結(jié)構(gòu)脫層失穩(wěn)的機(jī)制不同，當(dāng)復(fù)合材料殼體在靠近結(jié)構(gòu)內(nèi)表面處存在脫層時(shí)，在外壓作用下，脫層區(qū)域會(huì)突然從與整體貼合的狀態(tài)變?yōu)榉蛛x狀態(tài)，由上凸構(gòu)形突變?yōu)橄掳紭?gòu)形，即發(fā)生跳躍屈曲，這種跳躍屈曲是一種有限變形，它的研究不再屬于小撓度范疇，需要用到非線(xiàn)性大撓度理論。

結(jié)構(gòu)大撓度屈曲的研究始于桿。歐拉首先研究了一端固定、一段自由的細(xì)桿在軸壓載荷下的大撓度屈曲問(wèn)題，他在微分方程的建立時(shí)采用了桿彎曲后曲率的精確表達(dá)式，所得到的彈性曲線(xiàn)形狀稱(chēng)之為彈性線(xiàn)，桿的彈性線(xiàn)方程是一個(gè)非線(xiàn)性方程，利用橢圓積分可以得到它的解。由于桿類(lèi)大撓度屈曲問(wèn)題的微分方程中均含有二階非線(xiàn)性項(xiàng)，線(xiàn)性疊加原理將不再適用，方程的求解成為了難點(diǎn)。1962年，F(xiàn)risch-Fay[1]提出了一種求解薄懸臂梁大撓度彎曲問(wèn)題的新方法，即彈性相似性原理，他以歐拉桿作為基本模型，通過(guò)彈性相似性，將一些懸臂梁彎曲問(wèn)題轉(zhuǎn)化為等效的基本模型，經(jīng)過(guò)三角函數(shù)的代入和坐標(biāo)變換，可以得到以橢圓積分表示的問(wèn)題的解。彈性相似性原理繞過(guò)了非線(xiàn)性方程的復(fù)雜求解過(guò)程，引起了很多學(xué)者的興趣，在這個(gè)新方法的基礎(chǔ)上，他們進(jìn)行了一系列梁、桿大撓度彎曲問(wèn)題的研究[2-5]，均得到了滿(mǎn)意的結(jié)果，從而證實(shí)了彈性相似性原理在求解桿類(lèi)大撓度屈曲問(wèn)題方面的簡(jiǎn)便性和準(zhǔn)確性。

實(shí)驗(yàn)觀察到復(fù)合材料曲率結(jié)構(gòu)內(nèi)表面的脫層發(fā)生跳躍屈曲時(shí)，脫層的屈曲構(gòu)形與桿的彈性線(xiàn)構(gòu)形相似，一些學(xué)者開(kāi)始將彈性線(xiàn)模型用于復(fù)合材料曲率結(jié)構(gòu)脫層跳躍屈曲特性的研究。Chan 和Mcminn[6-7]將混凝土壓力容器內(nèi)壁的鋼制薄層內(nèi)襯抽象為剛性圓筒內(nèi)側(cè)的彈性圓環(huán)，其在預(yù)緊力作用下發(fā)生向內(nèi)的變形屈曲，分別采用正弦函數(shù)和彈性線(xiàn)模擬了圓環(huán)后屈曲構(gòu)形，討論了三種可能的屈曲平衡狀態(tài)下結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性以及有限擾動(dòng)和缺陷對(duì)圓環(huán)屈曲的影響。Kachanov[8]研究了玻璃纖維管道在外壓作用下內(nèi)層脫落且發(fā)生屈曲的問(wèn)題，利用斷裂力學(xué)的表面能理論，建立了內(nèi)層脫落屈曲前后的能量平衡方程，采用彈性線(xiàn)方程描述管道內(nèi)層屈曲后的構(gòu)型，得到了臨界壓縮應(yīng)力的表達(dá)式和最容易發(fā)生脫層的內(nèi)層厚度。Kardomateas[9-10]針對(duì)復(fù)合材料梁-板結(jié)構(gòu)的長(zhǎng)、薄型貫穿脫層建立了“薄層模型（thin film model）”，利用彈性線(xiàn)方程分析了薄層屈曲的大變形效應(yīng)，討論了邊界條件對(duì)薄層屈曲臨界載荷的影響，之后他還研究了純彎曲狀態(tài)下復(fù)合材料梁-板結(jié)構(gòu)的脫層跳躍屈曲問(wèn)題，以帶拐點(diǎn)的彈性線(xiàn)來(lái)描述脫層跳躍屈曲后的構(gòu)型，得到了以橢圓積分表示的臨界彎矩的表達(dá)式。另外，他還對(duì)上述兩個(gè)問(wèn)題進(jìn)行了試驗(yàn)研究，通過(guò)對(duì)含預(yù)埋脫層的復(fù)合材料樣件的壓力試驗(yàn)和四點(diǎn)彎曲試驗(yàn)，得到了與理論結(jié)果性質(zhì)相似的載荷位移曲線(xiàn)，對(duì)壓力試驗(yàn)值低于理論值的可能原因進(jìn)行了討論。Yin[11]對(duì)Chen和Mcminn的方法稍作修改，采用淺拱理論、經(jīng)典彈性線(xiàn)理論、包含橫向效應(yīng)的彈性線(xiàn)方程分別求解了復(fù)合材料圓柱殼內(nèi)表面薄層跳躍屈曲的臨界載荷，結(jié)果證明基于小變形理論的淺拱理論低估了脫層跳躍屈曲的臨界載荷值。Wang和Shenoi[12-14]等基于線(xiàn)性曲梁理論和曲梁大變形理論結(jié)合斷裂力學(xué)分別建立了在開(kāi)式彎矩和合攏彎矩作用下復(fù)合材料曲梁的脫層屈曲模型，闡述了兩種情況下脫層屈曲機(jī)理的差異，研究了脫層對(duì)應(yīng)角度對(duì)極限載荷的影響。

