◎?qū)O京京 （揚(yáng)州大學(xué)，江蘇 揚(yáng)州 225000）

數(shù)學(xué)教材是根據(jù)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)編制的教學(xué)用書，直接影響學(xué)生的認(rèn)知過(guò)程，國(guó)際教材的比較研究為我們的教材編寫提供了國(guó)際視野，同時(shí)給一線教師的教學(xué)實(shí)踐提供了理論和技術(shù)上的幫助和指導(dǎo).運(yùn)算律作為貫串學(xué)生整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的運(yùn)算法則，是一種具有普遍意義的數(shù)學(xué)定律.在小學(xué)階段，從自然數(shù)到小數(shù)、分?jǐn)?shù)，運(yùn)算律體現(xiàn)為一種“通則通法”，由此看來(lái)，整數(shù)運(yùn)算律學(xué)習(xí)帶有筑基性質(zhì).

基于此，本文選用時(shí)下中美兩國(guó)使用較廣泛的兩種教材：國(guó)內(nèi)江蘇鳳凰教育出版社2014年出版的《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》（以下簡(jiǎn)稱“蘇教版”）和美國(guó)加州Macmillan McGraw-Hill 2008年出版的《California Mathematics 》（以下簡(jiǎn)稱“加州版”），以“乘法分配律”這一課程內(nèi)容作為研究對(duì)象進(jìn)行比較，以為小學(xué)數(shù)學(xué)教材的編寫及教學(xué)實(shí)踐提供一些啟示.

一、研究設(shè)計(jì)

本研究主要采用內(nèi)容分析法和比較法，對(duì)運(yùn)算律的導(dǎo)入和表征方式進(jìn)行定性分析，對(duì)問(wèn)題的類型進(jìn)行定量比較.本研究中的“問(wèn)題”指教材中出現(xiàn)的例題和習(xí)題，下面將對(duì)各比較維度進(jìn)行簡(jiǎn)要說(shuō)明.

（一）導(dǎo)入方式

乘法分配律的導(dǎo)入方式指教材通過(guò)呈現(xiàn)怎樣的探索性素材，設(shè)置哪些思考問(wèn)題，如何引導(dǎo)學(xué)生探索規(guī)律.

（二）表征方式

本研究中“表征”指數(shù)學(xué)概念或關(guān)系的客觀呈現(xiàn)形式，即外在表征.結(jié)合前人研究，將表征方式分為言語(yǔ)表征與視覺(jué)表征兩類，言語(yǔ)表征——運(yùn)用言語(yǔ)對(duì)知識(shí)點(diǎn)的特征或?qū)傩赃M(jìn)行抽象描述，例如，文字表征、口語(yǔ)描述、符號(hào)表征等；視覺(jué)表征——用圖示對(duì)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行直觀呈現(xiàn)，例如，實(shí)物模型、圖形、圖表等.

（三）問(wèn)題類型

在定量分析前，我們首先對(duì)兩版教材的問(wèn)題進(jìn)行編碼統(tǒng)計(jì).考慮到下文問(wèn)題類型比較時(shí)對(duì)各類型題量的統(tǒng)計(jì)，兩版教材統(tǒng)一以小題計(jì)數(shù).問(wèn)題類型指問(wèn)題在應(yīng)用知識(shí)時(shí)的具體變化類型，結(jié)合一線教師的研究成果，現(xiàn)將兩版教材的問(wèn)題分為“乘法分配律的變式題”和“其他問(wèn)題”兩大類，其中，“乘法分配律的變式題”根據(jù)運(yùn)算律的運(yùn)用情況又可細(xì)分為順展型、逆拼型、應(yīng)用拓展型、拆分型以及多種運(yùn)算律綜合應(yīng)用型.

二、比較分析

根據(jù)上文所設(shè)計(jì)的比較框架，我們對(duì)兩版教材進(jìn)行了定性分析和定量比較.

（一）運(yùn)算律的導(dǎo)入

1.蘇教版創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，加州版貼近“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”

蘇教版通過(guò)創(chuàng)設(shè)與生活緊密相關(guān)的問(wèn)題情境導(dǎo)入新知，不僅讓學(xué)生感受到規(guī)律無(wú)處不在，也鍛煉了學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.隨著數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的深入，學(xué)生所積累的數(shù)學(xué)知識(shí)和方法就成了學(xué)生的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”，也是學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)的素材，加州版脫離了現(xiàn)實(shí)的情境，與先前學(xué)習(xí)的知識(shí)相聯(lián)系，讓學(xué)生在利用已有數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的過(guò)程中動(dòng)手、動(dòng)腦，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)規(guī)律，更加關(guān)注數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累，注重知識(shí)間的聯(lián)系，有利于學(xué)生構(gòu)建完整的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu).

