熊 康，鄧軍林，裴志勇，湯華林，涂雯羚

（1.武漢理工大學(xué) 交通學(xué)院，武漢 430063；2.北部灣大學(xué) 機(jī)械與船舶海洋工程學(xué)院，廣西 欽州 535011）

0 引 言

船舶在惡劣海況波浪中航行時(shí)受載情況不斷變化，使船體構(gòu)件長(zhǎng)期處于多軸高應(yīng)力、低循環(huán)交變應(yīng)力狀態(tài)。通常這些載荷具有不同的軸向分量和不同的相位，然而大多數(shù)船舶結(jié)構(gòu)疲勞強(qiáng)度評(píng)估是根據(jù)單軸載荷下的理論研究得到的[1]，其結(jié)果往往過(guò)于保守。目前，金屬韌性材料在單軸低周疲勞下的裂紋擴(kuò)展行為已經(jīng)得到了普遍研究，并形成了系統(tǒng)的理論知識(shí)和研究方法，但是這些研究方法并不能直接應(yīng)用到多軸低周疲勞領(lǐng)域[2]。另外，研究表明[3]多軸疲勞壽命的大部分消耗在20 μm到1 mm長(zhǎng)的裂紋擴(kuò)展上。因此，對(duì)于船體結(jié)構(gòu)在惡劣海況中的多軸低周疲勞破壞，主要關(guān)注船體結(jié)構(gòu)多軸低周疲勞裂紋擴(kuò)展研究[4-5]。

斷裂力學(xué)法是近年來(lái)研究疲勞裂紋擴(kuò)展特性的重要方法[6]，一般首先求解出表征裂紋擴(kuò)展的控制參量K、J積分等，然后分析裂紋擴(kuò)展速率da/dN與裂紋控制參量K、J或G的函數(shù)。對(duì)于多軸疲勞短裂紋擴(kuò)展，由于缺乏應(yīng)力強(qiáng)度因子的精確解，再加上獲得多軸疲勞短裂紋實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)較困難，使多軸疲勞短裂紋擴(kuò)展模型的研究進(jìn)展緩慢，有關(guān)多軸疲勞裂紋的研究文獻(xiàn)也很少。Meng 等[7]以應(yīng)力強(qiáng)度因子幅為控制參量分析了二軸拉-拉疲勞裂紋擴(kuò)展行為，指出以應(yīng)力強(qiáng)度因子幅表征的二軸疲勞裂紋擴(kuò)展角可以很好地預(yù)測(cè)裂紋擴(kuò)展路徑。Hoshide 等[8]對(duì)1045 鋼薄壁管進(jìn)行了拉扭二軸疲勞試驗(yàn)，提出用一個(gè)等效應(yīng)變強(qiáng)度因子ΔKeq(ε)來(lái)描述多軸短裂紋擴(kuò)展，成功地描述了多軸疲勞裂紋擴(kuò)展行為。隨后，F(xiàn)oletti 等[9]提出了一個(gè)J積分公式來(lái)處理多軸短疲勞裂紋擴(kuò)展，也取得了較好的效果。Gotoh 等[10]通過(guò)對(duì)二軸疲勞載荷下裂紋尖端等效應(yīng)力場(chǎng)、塑性區(qū)半徑以及裂紋張開(kāi)位移COD的數(shù)值分析，提出了基于塑性區(qū)等效應(yīng)力準(zhǔn)則的多軸疲勞裂紋擴(kuò)展斷裂機(jī)理評(píng)估方法。因此，通過(guò)對(duì)表征裂紋擴(kuò)展的控制參量K、J積分等進(jìn)一步深入研究，對(duì)船舶結(jié)構(gòu)多軸低周疲勞裂紋擴(kuò)展斷裂分析具有十分重要的意義。

