吳 韜， 莫時旭,b， 向勇斌， 鄒澤群， 鄭 艷,b

(桂林理工大學 a. 土木與建筑工程學院； b. 廣西巖土力學與工程重點實驗室，廣西 桂林 541004)

隨著鋼材加工性能的改善，輕型化、薄壁化的鋼結構設計在工程中有著越來越廣泛的應用，薄板鋼結構帶來的穩(wěn)定性問題越來越受到重視.部分充填混凝土-窄幅鋼箱連續(xù)組合梁中支座處的下箱室由于充填了混凝土，底板和腹板的局部抗屈能力較大提高.但是要使其達到結構實際使用的要求，還需要進一步研究合理的截面尺寸，建立該種條件下薄板實用的局部屈曲強度計算公式.

近年來國內外學者從不同方向出發(fā)，提出對薄板屈曲問題的多種研究方法.文獻[1-6]分別運用不同方法研究了各種邊界條件矩形薄板在不同條件下的屈曲問題.

薄板屈曲的一大主流研究方法是能量法.能量法主要包括Galerkin法(伽遼金法)和Rayleigh-Ritz法(瑞利-里茲法)等.根據屈曲模態(tài)的不同，矩形薄板的屈曲理論又可分為兩類.一類是雙向屈曲問題.Timoshenko等[7]利用里茲法研究了在周邊不同邊界條件下受面內不同作用力的矩形薄板彈性屈曲理論模型.Qiao等[8-9]根據屈曲模態(tài)提出多種撓曲面函數，研究了四邊受均布壓力四邊彈性轉動約束矩形板的屈曲和受剪切荷載兩對邊簡支兩對邊彈性轉動約束矩形板的臨界屈曲荷載.陳沐宇等[10]采用里茲法推導了彈性轉動約束的鋼混組合梁腹板在彎曲、剪切荷載單獨作用下的臨界屈曲應力.另一類是單向屈曲問題.Wright[11]研究了鋼管約束混凝土的局部屈曲問題.毛佳等[12]運用里茲能量法獲得彈性支承上非加載邊彈性轉動約束均勻受壓矩形板的臨界荷載計算公式.鄭艷等[13-14]研究了剛性基底上非加載邊彈性轉動約束受面內線性壓力作用下的矩形板局部屈曲問題.

國內外學者對基于剛性基底上彈性轉動約束邊界受面內復雜荷載作用矩形薄板的屈曲問題研究尚少，對于復雜邊界條件下的屈曲問題多依賴試驗和有限元數值分析[15-16]，這對于參數分析有較大局限性.獲得具有剛性基底和彈性轉動約束邊界薄板的屈曲系數解析解，研究相關的理論公式仍極具意義.因此本文運用Rayleigh-Ritz法探究了在剛性基底上彈性轉動約束邊界薄板在四邊受壓、受剪的屈曲模式，分別獲得臨界屈曲系數的理論計算公式，依據相關規(guī)范中穩(wěn)定相關性公式確定組合應力下的屈曲方程，并采用殼單元和彈簧單元建立相關有限元模型驗證本文理論計算的適用性及正確性.還對不同轉動約束剛度下的臨界屈曲系數進行了參數分析.

1 剛性基底上彈性轉動約束邊界矩形 薄板屈曲分析

使用靜力法求解板的屈曲問題，確定板的撓曲面函數必須歸諸于板在相應荷載下的彎曲平衡微分方程在相應邊界條件下的積分：

(1)

式中：w=w(x,y)為板的撓曲面函數；D為板的單寬抗彎剛度；Nx、Ny和Nxy為板中面沿x、y方向的壓力荷載和xOy面內的剪力荷載;E、ν為板的彈性模量及泊松比；t為板厚.作為高階偏微分方程，其求解是困難的.Rayleigh-Ritz法作為應用勢能駐值原理求解穩(wěn)定問題的一種近似方法，采用具有廣義坐標的位移函數近似地代替真實位移曲面方程，也即將泛函變分問題轉化為求解函數極值問題，將求解偏微分方程變?yōu)榍蠼獯鷶捣匠虂硖幚?

1.1 剛性基底上彈性轉動約束矩形板線性荷載壓 屈分析

1.1.1計算模型以及撓曲面函數的選取 先考慮受壓屈曲的情形.為了滿足彈性轉動約束的邊界條件，撓曲面函數的選取必須滿足一定條件.圖1所示為剛性基底上雙邊彈性轉動約束矩形板受壓屈曲模型，圖中γ為長寬比.通過選取帶參數的多項式函數來模擬在y方向上的彈性轉動邊界[9]，選取一般三角級數來模擬在x方向上的固支邊界和單向屈曲模態(tài)，則剛性支承上彈性轉動約束邊界矩形板壓屈時面外位移函數的形式為

(2)

(3)

(4)

式中：m、n分別為x、y方向的屈曲半波數；am為廣義坐標；a為板長；參數N為需根據板非加載邊的邊界條件方程個數確定.在式(3)中，為了構造彈性邊界的特征函數，考慮冪級數[12]：

(5)

將式(5)代入式(3)，將式(3)、(4)代入式(2)，即可寫出彈性轉動約束受壓矩形板的撓曲面函數為

(6)

式中：b為板寬.

