周群益

(廣州理工學(xué)院通識(shí)教育學(xué)院 廣東 廣州 510540)

莫云飛

(長(zhǎng)沙學(xué)院電子信息與電氣工程學(xué)院 湖南 長(zhǎng)沙 410022)

周麗麗

(贛南醫(yī)學(xué)院信息工程學(xué)院 江西 贛州 341000)

侯兆陽(yáng)

(長(zhǎng)安大學(xué)理學(xué)院 陜西 西安 710064)

1 引言

文獻(xiàn)[1]用MATLAB輔助電動(dòng)力學(xué)教學(xué)做了有益的探索．將導(dǎo)體球放在勻強(qiáng)電場(chǎng)中，利用電磁場(chǎng)的邊值關(guān)系，用二維彩色圖片和色棒說(shuō)明電場(chǎng)強(qiáng)度的分量和合場(chǎng)強(qiáng)的分布規(guī)律．不過(guò)，文獻(xiàn)[1]中并沒有介紹場(chǎng)強(qiáng)的數(shù)學(xué)模型，彩色圖片變成黑白圖片后并不鮮明．有一些教師已經(jīng)在電磁學(xué)和電動(dòng)力學(xué)的教學(xué)和研究中應(yīng)用MATLAB[2,3]，取得了顯著的成績(jī)．這些文獻(xiàn)并沒有計(jì)算和繪圖程序．文獻(xiàn)[3]采用三維等高線表示電勢(shì)，用曲面表示場(chǎng)強(qiáng)大小，用電場(chǎng)線和等勢(shì)線表示電場(chǎng)，用動(dòng)畫演示電磁波傳播的過(guò)程和電偶極子發(fā)射電磁波的過(guò)程．這些都是常用的方法，在筆者10年前出版的著作中就已經(jīng)廣泛采用了[4]．許多電場(chǎng)問(wèn)題都可以表示為直角坐標(biāo)系中的二元函數(shù)，將公式無(wú)量綱化，即可用MATLAB的surf指令或mesh指令畫曲面，用二維和三維等高線指令contour和contour3畫等勢(shì)線，用流線指令streamline畫電場(chǎng)線[5～7]．

本文以導(dǎo)體球放在勻強(qiáng)電場(chǎng)中形成的電場(chǎng)為例，根據(jù)電動(dòng)力學(xué)理論建立數(shù)學(xué)模型，將公式無(wú)量綱化，用柱坐標(biāo)系中的曲面表示場(chǎng)強(qiáng)的分量，用直角坐標(biāo)系的曲面表示電勢(shì)，用等高線指令畫電場(chǎng)線和等勢(shì)線，顯示電場(chǎng)和電勢(shì)的分布規(guī)律．文本附加的程序說(shuō)明了實(shí)現(xiàn)方法和指令，程序設(shè)計(jì)的技巧很有啟示作用．

2 勻強(qiáng)電場(chǎng)中放置導(dǎo)體球后的電場(chǎng)

在真空中有一勻強(qiáng)電場(chǎng)E0，放置一個(gè)半徑為a的導(dǎo)體球，圖1所示為未發(fā)生靜電感應(yīng)時(shí)的狀態(tài)，靜電感應(yīng)之前，電場(chǎng)線穿過(guò)導(dǎo)體球．由于靜電感應(yīng)，導(dǎo)體球的左右兩邊會(huì)產(chǎn)生感應(yīng)電荷，使球內(nèi)的場(chǎng)強(qiáng)為零，球外的電場(chǎng)會(huì)發(fā)生形變．由于電場(chǎng)具有軸對(duì)稱性，取球心為原點(diǎn)O，取E0方向?yàn)闃O軸的方向建立極坐標(biāo)系，并建立直角坐標(biāo)系．

圖1 單獨(dú)的勻強(qiáng)電場(chǎng)和導(dǎo)體球的截面圖

導(dǎo)體球內(nèi)部的場(chǎng)強(qiáng)為零，球心電勢(shì)取為零．球外沒有自由電荷，電勢(shì)滿足拉普拉斯方程，其通解為[8]

(1)

U→-E0ρP(cosθ) = -E0ρcosθ

(2)

所以

a1= -E0an= 0 (n≠ 1)

(3)

在ρ=a的表面上有U= 0，所以

所以

b1= -a1a3=a3E0bn= 0 (n≠ 1)

(4)

球外的電勢(shì)為

(5)