對(duì)復(fù)合材料結(jié)構(gòu)跳躍屈曲問(wèn)題的研究，除彈性線(xiàn)模型外，還有其他的理論和模型，一些學(xué)者對(duì)該問(wèn)題也開(kāi)展了試驗(yàn)研究。Hunt等[15]通過(guò)四自由度瑞利法分析了受軸壓的復(fù)合材料桿跳躍屈曲的臨界彎矩和后屈曲特性，之后Kinawy 等[16-17]采用簡(jiǎn)化的三自由度瑞利法研究了同樣的問(wèn)題，并對(duì)樣件進(jìn)行了四點(diǎn)彎曲試驗(yàn)，判斷了I型和II型兩種斷裂模式在最終斷裂失效起的作用。Bennati等[18]建立了中間含貫穿脫層的復(fù)合材料梁四點(diǎn)彎曲試驗(yàn)的一個(gè)彈性界面模型，將樣件視為由彈性界面連接的三個(gè)子層，對(duì)脫層子層采用大撓度理論進(jìn)行分析，得到了脫層發(fā)生跳躍屈曲的路徑，通過(guò)與Kinawy 的試驗(yàn)結(jié)果對(duì)比，驗(yàn)證了該模型的合理性。Gasco 和Feraboli[19]提出一種用于脫層屈曲擴(kuò)展非線(xiàn)性有限元分析的自動(dòng)增量求解算法，在屈曲分析的N-R 法迭代過(guò)程中，以裂紋（脫層）擴(kuò)展長(zhǎng)度作為約束變量，求解脫層的前屈曲和后屈曲路徑，該法可用于復(fù)合材料結(jié)構(gòu)的脫層跳躍屈曲問(wèn)題，比弧長(zhǎng)法更為穩(wěn)健和有效。Riccio 和Russo[20]等對(duì)含脫層復(fù)合材料板的受壓特性進(jìn)行了試驗(yàn)研究和數(shù)值模擬，試驗(yàn)觀察到了試件從整體屈曲到脫層跳躍屈曲的整個(gè)過(guò)程，采用虛擬裂紋閉合技術(shù)對(duì)該過(guò)程進(jìn)行了有限元分析，得到了與試驗(yàn)值吻合度很好的結(jié)果，證實(shí)了脫層的跳躍屈曲與脫層的突然擴(kuò)展相伴發(fā)生。