圖1 剛性基底上雙邊彈性轉動約束矩形板受壓屈曲模型Fig.1 Local compressive buckling mode of rectangular plate with rotationally restrained sides on rigid base

如圖1(a)所示，矩形薄板的厚度為t；作用在剛性基底上，加載邊y=0、y=b的彈性轉動剛度分別為kb、kt.為分析方便，可以假設薄板的上下邊界均布兩種剛度的彈簧.

如圖1(b)所示，N0和Nb為y=0和y=b處的壓力荷載，簡支邊x=0、x=a受面內荷載Nx作用，彈性轉動約束邊y=0、y=b受荷載Ny作用，沿作用邊線性分布，單位板寬的荷載表達式為

Nx=σxt

(7)

Ny=μNx

(8)

(9)

式中：μ為縱橫荷載比；σ0為y=0處的壓應力值；λ=(σ0-σb)/σ0為荷載梯度.

顯然該位移函數滿足邊界x=0、x=a面外位移為0和轉角為0的邊界條件.根據邊界y=0、y=b受彈性轉動約束的邊界條件，面外位移為0且板邊彎矩與約束力矩相等，即滿足：

(10)

(11)

(12)

根據彈性轉動邊界的邊界條件方程個數，式(6)中N可取為4，則式(6)可改寫為

(13)

式中：待定系數a0～a4是由邊界條件式(10)～(12)確定.

將式(13)代入式(10)～(12)，求出待定系數a0～a4：

a0=0

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

式中：χb、χt為引入的無量綱剛度系數.

則撓曲面函數可表示為

(19)

式中：廣義坐標bm=a1am；ai(i=2, 3, 4)的值由式(14)～(17)給出.

1.1.2壓屈板各部分能量及其變分 板產生彈性屈曲變形的彎曲應變能：

(20)

上下邊界受彈性轉動約束的勢能：

(21)

面內線性壓力荷載所作的功：

(22)

對彎曲應變能求一階變分為

(23)

邊界彈性約束勢能的一階變分為

(24)

對壓力做功求一階變分：

(25)

根據最小勢能原理有：

δΠ=δUe+δUΓ-δWN=0

(26)

式中：Π=Ue+UΓ-WN，為板產生屈曲變形時的總勢能.于是

(27)

將求解泛函變分問題轉化為求解關于bm的特征值問題，由式(27)可得關于bm的線性方程.為了使廣義坐標bm存在非零解，則其系數矩陣的行列式必須為0.由此可求得矩形板在線性壓力作用下發(fā)生屈曲的臨界荷載Nx，其表達式可整理為

(28)

對于單位厚度的線性荷載：

(29)

式中：κ為受壓屈曲系數.

1.1.3壓屈板臨界屈曲系數的解析解 將式(19)代入式(23)～(27)，可得到剛性基底上彈性轉動約束邊界矩形板受四邊線性壓力荷載時的屈曲系數解析解為

(30)

A1=η1+η2+η3

A2=η4+η5+η6

A3=η7+η8+η9

A4=η10+η11+η12

A5=η13+η14+η15

式中：長寬比γ=a/b；η1～η15為剛度系數χb、χt的函數；η10～η15還包含荷載梯度λ.

η11=18χb[18(52-31λ)+105(2-λ)χt+

η12=162[204(2-λ)+2(52-21λ)χt+

η14=2χb[12(95-51λ)+136(2-λ)χt+

η15=2[2 232(2-λ)+12(95-44λ)χt+

由此可見，屈曲系數κ是半波數m、剛度系數χb、χt、長寬比γ、荷載梯度λ和縱橫荷載比μ的函數.

取λ=0，由式(30)可得，對于每一屈曲半波m=1, 2, …, 可繪制出κ與γ的關系曲線，如圖2所示.

圖2 κ與γ的關系曲線(λ=0, χb=χt=0)Fig.2 κ versus γ(λ=0, χb=χt=0)

(1) 當μ=0即Ny=0時，κ-γ曲線如圖2(a)所示，可見每一支曲線先減再增，最低點處為臨界屈曲系數.

各屈曲半波數m和γ相關，若表示半波m=p-1 與m=p兩支曲線相交，則令：

κ|m→p-1=κ|m→p

(31)

式中：p-1表示前一半波數.式(31)為曲線交點(γp-1, p,κp-1, p)所滿足.代入式(30)，可得：

(32)

p(γ)=γ-1(p)=

(33)

m=[p(γ)]

(34)

式(34)表示對p(γ)取整.