2.蘇教版比加州版更加注重對(duì)乘法分配律內(nèi)在合理性的理解

蘇教版的導(dǎo)入過(guò)程采用了“不完全歸納法”，強(qiáng)調(diào)學(xué)生的親身經(jīng)歷、自主探索，教材中設(shè)置的問(wèn)題環(huán)環(huán)相扣，邏輯聯(lián)系緊密，按照合情推理的一般步驟，學(xué)生在足夠多的例子中發(fā)現(xiàn)、猜想、歸納規(guī)律，初步感悟數(shù)學(xué)歸納的思想和方法，培養(yǎng)推理能力.加州版教材則是將重點(diǎn)放在理解乘法分配律的成立原因上，將數(shù)學(xué)圖形貫串整個(gè)導(dǎo)入過(guò)程，利用幾何模型幫助學(xué)生理解算理，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想方法.

（二）運(yùn)算律的表征方式

蘇教版乘法分配律采用了文字表征和符號(hào)表征，滲透代數(shù)思想，為五年級(jí)學(xué)習(xí)代數(shù)知識(shí)做鋪墊.加州版在“KEYCONCEPT（主要概念）”模塊同樣選取了這兩種方式，同時(shí)列舉了數(shù)字實(shí)例與之對(duì)應(yīng)，降低了學(xué)生的理解難度.比較可得：蘇教版對(duì)運(yùn)算律的表述局限于兩個(gè)數(shù)的和與一個(gè)數(shù)相乘，加州版的表述對(duì)象范圍更廣（要將總和乘以一個(gè)數(shù)，請(qǐng)將總和的每個(gè)加數(shù)乘以括號(hào)外的數(shù)字），可以拓展至若干個(gè)數(shù)的和與一個(gè)數(shù)相乘，更能體現(xiàn)加州版對(duì)知識(shí)點(diǎn)的命名“分配律”.

值得一提的是，加州版十分重視圖形表征在乘法分配律教學(xué)中的應(yīng)用，“Hands-OnMiniLab（mini 動(dòng)手實(shí)驗(yàn)室）”欄目利用矩形面積模型來(lái)探索規(guī)律，之后更讓學(xué)生嘗試畫出給定體現(xiàn)乘法分配律等式的模型，將數(shù)學(xué)運(yùn)算與直觀圖形結(jié)合，幫助學(xué)生在頭腦中形成直觀的算法模型，體現(xiàn)了幾何直觀思想在計(jì)算教學(xué)中的應(yīng)用.

（三）問(wèn)題類型

現(xiàn)將兩版教材的問(wèn)題類型整理如表1所示.

表1 蘇教版和加州版乘法分配律的問(wèn)題類型統(tǒng)計(jì)

由表1可知，蘇教版和加州版教材中的問(wèn)題都以乘法分配律的變式題為主，均占到了90%左右，下面對(duì)兩版教材的問(wèn)題類型進(jìn)行詳細(xì)分析.

1.蘇教版提供了更多類型的乘法分配律的變式題

蘇教版對(duì)乘法分配律的運(yùn)用主要是最基礎(chǔ)的“順展型”（27.1%）和“逆拼型”（31.3%），加州版“順展型”也占有一定比例（30%）.順展型指乘法分配律的標(biāo)準(zhǔn)形式，形如(a＋b)×c＝a×c＋b×c，逆拼型，即逆向拼合，指乘法分配律的逆向應(yīng)用，形如a×c＋b×c＝(a＋b)×c，這兩種類型是應(yīng)用乘法分配律時(shí)最基礎(chǔ)的形式，在學(xué)習(xí)之初，“原型”因其標(biāo)準(zhǔn)性和典型性，可以充分揭示規(guī)則本質(zhì)，以此幫助學(xué)生恰當(dāng)?shù)亟⒁?guī)則正確、典型的“表象”.