事實(shí)上，已有研究表明船體結(jié)構(gòu)的總體斷裂破壞往往是低周疲勞與遞增塑性兩種破壞耦合作用的結(jié)果[11]。當(dāng)船體結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的塑性變形的累積值超過(guò)某一限定值后，會(huì)引發(fā)船體局部結(jié)構(gòu)低周疲勞裂紋的形成、擴(kuò)展并最終產(chǎn)生結(jié)構(gòu)的總體斷裂破壞[12]。Qu等[13]通過(guò)對(duì)Q235中碳鋼試件開(kāi)展的多軸低周疲勞試驗(yàn)，系統(tǒng)地研究了多軸循環(huán)變形行為，并據(jù)此確定臨界平面參數(shù)來(lái)評(píng)估其多軸低周疲勞強(qiáng)度。然而到目前為止，我們對(duì)多軸高應(yīng)力、低循環(huán)載荷下這種耦合關(guān)系的內(nèi)在機(jī)理以及其作用下的船體結(jié)構(gòu)裂紋擴(kuò)展的影響規(guī)律知之甚少。因此，它理應(yīng)是船體結(jié)構(gòu)多軸低周疲勞擴(kuò)展斷裂研究上的一個(gè)十分重要的研究?jī)?nèi)容和發(fā)展方向。

本文以Q235 鋼十字型船體中心裂紋板作為研究對(duì)象，通過(guò)對(duì)裂紋尖端應(yīng)力應(yīng)變場(chǎng)的彈塑性分析，重點(diǎn)研究二軸低周疲勞載荷作用下船體裂紋板的累積塑性規(guī)律以及二軸低周疲勞裂紋擴(kuò)展斷裂參數(shù)。利用有限元數(shù)值模擬分析二軸低周疲勞載荷下不同平均應(yīng)力、應(yīng)力幅和二軸應(yīng)力比等相關(guān)因素對(duì)應(yīng)力強(qiáng)度因子、J積分的影響，為正確評(píng)估船體裂紋板二軸低周疲勞裂紋擴(kuò)展斷裂行為提供基礎(chǔ)。

1 理論分析

船體薄板構(gòu)件一般處于平面應(yīng)力狀態(tài)，多軸低周疲勞載荷下裂紋板裂紋尖端的彈塑性應(yīng)力應(yīng)變本構(gòu)關(guān)系是由應(yīng)力應(yīng)變曲線結(jié)合彈性和塑性理論求得，結(jié)合增量物理方程[14]和塑性流動(dòng)規(guī)則與可塑性表面關(guān)系，表示為

式中，dεij、dσij是應(yīng)變和應(yīng)力張量分量的增量，dλ是比例系數(shù)，E是楊氏模量，υ是泊松比，δij是Kronecker應(yīng)變。

采用Chaboche非線性硬化模型[15]，材料屈服函數(shù)為

式中，χ是非線性運(yùn)動(dòng)硬化變量，R0是各向同性硬化變量，k是初始半徑的屈服面，J是von Mises距離內(nèi)的偏應(yīng)力空間，并且

式中，σ'和χ'分別是σ和χ的差值。

塑性流動(dòng)法則為

非線性運(yùn)動(dòng)硬化χ和各向同性硬化變量R0可以表示為

式中，C1、a1、C2、a2、b、Q是材料常數(shù)，通過(guò)實(shí)驗(yàn)來(lái)確定；是累積塑性應(yīng)變率。

根據(jù)討論Chaboche 模型的文獻(xiàn)[16]，塑性應(yīng)變與累積塑性應(yīng)變之間的微分關(guān)系，在n+1 循環(huán)中累積塑性應(yīng)變可寫為

這里dεp,n+1是第一個(gè)n+1 個(gè)載荷循環(huán)后裂紋尖端等效塑性應(yīng)變?cè)隽?，可以根?jù)Newton-Raphson 迭代法通過(guò)n+1個(gè)載荷循環(huán)后裂紋板裂紋尖端應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系來(lái)獲得。

將式（6）代入文獻(xiàn)[17]中的Newton-Raphson 迭代法，可獲得n+1 個(gè)循環(huán)后的裂紋尖端塑性應(yīng)變?cè)隽縟εp,n+1。另外，也可以獲得相應(yīng)的塑性應(yīng)變?cè)隽俊Ｒ来胃孪鄳?yīng)的參數(shù)，可以求得在第ith個(gè)循環(huán)中相應(yīng)的塑性應(yīng)變?cè)隽俊?/p>