其中，第一項(xiàng)是外電場(chǎng)產(chǎn)生的電勢(shì)，第二項(xiàng)是感應(yīng)電荷產(chǎn)生的電勢(shì)，等效于一個(gè)電偶極子產(chǎn)生的電勢(shì)．由于x=ρcosθ，y=ρsinθ，所以電勢(shì)可用直角坐標(biāo)表示

(6)

其中，極徑ρ是x和y的二元函數(shù)

(7)

當(dāng)U取常數(shù)時(shí)，式(5)和(6)就是等勢(shì)線方程．當(dāng)式(5)和(6)不取第一項(xiàng)時(shí)，可得

(8)

當(dāng)Up取常數(shù)時(shí)，上式就是感應(yīng)電荷電場(chǎng)的等勢(shì)線方程．

場(chǎng)強(qiáng)在直角坐標(biāo)系中兩個(gè)分量分別為

(9)

(10)

當(dāng)y= 0時(shí)，可得軸線上的場(chǎng)強(qiáng)

(11)

當(dāng)x= 0時(shí)，可得中垂線上的場(chǎng)強(qiáng)

(12)

合場(chǎng)強(qiáng)大小為

(13)

其方向與x軸正向夾角為

(14)

場(chǎng)強(qiáng)在極坐標(biāo)系中的兩個(gè)分量分別為

(15)

(16)

由于電場(chǎng)線的切線方向與場(chǎng)強(qiáng)的方向相同，二者的斜率相同，故可在極坐系中建立電場(chǎng)線的微分方程

(17)

分離變量得

即

積分可得

電場(chǎng)線在極坐標(biāo)系中的隱函數(shù)方程為

(18)

其中c=eC．由于y=ρsinθ，所以電場(chǎng)線在直角坐標(biāo)系中的隱函數(shù)方程為

(19)

(20)

3 公式的無(wú)量綱化

取a為坐標(biāo)單位，E0為場(chǎng)強(qiáng)單位，則無(wú)量綱的場(chǎng)強(qiáng)分量分別為

(9*)

(10*)

(7*)

無(wú)量綱的合場(chǎng)強(qiáng)和方向分別為

(13*)

取U0=E0a為電勢(shì)單位，則無(wú)量綱的電勢(shì)為

(6*)

當(dāng)電勢(shì)U*為常數(shù)時(shí)，上式就是等勢(shì)線方程．電場(chǎng)線的隱函數(shù)方程為

(19*)

常數(shù)由電場(chǎng)線的坐標(biāo)決定．同理可以將感應(yīng)電荷的等勢(shì)線方程和電場(chǎng)線方程無(wú)量綱化．

4 電場(chǎng)的可視化

根據(jù)無(wú)量綱公式，利用MATLAB的指令即可設(shè)計(jì)程序，繪制電場(chǎng)強(qiáng)度的曲面以及電場(chǎng)線和等勢(shì)線[4],程序見附錄．當(dāng)導(dǎo)體球放置在勻強(qiáng)電場(chǎng)中時(shí)，由于導(dǎo)體球的截面是圓，所以在柱坐標(biāo)系中畫電場(chǎng)強(qiáng)度的曲面比較理想，可以避免直角坐標(biāo)系中的曲面在分界面上出現(xiàn)參差不齊的現(xiàn)象．應(yīng)用等高線指令contour畫等勢(shì)線是一種常用的方法，用同一指令畫電場(chǎng)線的方法則十分巧妙．

如圖2所示，當(dāng)導(dǎo)體球放到勻強(qiáng)電場(chǎng)中時(shí)，球內(nèi)場(chǎng)強(qiáng)的x分量Ex為零，分界面上的Ex發(fā)生了躍變，球外場(chǎng)強(qiáng)分量Ex隨著極角θ的增加而波浪形的變化，在上下外表面(0,±a±)處Ex最小，最小為零；在左右外表面(±a±,0)處Ex最大，最大為3E0；在距離ρ很大處，Ex→E0．圖2的俯視圖是一個(gè)彩色的圓面，網(wǎng)格線是圓和射線，極大值及其附近的顏色比較紅，極小值及其附近(包括圓內(nèi)部分)的顏色比較藍(lán)．

圖2 導(dǎo)體球在勻強(qiáng)電場(chǎng)中場(chǎng)強(qiáng)的x分量

圖3 導(dǎo)體球在勻強(qiáng)電場(chǎng)中場(chǎng)強(qiáng)的y分量

如圖4所示，合場(chǎng)強(qiáng)E的曲面與Ex的曲面類似，這是因?yàn)镋x是場(chǎng)強(qiáng)的主要部分．

圖4 導(dǎo)體球在勻強(qiáng)電場(chǎng)中的合場(chǎng)強(qiáng)

