■文/方 婷
數(shù)學家克萊因指出:“數(shù)學不是依靠在邏輯上,而是依靠在正確的直觀上,數(shù)學的直觀就是對概念、證明的直接把握?!痹谛W數(shù)學教學中,教師應借助幾何直觀,為學生創(chuàng)造自主思考、體驗和感受數(shù)學發(fā)現(xiàn)的過程,培養(yǎng)學生理解數(shù)概念的能力。幾何直觀是指利用圖形描述和分析數(shù)學問題,主要有兩層含義:一是對直觀圖形賦予代數(shù)意義,即用數(shù)代形;二是對抽象的數(shù)學問題賦予直觀圖形的意義,即以形助數(shù)。本文探討了教師如何借助幾何直觀培養(yǎng)學生理解數(shù)概念的能力,以期增強學生理解算理的能力和解決問題的能力。
數(shù)感是學生理解數(shù)、理解抽象和具象之間關系的能力?!读x務教育數(shù)學課程標準(2022版)》指出,建立數(shù)感有助于理解數(shù)的意義和數(shù)量關系。數(shù)的認識和計算在小學數(shù)學教學中占了很大的比重,雖然不少學生在幼兒階段已經(jīng)學會數(shù)數(shù),會進行簡單的計算,但大多數(shù)學生并未形成良好的數(shù)感。小學階段的數(shù)學知識,如整數(shù)、分數(shù)、小數(shù)和負數(shù)等的認識需要運用大量的直觀圖形作為支撐,如數(shù)軸、點子圖、長方形等數(shù)學圖形,這些直觀的“形”在幫助學生認識數(shù)、比較數(shù)的大小等方面發(fā)揮了巨大的作用。
例如,在教學“小數(shù)的初步認識”時,教師從生活中的1角出發(fā),讓學生思考1角可以怎樣表示。有的學生認為可以用10分表示,還有的學生認為可以用0.1元表示。接著,教師提問:“如果下面圖形(見圖1)都表示1元,你會選擇在哪個圖來表示0.1元?”大部分學生選擇了第三個圖形,并涂滿了一個格子,以表示0.1元。教師追問:“為什么大家都選擇第3幅圖呢?”讓學生明白了將格子平均分成10份,每一份就是0.1元。教師借助圖形直觀揭示一位小數(shù)的本質屬性,讓學生對一位小數(shù)與十分之幾分數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系有了充分的理解,幫助學生構建了對小數(shù)的認知,為后續(xù)的數(shù)學學習打好了基礎。
圖1
算理是計算的原理和依據(jù),解決的是“為什么這樣算”的問題;算法是計算的程序和方法,解決的是“怎樣算”的問題。教師進行計算教學的重點是讓學生理解算理,掌握算法,使運算學習從技能習得向思維發(fā)展轉變。
康德認為:“人類的一切知識都是從直觀開始,從那里進到概念,而以理念結束?!崩斫馑憷?、掌握算法是運算教學的目標之一,算理是內(nèi)隱的、抽象的。小學生的思維以形象思維為主,他們難以理解抽象的算理。對此,教師可借助點子圖、長方形圖等直觀圖形,幫助學生理解算理、掌握算法。
例如,在蘇教版六年級上冊“分數(shù)乘分數(shù)”這節(jié)課中,教師可借助折紙涂色活動讓學生掌握的計算方法。具體來說,活動可以分三個步驟展開。首先,教師要讓學生明確分數(shù)乘分數(shù)的意義,既要考慮分數(shù)乘法的意義,也要考慮分數(shù)的意義。根據(jù)分數(shù)乘法的意義,教師要讓學生明確表示是多少;根據(jù)分數(shù)的意義,教師要讓學生明白表示把正方形紙平均分成2份,取其中的1份;表示把紙平均分成4份,取其中的1份。其次,觀察感知,直觀表示。在明晰意義的基礎上,教師可讓學生先將正方形紙對折,取其中的一半涂色,然后將涂色的一半對折再對折,平均分成四份,取出其中的一份涂色。最后,借助直觀,解釋算理。教師可讓學生根據(jù)折紙過程(見圖2),說一說算理。學生通過交流能夠明白:把半張紙平均分成4份,取其中的1份,相當于把一張紙平均分成了8份,取其中的1份,所以用2×4的積作為分母,1×1的積作為分子。
圖2
在計算教學中,由于思考方式不同,同一算式往往會出現(xiàn)不同的計算方法。教師應重視創(chuàng)造機會,讓學生觀察不同算法之間的相同之處,幫助學生在對比聯(lián)系中理解算理。