隨著學(xué)習(xí)的深入，“原型”也會(huì)阻礙學(xué)生數(shù)學(xué)規(guī)則的運(yùn)用，容易使其形成定式、僵化的認(rèn)識(shí)，蘇教版教材設(shè)計(jì)了“應(yīng)用拓展型”——將乘法分配律的應(yīng)用范圍進(jìn)行拓展至多個(gè)數(shù)與一個(gè)數(shù)相乘、乘法對(duì)減法的分配律以及代數(shù)范圍的應(yīng)用；“拆分型”——將題目中的一個(gè)數(shù)據(jù)拆分成兩個(gè)數(shù)據(jù)，之后再應(yīng)用乘法分配律，根據(jù)不同的拆分方法又可以分為“加法拆分型”“減法拆分型”和“乘法拆分型”；“綜合運(yùn)用多種運(yùn)算律”——運(yùn)用兩種及以上的運(yùn)算律進(jìn)行計(jì)算等八種乘法分配律的變式類型，為學(xué)生提供多樣化的簡(jiǎn)便計(jì)算策略，形成必要的計(jì)算技能.加州版教材以“加法拆分型”為主（42.5%），教材設(shè)置了一定數(shù)量的題目來(lái)鍛煉學(xué)生的數(shù)據(jù)拆分能力，同時(shí)重視應(yīng)用乘法分配律直接口算出答案，但是所呈現(xiàn)的簡(jiǎn)便計(jì)算方法過(guò)于單一.多樣化的變式一方面可以培養(yǎng)學(xué)生的類比遷移能力，讓學(xué)生大膽猜想并檢驗(yàn)求證；另一方面，變式建立在學(xué)生對(duì)乘法分配律內(nèi)涵有深入理解的基礎(chǔ)之上，能夠突出運(yùn)算律的本質(zhì)特征，幫助學(xué)生更準(zhǔn)確、更深刻地理解乘法分配律.

2.加州版注重聯(lián)系代數(shù)知識(shí)

蘇教版和加州版教材在乘法分配律的應(yīng)用拓展上有著較大的差別.對(duì)于這部分的教學(xué)，蘇教版將其安排在整數(shù)四則運(yùn)算學(xué)習(xí)后，使得現(xiàn)階段乘法分配律的適用對(duì)象局限于整數(shù)；加州版則是將其安排在代數(shù)內(nèi)容的基礎(chǔ)上，將其應(yīng)用推廣到代數(shù)中.筆者認(rèn)為，加州版的內(nèi)容編排順序有它的優(yōu)點(diǎn)所在，教師在第一次正式教學(xué)乘法分配律時(shí)，讓學(xué)生體會(huì)到這一運(yùn)算律運(yùn)用范圍之廣泛.但現(xiàn)行小學(xué)數(shù)學(xué)課程中運(yùn)算律內(nèi)容的安排是否合理，教學(xué)程度的把握是否適當(dāng)，需要有國(guó)際視野和我國(guó)基礎(chǔ)教育實(shí)踐的進(jìn)一步檢驗(yàn).

三、啟 示

通過(guò)對(duì)蘇教版和加州版教材的對(duì)比，筆者對(duì)乘法分配律課程內(nèi)容的教材編寫和小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐得到以下幾點(diǎn)啟示：

（一）溝通已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，貼近學(xué)生“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”

對(duì)于新知的學(xué)習(xí)需要有與此知識(shí)相關(guān)聯(lián)的信息的支撐，而不能獨(dú)立進(jìn)行與其他知識(shí)無(wú)關(guān)聯(lián)的學(xué)習(xí)，否則，知識(shí)點(diǎn)的掌握不會(huì)牢固和有意義.當(dāng)下教師過(guò)多強(qiáng)調(diào)“創(chuàng)造情境”，有時(shí)甚至忽略了知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，造成了情境的“泛濫”.運(yùn)算律教學(xué)與運(yùn)算的定義密不可分，在正式學(xué)習(xí)乘法分配律之前，學(xué)生已經(jīng)多次接觸到了這一運(yùn)算律，積累了比較豐富的感性認(rèn)識(shí).在運(yùn)算律的導(dǎo)入素材的選擇上，筆者建議教材在構(gòu)造現(xiàn)實(shí)情境前，借鑒加州版教材，充分聯(lián)系學(xué)生的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”，如長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)公式、多位數(shù)的乘法豎式計(jì)算等，上述知識(shí)本質(zhì)上都采用了乘法分配律，如此一來(lái)，不僅能夠喚起學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生感受到規(guī)律的存在，更能揭示數(shù)學(xué)知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，有利于學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)體系的構(gòu)建.