圖5 導(dǎo)體球在勻強(qiáng)電場(chǎng)中合場(chǎng)強(qiáng)的方向

如圖6所示，勻強(qiáng)電場(chǎng)的等勢(shì)線本來(lái)是分布在一個(gè)與x軸有一定夾角的斜面上的平行線，放入導(dǎo)體球之后，該斜面變成帶水平圓面的曲面，水平圓面表示導(dǎo)體是零勢(shì)面，三維等勢(shì)線分布在曲面上．除了U= 0的直線與圓面相交外，圓面附近的三維等勢(shì)線都繞過(guò)了圓面；距離越遠(yuǎn)，等勢(shì)線越直．

如圖7所示，勻強(qiáng)電場(chǎng)中的導(dǎo)體球在右表面出現(xiàn)正電荷，在左表面出現(xiàn)負(fù)電荷，感應(yīng)電荷在導(dǎo)體內(nèi)產(chǎn)生勻強(qiáng)電場(chǎng)，與外電場(chǎng)抵消后使導(dǎo)體球內(nèi)部的場(chǎng)強(qiáng)為零，導(dǎo)體球變成一個(gè)等勢(shì)體．電場(chǎng)線從左邊無(wú)窮遠(yuǎn)處發(fā)出，終止于導(dǎo)體球左表面上的負(fù)電荷；電場(chǎng)線從導(dǎo)體球右表面的正電荷發(fā)出，終止于右邊的無(wú)窮遠(yuǎn)處．等勢(shì)線是圖6中三維等勢(shì)線在Oxy平面上的投影，電場(chǎng)線與等勢(shì)線正交．電場(chǎng)線和等勢(shì)線在導(dǎo)體球上下外表面附近比較稀疏，說(shuō)明這些地方的場(chǎng)強(qiáng)比較??；在導(dǎo)體球左右外表面附近比較密集，說(shuō)明這些地方的場(chǎng)強(qiáng)比較大．

圖6 導(dǎo)體球在勻強(qiáng)電場(chǎng)中的電勢(shì)

圖7 導(dǎo)體球在勻強(qiáng)電場(chǎng)中的電場(chǎng)線和等勢(shì)線

如圖8所示，如果不考慮外電場(chǎng)，感應(yīng)電荷在導(dǎo)體內(nèi)產(chǎn)生勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)線的方向從右邊指向左邊；感應(yīng)電荷在導(dǎo)體外的電場(chǎng)線從正電荷出發(fā)，終止于負(fù)電荷．感應(yīng)電荷的電場(chǎng)與外電場(chǎng)E0疊加，其電場(chǎng)線和等勢(shì)線如圖7所示．

圖8 導(dǎo)體球感應(yīng)電荷的電場(chǎng)線和等勢(shì)線

5 結(jié)束語(yǔ)

為了研究電場(chǎng)，根據(jù)物理定律建立數(shù)學(xué)模型是十分必要的．為了畫圖，通常需要將表達(dá)式無(wú)量綱化．場(chǎng)強(qiáng)曲面既可以在直角坐標(biāo)系中繪制，也可以在柱坐標(biāo)系中繪制，由具體問(wèn)題決定．電場(chǎng)線一般用流線指令繪制，許多電場(chǎng)問(wèn)題都可以推導(dǎo)出電場(chǎng)線的隱函數(shù)方程，用等高線指令畫電場(chǎng)線是一種十分巧妙的方法．如果勻強(qiáng)電場(chǎng)中放置的不是球形導(dǎo)體，而是球形電介質(zhì)，其電場(chǎng)也可以用完全相同的方法研究并繪制圖形．曲面、等勢(shì)線和電場(chǎng)線以及動(dòng)畫是描述電場(chǎng)的3種基本方法．

我們10年前出版了MATLAB與大學(xué)物理學(xué)相結(jié)合的教材，共有300多個(gè)各類程序，其中有40多個(gè)電磁學(xué)程序，相信對(duì)于讀者具有一定的參考價(jià)值．如果有更多的高校師生將MATLAB與電磁學(xué)和電動(dòng)力學(xué)結(jié)合起來(lái)，探索教學(xué)規(guī)律，將會(huì)進(jìn)一步提高研究和教學(xué)水平．