因此，單軸低周疲勞載荷下裂紋板裂紋尖端在n+1個(gè)載荷循環(huán)的塑性應(yīng)變?cè)隽喀う舙可以表示為

式（7）即是在n+1個(gè)載荷循環(huán)后裂紋板裂紋尖端累積增量塑性應(yīng)變值的表達(dá)式。

二軸低周疲勞載荷下裂紋板von Mises等效應(yīng)變根據(jù)文獻(xiàn)[18]通過(guò)使用主應(yīng)變分量εA和εB獲得，

根據(jù)式（7）獲得的對(duì)應(yīng)載荷循環(huán)下的累積塑性應(yīng)變作為二軸低周疲勞載荷下裂紋板在x、y軸向塑性變形分量代入式（8），即可獲得在二軸低周疲勞載荷下裂紋板在相應(yīng)載荷循環(huán)后裂紋尖端von Mises等效塑性應(yīng)變。

Masayuki[19]證明了應(yīng)變強(qiáng)度因子在大規(guī)模屈服條件下代表疲勞裂紋擴(kuò)展驅(qū)動(dòng)力的有效性。通過(guò)使用應(yīng)變強(qiáng)度因子作為驅(qū)動(dòng)力，可以很好地描述低周疲勞裂紋的擴(kuò)展。應(yīng)變強(qiáng)度因子幅表示如下：

ΔεMises是在二軸低周疲勞載荷下裂紋板在相應(yīng)載荷循環(huán)后裂紋尖端von Mises等效塑性應(yīng)變，由式（8）獲得。常數(shù)fL可通過(guò)以下公式獲得：

J積分用作描述彈塑性疲勞裂紋擴(kuò)展的參數(shù)，可以通過(guò)常規(guī)工程方法估算為

式中，Je和Jp分別是J積分的彈性部分和塑性部分。對(duì)于冪硬化材料，J表達(dá)式可以以一般形式擴(kuò)展[20]。

式中，C2=2；E為平面應(yīng)力條件；F表示彈性K表達(dá)式中的幾何因子；應(yīng)變硬化指數(shù)n和系數(shù)a，ε0和σ0由具有Ramberg-Osgood本構(gòu)關(guān)系的單軸應(yīng)力-應(yīng)變曲線確定。

對(duì)于平面內(nèi)二軸低周疲勞載荷加載條件下，通過(guò)改變完全可塑性因子h1表達(dá)式可以解釋多軸性的影響，其中雙軸解h′1由參考文獻(xiàn)[20]給出。

對(duì)于二軸低周疲勞載荷加載下，ΔJ表達(dá)式的估計(jì)與單調(diào)J表達(dá)式的估計(jì)相似，但僅將σ和ε的單個(gè)值替換為它們的范圍Δσ和Δε。結(jié)合式（9）、式（13）和式（12），二軸低周疲勞載荷下基于累積塑性變形的船體裂紋板裂紋尖端J積分表達(dá)式為

2 有限元分析及討論

本文利用ABAQUS 有限元軟件來(lái)進(jìn)行建模和有限元計(jì)算。對(duì)二軸低周疲勞載荷下含有45°預(yù)裂紋的十字試件進(jìn)行整體建模，模型四肢的長(zhǎng)度和寬度分別為120 mm 和45 mm，兩臂交界處的曲率半徑為45 mm。預(yù)制裂紋總長(zhǎng)2a為8 mm，十字形試件整體板厚為5.7 mm，中部板厚削減為3.2 mm，以保證最大面積的均勻應(yīng)變區(qū)域。從試件中心處制備了4 mm 長(zhǎng)的預(yù)制裂紋，位于水平和垂直臂的45°處，十字形試件具體幾何尺寸見(jiàn)圖1。

圖1 十字型試件幾何形狀及尺寸Fig.1 Geometric shape and size of cross-shaped specimen

結(jié)合疲勞裂紋特點(diǎn)采用四節(jié)點(diǎn)縮減積分單元（CPS4R）劃分網(wǎng)格，縮減積分單元有助于提高計(jì)算效率，且在裂紋尖端網(wǎng)格存在扭曲變形時(shí)，分析精度不會(huì)受到明顯的影響。有限元計(jì)算模型如圖2 所示。對(duì)疲勞裂紋尖端局部區(qū)域進(jìn)行單元細(xì)化，裂紋尖端區(qū)域細(xì)化過(guò)程中對(duì)沿著裂紋擴(kuò)展路徑的區(qū)域選擇最小的單元，尺寸統(tǒng)一為0.05 mm×0.05 mm，裂紋尖端細(xì)化區(qū)域與裂紋外圍采用過(guò)渡網(wǎng)格，一共兩層。裂紋擴(kuò)展區(qū)的細(xì)化程度直接影響了疲勞裂紋尖端應(yīng)力應(yīng)變場(chǎng)的有限元分析精度，同時(shí)也更有利于運(yùn)用節(jié)點(diǎn)釋放技術(shù)模擬疲勞裂紋的擴(kuò)展。另外，為了更好地與單軸進(jìn)行對(duì)比分析，本文還進(jìn)行單軸數(shù)值模擬。