本文在彈性相似性原理二維模型的基礎(chǔ)上對(duì)均勻外壓下復(fù)合材料球殼的脫層屈曲問(wèn)題進(jìn)行求解，假設(shè)復(fù)合材料球殼靠近內(nèi)表面的部分區(qū)域在外壓作用下發(fā)生脫層跳躍屈曲，采用非線(xiàn)性大撓度理論，以彈性線(xiàn)模擬脫層經(jīng)線(xiàn)的后屈曲構(gòu)型，建立脫層區(qū)域的彎曲微分方程，基于斷裂力學(xué)建立屈曲前后的能量平衡方程，利用橢圓積分對(duì)方程組進(jìn)行求解，得到了初始狀態(tài)含脫層和不含脫層的兩種復(fù)合材料球殼模型發(fā)生內(nèi)表面脫層跳躍屈曲時(shí)的屈曲臨界載荷的表達(dá)式，對(duì)大撓度假設(shè)進(jìn)行了驗(yàn)證，討論了脫層大小、脫層厚度對(duì)脫層屈曲臨界載荷的影響，預(yù)測(cè)了脫層的擴(kuò)展情況。

1 基于彈性相似性原理的二維模型概述

1.1 圓形薄板彎曲的基本模型

由極坐標(biāo)表示的圓形薄板小撓度彎曲的基本微分方程為

式中，w為圓板橫向位移，r為圓板上任一點(diǎn)徑向坐標(biāo)，θ為圓板上任一點(diǎn)周向坐標(biāo)，q為圓板受到的載荷，Dp為圓板抗彎剛度。

考慮周邊簡(jiǎn)支且受均布彎矩Mp作用的圓形薄板，由圓板理論可以解得

式中，a為圓板半徑，νp為圓板材料泊松比。

圓形薄板的任一根徑線(xiàn)與緯線(xiàn)彎曲變形后的曲率κr和κθ分別為

再考慮沿周邊受均布?jí)毫A形薄板的屈曲，根據(jù)板殼穩(wěn)定性理論，周邊簡(jiǎn)支且受均布?jí)毫Φ膱A形薄板的臨界載荷（Nr）cr可以通過(guò)貝塞爾方程得到，表示為

1.2 基于彈性相似性原理二維基本模型的建立

將同時(shí)受壓力和彎矩的簡(jiǎn)支薄圓板作為彈性相似性原理應(yīng)用的二維基本模型，考慮邊界承受均布?jí)毫Φ暮?jiǎn)支薄部分球殼，可以將其視為是在邊界均布彎矩Mp作用下發(fā)生了彎曲變形的圓形薄板，如圖1（a）所示，因此問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解邊沿上同時(shí)受壓力和彎矩的簡(jiǎn)支圓形薄板的彎曲，如圖1（b）所示。

圖1 邊沿受壓簡(jiǎn)支薄部分球殼等效模型Fig.1 Equivalent model of simply-supported thin partial spherical shell under edge compression

再考慮在邊沿EGFH上同時(shí)受到壓力和彎矩的簡(jiǎn)支薄部分球殼的屈曲問(wèn)題，基于彈性相似性原理，將作用在部分球殼邊沿EGFH的壓力Nr的作用線(xiàn)豎直向上移動(dòng)一個(gè)Mp/Nr的距離，此時(shí)在新的邊沿E'G'F'H'上，僅作用壓力Nr，而不再有彎矩Mp，作用在原球殼邊沿EGFH上的彎矩效應(yīng)已經(jīng)包含在作用于新部分球殼邊沿的壓力Nr內(nèi)，問(wèn)題化為等效的二維基本模型，即薄圓板在邊沿E'G'F'H'同時(shí)受壓力Nr和彎矩Mp的大撓度彎曲問(wèn)題，如圖2所示。

圖2 邊沿同時(shí)受壓彎簡(jiǎn)支薄部分球殼等效模型Fig.2 Equivalent model of simply-supported thin partial spherical shell under edge compression and bending moment

2 均布外壓下復(fù)合材料球殼內(nèi)表面脫層跳躍屈曲研究

2.1 問(wèn)題描述

假設(shè)有一復(fù)合材料層合球殼，球殼厚度為T(mén)，初始內(nèi)半徑為R0，在靠近其內(nèi)表面的某深度位置，存在一處平行于殼體中面的脫層，由于脫層的存在，可以將球殼分成3 部分，即不含脫層的子殼S，脫落的薄子殼D 和與子殼D 分離的基底厚子殼B，假設(shè)脫落的薄子殼D 的彈性模量為E，泊松比為ν，厚度為t，且t＜＜R0，脫層對(duì)球心的張角為2α。