例如,在北師大版三下“兩位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算”中,教材設計了三個層次,第一層次是嘗試用豎式計算14×12;第二層次是結合點子圖解釋豎式每一步的含義;第三層次是計算三道兩位數(shù)乘兩位數(shù)的題目,總結豎式乘法的計算方法。其中,第二層次最為重要,要求學生能夠分別指出豎式的兩個計算步驟所對應的點子圖(見圖3),直觀理解豎式筆算的算理。如果把兩種算法進行聯(lián)系,讓學生觀察其相同之處,學生就會發(fā)現(xiàn),這些方法看著不一樣,其實本質上都是一樣的,每一種方法都需要把這兩個兩位數(shù)中的每一位上的數(shù)進行相乘,然后把乘得的結果相加。這種發(fā)現(xiàn)可以幫助學生掌握兩位數(shù)乘兩位數(shù)不同算法之間的相通之處,促進學生對方法的深度思考,從而使學生對算理的理解更加深入。
圖3
解決數(shù)學實際問題的關鍵在于正確分析數(shù)量之間的關系,如果學生找不到數(shù)量關系,就難以解決實際問題。在實際教學過程中,部分學生在解決實際問題時無從下手,不能根據(jù)文字表達和分析數(shù)量關系。對此,教師應在教學過程中,培養(yǎng)學生畫圖、用圖的能力。
在解決數(shù)學問題時,部分學生無從下手,這可能是因為學生讀題時沒有理解題意,不能快速地找到數(shù)量關系。由此可見,培養(yǎng)學生的閱讀能力非常重要。教師應指導學生學會畫直觀圖,將文字語言轉化為圖形語言,將抽象的文字變?yōu)榘氤橄蟮膱D形,讓學生更容易理解題意。
比如,在教學六上“解決問題的策略”時,習題題目為:“張寧和王曉星一共有畫片108張。張寧給王曉星18張后,兩人畫片的張數(shù)同樣多。兩人原來各有多少張?”學生讀完這道題,面露難色,不知該如何思考。教師提問:“你能嘗試著畫線段圖來表示這道題目的意思嗎?”學生運用已有經(jīng)驗畫出了線段圖,如圖4所示。
圖4
展示學生的圖畫后,教師追問:“對于三個同學畫的線段圖,你有什么想說的嗎?”并鼓勵學生討論交流,讓學生在交流討論中明確第一幅圖已知條件和問題沒有標,第二幅圖兩人畫片的數(shù)量關系混淆。在討論交流結束后,教師讓學生結合完善后的線段圖表達題目的意思。在這個教學過程中,教師圍繞學生畫圖的“半成品”資源,引領學生交流、分析,將“半成品”加工成完整的線段圖,再讓學生通過語言將線段圖轉換成文字表達,使抽象的問題“可視化”,化難為易、化隱為顯,從而幫助學生理解題意、分析數(shù)量關系。
《義務教育數(shù)學課程標準(2022版)》強調培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問題的能力。在教學中,教師要善于培養(yǎng)學生畫直觀圖表達問題的能力,增強學生根據(jù)直觀圖分析數(shù)量關系的能力,以幫助學生找到解決問題的關鍵。
比如,在前面的數(shù)學習題中,如果學生已經(jīng)完善好線段圖(見圖5),教師就可以讓學生借助線段圖分析數(shù)量關系,尋求解決辦法。
圖5
在這一教學中,學生借助線段圖,能夠直觀看出“張寧畫片的張數(shù)比王曉星多36張”這一隱含條件,從而想到三種不同的解題方法。由此可見,學生借助直觀圖,可以明確解題思路,找到題目中的隱含條件,這有助于提高學生分析問題、解決問題的效率,促進學生分析和解決問題能力的提高。
《義務教育數(shù)學課程標準(2022版)》提出:“幾何直觀有助于把握問題的本質,明晰思維的路徑?!被诖?,教師不僅要讓學生學會運用幾何直觀分析問題、解決問題,還要讓學生深刻認識幾何直觀運用的重要作用。在教學中,教師可通過對比、溝通,讓學生加深認識,養(yǎng)成運用直觀圖的習慣。
在教學環(huán)節(jié)中,教師可讓學生對比文字和線段圖進行交流。例如,在某次教學結束后,教師詢問學生:“請大家回顧剛才的解題過程,你有哪些體會和收獲呢?”有的學生回答:“剛開始我不會解決,但是通過畫線段圖,能夠很輕松地解決?!庇械膶W生回答:“線段圖可以幫助我們找到解決問題的方法?!庇械膶W生回答:“我們今后在遇到不會解決的問題的時候,可以嘗試畫線段圖,尋求解決思路?!薄瓘膶W生的答案中可以感受到,畫圖、用圖的方法已經(jīng)在他們的心中扎下了根,他們能夠在之后的數(shù)學學習中運用圖形解決問題。
總之,幾何直觀具有雙重性,它既是一種思維形式,也是一種解決問題的重要方式。教師借助幾何直觀,可以使抽象的問題形象化、具體化,化繁為簡、化難為易,幫助學生更好地理解和記憶數(shù)學概念;可以將計算中的思維路徑以圖形的手段表現(xiàn)出來,幫助學生理解算理,促進算理與算法的融合;可以把復雜的數(shù)學問題變得簡單,有助于學生探索解決問題的思路,推算問題的結果。