圖2 裂紋板有限元模型及裂紋擴(kuò)展區(qū)域局部細(xì)化單元Fig.2 Finite element model of cracked plate and local refinement element of crack propagation area

有限元模型中選取造船行業(yè)中常見(jiàn)的Q235 鋼，其材料參數(shù)見(jiàn)表1。材料本構(gòu)模型選用Chaboche非線性強(qiáng)化準(zhǔn)則，其相應(yīng)模型系數(shù)見(jiàn)表2。

表1 Q235鋼材料參數(shù)Tab.1 Material parameters of Q235 steel

表2 Q235鋼Chacoche聯(lián)合模型系數(shù)[12]Tab.2 Chacoche joint model coefficients of Q235 steel[12]

2.1 裂紋尖端應(yīng)力應(yīng)變場(chǎng)

為了研究裂紋尖端應(yīng)力應(yīng)變行為，在頻率為0.25 Hz的多軸低周疲勞載荷下的前30個(gè)循環(huán)的靠近裂紋尖端高斯積分點(diǎn)的多軸應(yīng)力比λ=0、1.0，應(yīng)力比分別為R=0.1,0.2,0.3 的應(yīng)力應(yīng)變遲滯回線如圖3和圖5所示；靠近裂紋尖端的高斯積分點(diǎn)位于極坐標(biāo)系中靠近裂紋尖端(r=3.8 μm,θ=45°)。

圖3～4 給出在多軸應(yīng)力比λ=0 即單軸應(yīng)力且不同應(yīng)力狀態(tài)下裂紋尖端應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系曲線。從圖3～4中可看出，裂紋尖端應(yīng)力應(yīng)變場(chǎng)表現(xiàn)出明顯的累積遞增塑性變形現(xiàn)象。在不同應(yīng)力比而相同最大應(yīng)力σmax的單軸低周疲勞載荷作用下，裂紋尖端處的累積塑性應(yīng)變隨循環(huán)周次的增加而逐漸增加，且應(yīng)力比越大，其累積塑性應(yīng)變也相對(duì)較大，但是隨著循環(huán)周次的逐漸增加，疲勞裂紋尖端處的累積遞增塑性應(yīng)變率由開(kāi)始階段的快速降低變?yōu)橹饾u趨于穩(wěn)定，表明應(yīng)力比對(duì)船體裂紋板的累積遞增塑性應(yīng)變的影響較為明顯。

圖3 單軸應(yīng)力狀態(tài)下（λ=0）不同應(yīng)力比下裂紋板應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系曲線Fig.3 Stress-strain relationship of cracked plate under different stress ratios under uniaxial stress state (λ=0)

圖4 單軸應(yīng)力狀態(tài)下（λ=0）不同應(yīng)力比下裂紋板累積塑性應(yīng)變率變化關(guān)系曲線Fig.4 Relationship of cumulative plastic strain rate of cracked plate under uniaxial stress state(λ=0)with different stress ratios

圖5～6 給出在多軸應(yīng)力比λ=1 即多軸應(yīng)力狀態(tài)下不同應(yīng)力比下裂紋尖端應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系曲線。從圖5中可看出，裂紋尖端x軸、y軸兩個(gè)方向上應(yīng)力應(yīng)變場(chǎng)表現(xiàn)出與單軸狀態(tài)下相似的累積遞增塑性變形現(xiàn)象，而且裂紋尖端x軸、y軸兩個(gè)方向上的累積塑性應(yīng)變隨循環(huán)周次的增加而逐漸增加，且應(yīng)力比越大，其累積塑性應(yīng)變率也相對(duì)較大。