考慮該復(fù)合材料球殼在均布外壓P作用下脫層屈曲的過(guò)程。

狀態(tài)I：脫層臨界屈曲狀態(tài)，該狀態(tài)下球殼在P作用下發(fā)生整體均勻收縮，內(nèi)徑由R0減小為R，子殼D處于臨界屈曲狀態(tài)，還未與子殼B分離，如圖3（a）所示；

狀態(tài)II：脫層跳躍屈曲狀態(tài)，假設(shè)子殼B 與子殼S 仍保持均勻收縮，未發(fā)生屈曲，子殼D 發(fā)生了跳躍屈曲，產(chǎn)生了大撓度變形，與子殼B分離，如圖3（b）所示。

圖3 受壓復(fù)合材料球殼脫層屈曲示意圖Fig.3 Schematic of delamination buckling in composite spherical shell under compression

在本文的研究過(guò)程中將用到如下假設(shè)：

（1）假設(shè)脫層子殼D發(fā)生跳躍屈曲后的構(gòu)形相對(duì)其中心線(xiàn)是軸對(duì)稱(chēng)的，由于子殼D的初始狀態(tài)是一個(gè)球殼結(jié)構(gòu)，其屈曲后完整的研究應(yīng)該包含經(jīng)向變形和緯向變形兩個(gè)部分。本文假設(shè)脫層殼體的大撓度變形主要發(fā)生在經(jīng)向方向，緯向變形相對(duì)于徑向小得多，因此忽略緯向變形效應(yīng)，這種近似是可以接受的；

（2）假設(shè)模型變形在彈性范圍內(nèi)，遵從胡克定律。

2.2 問(wèn)題的求解

將球殼沿著任意一條經(jīng)線(xiàn)剖切，得到發(fā)生跳躍屈曲區(qū)域的局部示意圖，如圖4 所示?？梢钥闯?，子殼D在發(fā)生跳躍屈曲后，與子殼B脫離，僅在邊沿處受到子殼S的約束且與子殼B相切，屈曲后的平衡狀態(tài)依靠邊沿上的均布?jí)毫d和彎矩Md來(lái)維持，此時(shí)子殼D 的受力狀態(tài)與圖2（a）一致，可以利用彈性相似性原理，將其轉(zhuǎn)化為如圖2（b）所示的等效模型進(jìn)行分析。假設(shè)子殼D的經(jīng)線(xiàn)在跳躍屈曲后，其構(gòu)型為一段含拐點(diǎn)的彈性線(xiàn)，由于該問(wèn)題為軸對(duì)稱(chēng)問(wèn)題，取對(duì)稱(chēng)中心一側(cè)建立局部坐標(biāo)系，如圖5所示。

圖4 脫層跳躍屈曲局部示意圖（沿經(jīng)線(xiàn)方向剖切）Fig.4 Local schematic of delamination buckling(cutting along the meridian orientation)

圖5 子殼D經(jīng)線(xiàn)屈曲后構(gòu)形圖Fig.5 Configuration of the meridian of Subshell D after buckling

狀態(tài)I中臨界屈曲時(shí)整球均勻壓縮，則沿直徑方向的徑向應(yīng)變?chǔ)舝和膜應(yīng)變?chǔ)?分別為由于t'＜＜R0，可以認(rèn)為子殼D在狀態(tài)I時(shí)的半徑等于球殼內(nèi)徑R，跳躍屈曲后經(jīng)線(xiàn)的彎曲平衡方程為

利用橢圓積分可以得到式（7）的解為

式中，F(xiàn)（p,φ）、K（p）代表第一類(lèi)橢圓積分、完整的第一類(lèi)橢圓積分；E（p,φ）、E（p）代表第二類(lèi)橢圓積分、完整的第二類(lèi)橢圓積分；L表示一段完整的橢圓積分曲線(xiàn)的弧長(zhǎng)；v為經(jīng)線(xiàn)AF、FB段的豎直撓度；e為點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的豎直距離；φC為點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的φ角。