（二）多樣變式應(yīng)用，重視內(nèi)涵理解

學(xué)生對(duì)規(guī)則的深層次理解與例題的引導(dǎo)和規(guī)則多樣化的變式應(yīng)用關(guān)系密切，這一點(diǎn)兩版教材都給予了很好的啟示.教師在短時(shí)間內(nèi)將焦點(diǎn)僅僅置于乘法分配律規(guī)則的獲得上，有兩種危險(xiǎn)：第一，沒(méi)有幫助學(xué)生思考關(guān)于運(yùn)算律的意義，即為何這個(gè)規(guī)則會(huì)成立；第二，這種規(guī)則的獲得將很快就會(huì)失去，不同的運(yùn)算律規(guī)則將變得相似和混淆.因此，相關(guān)人員在教材編寫以及教學(xué)實(shí)踐中需要重視學(xué)生對(duì)規(guī)則的理解.筆者建議借鑒加州版教材，首先讓學(xué)生嘗試用自己的方式來(lái)解釋說(shuō)明乘法分配律成立的原因，發(fā)揮其主體能動(dòng)性；教材在學(xué)生充分思考的基礎(chǔ)上加以引導(dǎo)，從結(jié)合現(xiàn)實(shí)背景體會(huì)乘法分配律的合理性，到借助幾何圖形理解算理，再到聯(lián)系乘法的意義，層層推進(jìn)，從生活實(shí)際逐漸抽象到數(shù)學(xué)知識(shí)，實(shí)現(xiàn)乘法分配律的有意義構(gòu)建，為學(xué)生今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)以及數(shù)學(xué)邏輯思維的形成打下良好的基礎(chǔ).

瑞典教育家Marton 提出的變異理論表明：認(rèn)識(shí)的發(fā)生需要在同一時(shí)間審辨和注意事物的相關(guān)屬性，而如果沒(méi)有經(jīng)驗(yàn)，這些不同維度屬性的變異是不可能審辨出相關(guān)屬性的，同時(shí)強(qiáng)調(diào)了變異理論的遷移觀，由此可見(jiàn)，規(guī)則學(xué)習(xí)時(shí)的“原型”和“變式”不可分離，“原型”可以揭示本質(zhì)特征，“變式”應(yīng)用可以加深對(duì)規(guī)則內(nèi)涵的理解，兩種形式相互作用，共同促進(jìn)規(guī)則的學(xué)習(xí)與運(yùn)用.因此，教材應(yīng)該關(guān)注乘法分配律的變式應(yīng)用，加深學(xué)生對(duì)其內(nèi)涵本質(zhì)的理解.

（三）關(guān)注圖形語(yǔ)言，呈現(xiàn)多種表征

“一個(gè)重要的數(shù)學(xué)思想不可能在單一的表征系統(tǒng)中獲得充分和透徹的理解”，多元外在表征能夠提供學(xué)習(xí)者互補(bǔ)的信息和支持互補(bǔ)的過(guò)程，具體的表征幫助解釋較為抽象的表征，幫助學(xué)習(xí)者從多元具體形式中抽象知識(shí)或問(wèn)題的內(nèi)在結(jié)構(gòu)，提供不同表征間的相互聯(lián)系、溝通與作用，聯(lián)結(jié)不同表征成為網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，建構(gòu)深度理解.筆者建議教材將圖形表征貫串所有運(yùn)算律的教學(xué)之中，并將其與文字、符號(hào)等多種表征方式相互溝通轉(zhuǎn)化，對(duì)于相對(duì)簡(jiǎn)單的加法交換律、加法結(jié)合律，學(xué)生十分容易聯(lián)想到畫線段組圖來(lái)表示；當(dāng)學(xué)習(xí)乘法運(yùn)算律時(shí)，學(xué)生在類比遷移的過(guò)程中形成認(rèn)知沖突，進(jìn)而表征方式實(shí)現(xiàn)從一維的線（線段組圖）到二維的面（長(zhǎng)方形面積）的轉(zhuǎn)變.學(xué)生不僅能夠借助直觀幾何實(shí)現(xiàn)算法與算理的深層溝通，加深對(duì)乘法分配律內(nèi)涵的理解，同時(shí)學(xué)習(xí)運(yùn)用類比遷移的策略解決新問(wèn)題.