圖5 二軸應(yīng)力狀態(tài)下（λ=0.3）不同應(yīng)力比下裂紋板應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系曲線Fig.5 Stress-strain relationship of cracked plate under biaxial stress state (λ=0.3)with different stress ratios

圖6 二軸低周疲勞載荷下X軸Y軸向裂紋板應(yīng)力應(yīng)變遲滯環(huán)曲線Fig.6 Stress-strain hysteresis loop curve of X-axis and Y-axial for cracked plate under the different biaxial low-cycle fatigue loadings

這些結(jié)果表明：當(dāng)裂紋尖端附近的應(yīng)力/應(yīng)變幅保持不變而相應(yīng)改變外載荷幅時(shí)，裂紋尖端附近累積塑性應(yīng)變逐漸增加并且與相應(yīng)的循環(huán)載荷應(yīng)力比及最大外載荷值相關(guān)。裂紋尖端的這種逐漸增加的累積塑性應(yīng)變可能最終引起結(jié)構(gòu)材料在裂紋尖端附近區(qū)域的分離并導(dǎo)致裂紋的擴(kuò)展，這種現(xiàn)象在Kapoor 等[21]發(fā)表的文章中可以得到解釋；裂紋尖端的這種總累積塑性應(yīng)變達(dá)到臨界值時(shí)就會(huì)引起裂紋尖端的累積塑性破壞，這個(gè)臨界值由靜載荷引起的結(jié)構(gòu)材料失效應(yīng)變確定。

綜上所示，我們可以得出在單軸（λ=0）、多軸（λ≠0）低周載荷下裂紋尖端附近存在明顯的累積遞增塑性變形，并最終引起裂紋尖端擴(kuò)展路徑上材料的分離以及裂紋尖端向前擴(kuò)展移動(dòng)。Zheng等[22]基于裂紋尖端累積塑性耗散能密度分析低周疲勞裂紋擴(kuò)展也得出相似的結(jié)論。相比外載荷應(yīng)力比，裂紋尖端局部應(yīng)力比對(duì)裂紋尖端累積塑性變形影響更顯著，在分析疲勞裂紋擴(kuò)展時(shí)應(yīng)予以考慮。

2.2 裂紋尖端殘余應(yīng)力場(chǎng)

在不同二軸比及應(yīng)力比的最小載荷作用下，距裂紋尖端不同位置處節(jié)點(diǎn)法向殘余應(yīng)力分布如圖7所示。

圖7 不同載荷條件下裂紋擴(kuò)展方向上殘余應(yīng)力分布Fig.7 Residual stress distribution along crack propagation direction under different loading conditions

從圖7 可知，在循環(huán)載荷中的最小載荷下，裂紋尖端附近殘余應(yīng)力出現(xiàn)了明顯的應(yīng)力集中現(xiàn)象，在裂紋尖端位置處應(yīng)力達(dá)到最大，過(guò)大的應(yīng)力會(huì)在裂紋尖端產(chǎn)生塑性屈服而變形，從而引起裂紋尖端逐漸分離而向前移動(dòng)擴(kuò)展。在裂紋尖端隨著距離的增大，應(yīng)力逐漸降低，而且在裂紋前方多軸應(yīng)力比越大，相應(yīng)的應(yīng)力也越大，表明平行裂紋載荷增強(qiáng)了裂紋尖端前緣應(yīng)力場(chǎng)，從而加速二軸低周疲勞裂紋擴(kuò)展速率，Tchankov等[23]的研究也得出了相同的結(jié)論。

為了將雙軸應(yīng)力問(wèn)題轉(zhuǎn)換為等效的單軸應(yīng)力問(wèn)題，根據(jù)文獻(xiàn)[24]中方程（2）得到在不同二軸比(λ=σx/σy)、應(yīng)力比R下各等效單軸應(yīng)力變化歷程，即可顯示二軸低周疲勞載荷下裂紋板在一條裂紋線上施加的等效單軸應(yīng)力分布范圍，如圖8所示。