由于C點(diǎn)對(duì)應(yīng)的角θ為α，將θ=α代入式（9），可得

由式（9）和式（10a）可得

在端點(diǎn)C處，屈曲后經(jīng)線(xiàn)的曲率半徑與球殼內(nèi)徑相等，為R，將φC的值代入式（12），整理得

以L0表示初始狀態(tài)未受外壓時(shí)的AC長(zhǎng)度，L*表示跳躍屈曲后的AC的長(zhǎng)度，則有

將式（5）、（6）、（11）、（15a）、（15b）代入式（14），得

式中，未知數(shù)為參數(shù)p和臨界屈曲時(shí)的膜應(yīng)變?chǔ)?。

以上屈曲控制方程的建立是基于屈曲后構(gòu)形的大撓度假設(shè)，對(duì)于這樣一種構(gòu)形發(fā)生的必要條件是：脫層在狀態(tài)I的應(yīng)變能必須大于或等于狀態(tài)II的應(yīng)變能。將靠近內(nèi)表面區(qū)域的局部脫層視為殼體結(jié)構(gòu)的內(nèi)部裂紋，結(jié)合斷裂力學(xué)的能量理論，得到子殼D屈曲前后的能量平衡式為

式中，U0為屈曲前子殼D的應(yīng)變能，UB為跳躍屈曲后，子殼D的應(yīng)變能，W為發(fā)生脫層的斷裂能。

狀態(tài)I時(shí)，球殼受壓均勻收縮，處于臨界屈曲狀態(tài)，此時(shí)子殼D的應(yīng)變能U0可表示為

狀態(tài)II時(shí)，子殼D的應(yīng)變能主要是由屈曲后三個(gè)區(qū)域的彎曲應(yīng)變能組成，即

式中，UI、UII、UIII分別代表I、II、III區(qū)的彎曲應(yīng)變能。

對(duì)I、II、III三個(gè)區(qū)域的彎曲應(yīng)變能分別考慮，則

式中，χi為i區(qū)域屈曲前后的曲率變化，dAi為i區(qū)域的面積微元。

對(duì)于I區(qū)域，在跳躍屈曲后，該區(qū)域的經(jīng)線(xiàn)發(fā)生了翻轉(zhuǎn)，曲率由凸變凹，故

對(duì)于II、III區(qū)，經(jīng)線(xiàn)曲率變化為

將橢圓積分的解以及剛度D、φA、φF、φB的值代入式（20），化簡(jiǎn)整理得

將式（22）代入式（20），整理得

由斷裂力學(xué)理論，斷裂能W可表示為

式中，Γ為材料參數(shù)，指的是產(chǎn)生新裂紋所需要克服的表面能。

由式（9）得

代入式（13），整理可得

將式（11）、（18）、（23）、（24）、（26）代入式（17），整理后可記作

就醫(yī)前應(yīng)想好病情描述，最好能說(shuō)清整個(gè)前后病程的時(shí)間、癥狀、化驗(yàn)及檢查結(jié)果、用藥及用藥的效果，病情復(fù)雜的可以列個(gè)表寫(xiě)下來(lái)，有些不方便直接帶給醫(yī)生看的可以拍下來(lái)給醫(yī)生看。藥要能說(shuō)出藥名，最好是藥品名而不是商品名，記不住的可以把藥盒子帶上，病情敘述簡(jiǎn)明扼要一點(diǎn)。

式中，

在方程（27）中，未知數(shù)為參數(shù)p和臨界屈曲時(shí)的膜應(yīng)變?chǔ)?，結(jié)合方程（16），2 個(gè)方程對(duì)應(yīng)2 個(gè)未知數(shù)，故問(wèn)題可解。

3 結(jié)果與討論

3.1 大撓度假設(shè)的驗(yàn)證

考慮脫層發(fā)生跳躍屈曲后的撓度，從圖4可以看出，屈曲后經(jīng)線(xiàn)的最大位移位于子殼D的中心，該點(diǎn)由A'移動(dòng)到A，設(shè)該距離為δ，則