由圖8（a）～（b）可知，在不同雙軸應(yīng)力比和應(yīng)力幅情況下，無(wú)裂紋條件應(yīng)力隨時(shí)間呈正弦函數(shù)變化趨勢(shì)，即隨雙軸加載同相位差變化而變化，且當(dāng)雙軸應(yīng)力比越大時(shí)，其沿裂紋線方向無(wú)裂紋應(yīng)力逐漸減小，因?yàn)榱鸭y垂直方向上施加的應(yīng)力范圍對(duì)低周疲勞裂紋擴(kuò)展的影響可以被雙軸加載同相位差效應(yīng)抵消，而在不同應(yīng)力幅情況下，其變化曲線依舊隨應(yīng)力幅增大而增大。

由圖8（c）可看出，通過(guò)Takahashi 等[24]的研究得到的雙軸加載情況下沿裂紋線方向的等效單軸應(yīng)力范圍隨平均應(yīng)力依次增大。此外，還發(fā)現(xiàn)各平均應(yīng)力條件下的等效x軸應(yīng)力與外載荷變化趨勢(shì)基本一致。因此，可以認(rèn)為圖7中所示的變化是由沿著裂紋線方向的應(yīng)力所導(dǎo)致的，在這種不同平均應(yīng)力情況下，等效單軸應(yīng)力大于原雙軸加載應(yīng)力條件，并產(chǎn)生疲勞裂紋擴(kuò)展的加速效應(yīng)。

圖8 不同二軸低周疲勞載荷下沿裂紋線方向的等效應(yīng)力變化歷程Fig.8 Equivalent stress change history along the crack line under different biaxial low-cycle fatigue loads

2.3 裂紋尖端塑性區(qū)半徑

在二軸低周疲勞拉拉載荷下，拉伸加載階段疲勞裂紋面將張開(kāi)并將引起裂紋的擴(kuò)展，卸載階段將引起裂紋的閉合，并且這個(gè)階段疲勞裂紋的擴(kuò)展受發(fā)生在裂紋尖端局部區(qū)域的累積塑性變形的影響非常顯著，裂紋尖端局部塑性區(qū)域的大小是合理評(píng)估低周疲勞裂紋擴(kuò)展的基礎(chǔ)。在相應(yīng)載荷情況下，通過(guò)有限元計(jì)算獲得裂紋尖端塑性區(qū)半徑應(yīng)力應(yīng)變?cè)茍D如圖9所示，相應(yīng)的塑性區(qū)大小如圖10所示。

圖9 二軸低周疲勞載荷下裂紋尖端塑性區(qū)半徑云圖Fig.9 Plastic zone radius diagram at the crack tip under biaxial low-cycle fatigue loading

圖10 不同二軸低周疲勞載荷下裂紋尖端塑性區(qū)變化Fig.10 Changes of the plastic zone radius at crack tip under different biaxial low-cycle fatigue loads

由圖10（a）～（b）可知，在其它載荷因素相同而二軸應(yīng)力比、應(yīng)力比不同作用下，塑性區(qū)半徑大小隨二軸比（λ=σx/σy）和應(yīng)力比R增加而增大，表明二軸低周疲勞載荷中平行裂紋載荷促進(jìn)了裂紋尖端應(yīng)力增強(qiáng)，且促進(jìn)了裂紋尖端塑性區(qū)半徑的增大。Gotoh 等[10]通過(guò)研究也得出了類似的結(jié)論，認(rèn)為二軸疲勞載荷下裂紋尖端最大塑性區(qū)域和最小塑性區(qū)域的大小，隨二軸加載的應(yīng)力比變化而變化。從圖10（c）可看出，隨著平均應(yīng)力的增大，最大和最小塑性區(qū)域都逐漸增大。最大塑性區(qū)域和最小塑性區(qū)域的大小，受雙軸加載的應(yīng)力比的影響而變化。結(jié)果證實(shí)，各加載條件下的塑性區(qū)大小與疲勞裂紋擴(kuò)展行為是一致的[10]。

2.4 應(yīng)變強(qiáng)度因子及J積分

為了進(jìn)一步厘清裂紋板二軸低周疲勞裂紋擴(kuò)展斷裂行為，本文通過(guò)理論分析和有限元數(shù)值模擬分別分析了不同二軸比（λ=σx/σy）、應(yīng)力比R和平均應(yīng)力的二軸低周疲勞載荷下十字型裂紋板試件的應(yīng)變強(qiáng)度因子Kε及J積分變化關(guān)系曲線，計(jì)算結(jié)果如圖11～12所示。