將式（10c）、（10d）、（26）代入上式，整理得

文獻(xiàn)[6]指出，復(fù)合材料曲率結(jié)構(gòu)發(fā)生脫層屈曲時(shí)，根據(jù)脫層區(qū)域的大小，對(duì)應(yīng)不同的屈曲路徑，存在一角度α*，當(dāng)脫層對(duì)應(yīng)張角2α＜2α*時(shí)，脫層區(qū)域發(fā)生小撓度屈曲；當(dāng)脫層對(duì)應(yīng)張角2α＞2α*時(shí)，脫層將發(fā)生大撓度跳躍屈曲。該α*的大小與R/t'的大小有關(guān)，α*隨R/t'的減小而增大。本文討論R/t'值為800、400、200、100 四種情況下，脫層發(fā)生跳躍屈曲時(shí)的特性，估算當(dāng)α＞15°時(shí)，上述四種情況均可發(fā)生脫層的跳躍屈曲，得到R/t'值為800、400、200、100 四種情況下，最大位移與脫層大小和厚度的關(guān)系，如圖6所示。

圖6 最大位移與脫層參數(shù)關(guān)系Fig.6 Relationship between maximum displacement and delamination parameters

從圖6 可以看出，脫層屈曲后的最大位移與脫層的大小和厚度有關(guān)。當(dāng)脫層厚度一定時(shí)，初始脫層越大，則屈曲后脫層的最大位移越大；當(dāng)脫層大小一定時(shí)，脫層的厚度越大，屈曲后脫層的最大位移越小。當(dāng)初始脫層的大小在15°～90°時(shí)，最大位移與脫層厚度的比值范圍為5～1200，符合大撓度的假設(shè)。

3.2 受壓復(fù)合材料球殼脫層跳躍屈曲的特性分析

將式（5b）代入式（27），整理可得復(fù)合材料球殼內(nèi)表面薄層發(fā)生跳躍屈曲的臨界載荷Pcr為

3.2.1 初始狀態(tài)下含脫層復(fù)合材料球殼的脫層屈曲特性分析

假設(shè)復(fù)合材料球殼初始狀態(tài)下在靠近其內(nèi)表面存在脫層，此時(shí)可以令式（30）中Γ值取0，可得脫層發(fā)生跳躍屈曲的臨界載荷為

圖7 臨界屈曲載荷與脫層參數(shù)關(guān)系Fig.7 Relationship between critical buckling load and delamination parameters

圖8 F(α)與脫層參數(shù)的關(guān)系Fig.8 Relationship between F(α)and delamination parameters

式中，

由于G值近似為一常數(shù)，說(shuō)明對(duì)于初始狀態(tài)下含內(nèi)表面薄層脫層損傷的復(fù)合材料球殼，其脫層的臨界屈曲載荷與脫層與球殼的厚度比（t'/R）近似成正比，在球殼厚度一定的情況下，脫層位置越靠近球殼內(nèi)表面，薄層發(fā)生跳躍屈曲的臨界載荷就越小。

3.2.2 初始狀態(tài)下不含脫層復(fù)合材料球殼的脫層屈曲特性分析

假設(shè)復(fù)合材料球殼初始狀態(tài)無(wú)脫層存在，將F0代入式（30），可得厚度為t'的薄層脫離整體并發(fā)生跳躍屈曲的臨界載荷Pcr2為

仍取F0=30，上式整理得

從圖9 中可以看出，與上小節(jié)中初始狀態(tài)含脫層球殼的脫層臨界屈曲載荷隨著脫層厚度的增大而增大不同，初始不含脫層的層合球殼受壓產(chǎn)生內(nèi)表面薄層脫層屈曲的臨界載荷主要依賴(lài)于脫層的厚度t'，當(dāng)脫層厚度很薄時(shí)，隨著脫層厚度的增加，脫層屈曲的臨界載荷也隨之下降，直到達(dá)到某一最小值Pcr2min之后，臨界屈曲載荷將隨脫層厚度的增加而增大。

圖9與脫層厚度關(guān)系Fig.9 Relationship between and delamination thickness

設(shè)

由式（34）可得，當(dāng)H值最小時(shí)，Pcr2值最小。

當(dāng)且僅當(dāng)

時(shí)，Pcr2有最小值Pcr2min，

此時(shí)Pcr2min對(duì)應(yīng)的薄膜脫層厚度t'cr為

t'cr表示在層合球殼結(jié)構(gòu)中，在靠近其內(nèi)表面區(qū)域，存在最有可能發(fā)生脫層并屈曲的某一位置，其對(duì)應(yīng)著脫層臨界載荷Pcr2min，如果層合球殼結(jié)構(gòu)在設(shè)計(jì)時(shí)，并不能確定是否存在脫層或者脫層的具體位置，則應(yīng)將Pcr2min作為結(jié)構(gòu)產(chǎn)生脫層并發(fā)生脫層屈曲的最小臨界載荷值。

對(duì)比式（31）和式（34），Pcr2的表達(dá)式相對(duì)于Pcr1多了包含Γ的一項(xiàng)，表示當(dāng)球殼初始狀態(tài)不含脫層時(shí)，從產(chǎn)生脫層到脫層發(fā)生跳躍屈曲，除了維持大撓度構(gòu)型平衡狀態(tài)的能量之外，還需要能量來(lái)克服脫層與整體發(fā)生分離前的層間強(qiáng)度。如果界面層間強(qiáng)度不足，即表面能Γ值非常小時(shí)，則產(chǎn)生脫層和脫層屈曲的臨界載荷主要取決于含F(xiàn)（α）的一項(xiàng)，從物理含義上看，函數(shù)F（α）隨α角的變化趨勢(shì)體現(xiàn)了一定載荷范圍內(nèi)脫層的擴(kuò)展情況。上述分析中已經(jīng)證明，在表示脫層大小的α角對(duì)應(yīng)的（15°，60°）區(qū)間內(nèi)，F(xiàn)（α）增長(zhǎng)非常緩慢，因此其對(duì)應(yīng)的脫層屈曲載荷值的增加也非常小，意味著一旦靠近球殼的內(nèi)表面區(qū)域產(chǎn)生脫層，無(wú)論是初始狀態(tài)就存在的脫層還是受壓后產(chǎn)生的脫層，即使開(kāi)始是一個(gè)較小的脫層，在外壓達(dá)到其臨界屈曲載荷值后，脫層將首先發(fā)生屈曲，且在該載荷下脫層區(qū)域很可能發(fā)生進(jìn)一步擴(kuò)展，從而引起內(nèi)表面薄層沿著層合界面發(fā)生大范圍脫落，最終導(dǎo)致結(jié)構(gòu)的崩潰。

4 結(jié) 論

本文所描述的是一種大撓度非線(xiàn)性屈曲模型，從以上的分析可以得出受壓復(fù)合材料球殼內(nèi)表面薄層跳躍屈曲的一些特性：

（1）如果復(fù)合材料球殼在靠近內(nèi)表面的區(qū)域，初始狀態(tài)即存在脫層，則隨著外壓的增加，球殼先是均勻收縮，當(dāng)外壓達(dá)到脫層的屈曲臨界載荷時(shí)，內(nèi)表面的薄層將發(fā)生屈曲。脫層屈曲的臨界載荷值與初始脫層的大小和厚度有關(guān)，初始脫層越大，脫層屈曲的臨界載荷值越大；脫層的區(qū)域越厚，脫層屈曲的臨界載荷值越大，脫層的臨界屈曲載荷值與脫層和球殼的厚度比t'/T幾乎成正比。

（2）若復(fù)合材料球殼初始狀態(tài)無(wú)脫層存在，則在受均勻外壓時(shí)，如果層間強(qiáng)度不足或受到其他擾動(dòng)因素，其靠近內(nèi)表面的薄層有可能從球殼整體脫落且發(fā)生跳躍屈曲，存在最有可能發(fā)生脫層屈曲的某一位置，其對(duì)應(yīng)的脫層臨界屈曲載荷最小，該值可以作為設(shè)計(jì)層合球殼結(jié)構(gòu)時(shí)的穩(wěn)定性下限值。

（3）根據(jù)本文分析，無(wú)論復(fù)合材料球殼結(jié)構(gòu)中是否存在初始脫層，一旦產(chǎn)生脫層并發(fā)生跳躍屈曲，如果沿著脫層與球殼結(jié)合界面的強(qiáng)度不足，在發(fā)生屈曲之后，脫層很容易發(fā)生進(jìn)一步擴(kuò)展，即內(nèi)表面薄層沿著層合界面發(fā)生大范圍脫落，從而導(dǎo)致結(jié)構(gòu)的崩潰。