圖11（a）～（b）中，二軸低周疲勞載荷下裂紋板在其它因素相同的情況下，應(yīng)變強(qiáng)度因子Kε隨二軸比（λ=σx/σy）、應(yīng)力比R增加而增大，而且隨著裂紋的不斷擴(kuò)展、裂紋長(zhǎng)度的增大，應(yīng)變強(qiáng)度因子Kε增加的幅值也越大。與單軸載荷狀態(tài)相比，二軸各應(yīng)力狀態(tài)下裂紋板應(yīng)變強(qiáng)度因子Kε均增加。圖11（c）表明，在二軸比λ=1 的雙軸疲勞加載下，即垂直方向和水平方向的疲勞載荷相等且同相，裂紋板應(yīng)變強(qiáng)度值隨平均應(yīng)力增加而增大；此時(shí)，J積分與裂紋長(zhǎng)度在平均應(yīng)力增加時(shí)，逐漸增大。

圖11 不同二軸低周疲勞載荷下裂紋尖端應(yīng)變強(qiáng)度因子ΔKε變化曲線Fig.11 Variation of crack tip strain intensity factor ΔKε under different biaxial low-cycle fatigue loads

從圖12可看出，在二軸低周疲勞載荷下，裂紋板J積分變化關(guān)系曲線與對(duì)應(yīng)應(yīng)變強(qiáng)度因子Kε變化類似，隨二軸比(λ=σx/σy)、應(yīng)力比R增加而增大，而且隨著裂紋的不斷擴(kuò)展、裂紋長(zhǎng)度的增大，應(yīng)力強(qiáng)度因子K增加的幅值也越大。這一計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)[25～26]的研究結(jié)果一致，說(shuō)明二軸比(λ=σx/σy)和應(yīng)力比R等對(duì)二軸低周疲勞裂紋擴(kuò)展影響較大。

圖12 不同二軸低周疲勞載荷下裂紋尖端J積分變化曲線Fig.12 The variation curve of crack tip J-integral under different biaxial low-cycle fatigue loads

3 結(jié) 論

本文通過(guò)理論分析和數(shù)值模擬，研究了裂紋板在不同二軸比(λ=σx/σy)、應(yīng)力比R和平均應(yīng)力的二軸低周疲勞載荷下累積塑性變形和斷裂性能，并得到了如下結(jié)論：

（1）在單軸（λ=0）、多軸（λ≠0）低周載荷下，裂紋尖端附近存在明顯的累積遞增塑性變形，并最終引起裂紋尖端擴(kuò)展路徑上材料的分離以及裂紋尖端向前擴(kuò)展移動(dòng)。累積塑性應(yīng)變隨循環(huán)周次的增加而逐漸增加，且應(yīng)力比越大，其累積塑性應(yīng)變率也相對(duì)較大。

（2）研究表明，平均應(yīng)力與應(yīng)力幅對(duì)應(yīng)變強(qiáng)度因子和J積分-裂紋長(zhǎng)度關(guān)系曲線影響十分明顯；當(dāng)平均應(yīng)力及應(yīng)力幅增大時(shí)，裂紋長(zhǎng)度及應(yīng)變強(qiáng)度因子和J積分的值也相應(yīng)地增加；當(dāng)平均應(yīng)力保持不變時(shí)，低周疲勞下的應(yīng)變強(qiáng)度因子和J積分隨雙軸應(yīng)力比的增加也逐漸增大。

（3）在循環(huán)載荷中的最小載荷下，裂紋尖端附近殘余應(yīng)力出現(xiàn)了明顯的應(yīng)力集中現(xiàn)象，在裂紋尖端位置處應(yīng)力達(dá)到最大，過(guò)大的應(yīng)力會(huì)在裂紋尖端產(chǎn)生塑性屈服而變形，從而引起裂紋尖端逐漸分離而向前移動(dòng)擴(kuò)展。

（4）在其它載荷因素相同而二軸應(yīng)力比、應(yīng)力比不同作用下，塑性區(qū)半徑大小隨二軸比(λ=σx/σy)、應(yīng)力比R增加而增大，表明二軸低周疲勞載荷中平行裂紋載荷促進(jìn)了裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度增強(qiáng)，且促進(jìn)了裂紋尖端塑性區(qū)半徑的增大。