(2) 當μ>0即四邊均受壓時，κ-γ曲線的形態(tài)出現(xiàn)較大差異，如圖2(b)所示.在特定條件下曲線的每一支單調遞減，最終收斂于某一值，即臨界屈曲系數.探索縱橫荷載比μ對于κ-γ曲線單調性的影響，令?κ/?γ=0，代入式(30)得：

(35)

μ(γ)是單支κ-γ曲線的下界，若要使每一支κ-γ曲線單調，γ將趨于無窮大，即

(36)

當給定荷載梯度λ和剛度系數χb、χt時，式(36)給出每一支κ-γ曲線滿足單調遞減的縱橫荷載比最小值.以λ=0、χt=10、χb=0為例，代入式(36)得μmin=0.845，即當縱橫荷載比μ大于0.845時，屈曲系數κ始終隨著薄板長寬比γ的增大而減小，并收斂于臨界值κcr.

1.1.4壓屈板臨界屈曲系數參數分析 設當κ取得最小值κcr時，縱橫比為γcr.令?κ/?γ=0，代入式(30)得：

(37)

式(37)也可通過式(35)的反算推出.

將式(37)代入式(30)，得臨界屈曲系數：

(38)

進一步得臨界屈曲荷載：

(1)γcr與χb、χt的關系.

由式(37)可得m=1時，γcr隨χt、χb變化的關系曲線，如圖3所示.μ=0，對于χb=0，χt=0, 5, 10, 50, 100時，γcr分別為1.519，1.350，1.302，1.237，1.226.由此可見，相同屈曲半波數時，γcr隨著χb、χt的增大而減小.χt一定時，γcr隨著χb的增大而減小.χt增大時，γcr-lgχb曲線整體下降，且γcr的變化幅度減緩.由于彈性轉動邊界的剛度系數χb、χt具有對稱性，γcr-lgχt曲線隨χb的變化規(guī)律與圖3完全一致.

(2)κcr與χb、χt的關系.

由式(38)可得λ=0,χb=χt時，曲線κcr-lgχb隨縱橫荷載比μ變化的關系，如圖4(a)所示.縱橫荷載比越大，臨界屈曲系數越??；縱橫荷載比為負值時，Ny表現(xiàn)為拉力，因此臨界屈曲系數大幅提升.

當μ=0,χb=χt時，曲線κcr-lgχb隨荷載梯度λ變化的關系如圖4(b)所示.荷載梯度越大，矩形板受拉區(qū)越大，臨界屈曲荷載越大，相應的屈曲越難發(fā)生.

同樣，當λ=0,μ=0時，曲線κcr-lgχb隨單邊彈性剛度系數的χt變化如圖4(c)所示.隨著χt的增大，κcr-lgχb曲線整體上升，但κcr的變化幅度減緩，可見板彈性轉動邊界剛度的提高對板抗屈能力的提升是有限的.

對χb取常用對數，可看出每條κcr-lgχb曲線都有上、下兩條漸近線，分別代表矩形板彈性轉動約束邊界退化為固支和簡支時的臨界屈曲系數κcr.

圖3 γcr與χb、χt的關系Fig.3 γcr versus χb and χt

圖4 κcr與lg χb的關系Fig.4 κcr versus lg χb

1.2 剛性基底上彈性轉動約束邊界矩形板純剪屈曲分析

1.2.1計算模型以及撓曲面函數的選取 剛性基底彈性轉動約束矩形板受剪屈曲的計算模型如圖5所示.

圖5 剛性基底雙邊彈性轉動約束受剪薄板屈曲模型Fig.5 Buckling mode of rectangular plate under shear with rotationally restrained sides on rigid base

與受壓屈曲相似，矩形板受剪屈曲時的撓曲面函數滿足式(2)，由分別滿足x和y方向的邊界條件函數耦合而成.x方向的特征函數仍選用式(4)，為構造y方向彈性邊界的特征函數，考慮選用關于待定權重系數w1的三角函數一次組合：

(39)

(40)

(41)

但是受剪屈曲時由于傾斜角的存在，如圖6所示，假設板的變形是線性，且滿足小變形假設，則圖示的理想傾斜節(jié)線的坐標近似滿足以下關系：

(42)

(43)

式中：α為節(jié)線與y軸的傾斜角.

圖6 受剪薄板屈曲變形示意圖Fig.6 Buckling deformation diagram of plate under shear

為簡化模型，將兩彈性轉動邊界的剛度均取為ky，將式(39)～(43)代入式(2)，可寫出剛性基底上彈性轉動約束受剪矩形板屈曲時的撓曲面函數為

(44)

w1由板的邊界條件方程式(10)～(12)確定：

(45)

1.2.2剪屈板各部分能量及其變分 剛性基底矩形板受剪屈曲時各部分能量與壓屈板屈曲時各部能量基本一致.

將式(21)修改為

(46)

將式(22)修改為

(47)

同樣可求得矩形板在剪切荷載作用下發(fā)生屈曲的臨界荷載Nxy，其表達式同樣可整理為

(48)

式中：κ2為受剪屈曲系數.

1.2.3剪屈板臨界屈曲系數的解析解 為后續(xù)參數化研究，引入無量綱剛度系數：

將式(44)代入式(26)～(27)，可得到剛性基底上彈性轉動約束邊界矩形板受剪切荷載時的屈曲系數解析解為

(49)

式中：ξ1～ξ4為屈曲半波數n和剛度系數χ2的函數.

由此可見，屈曲系數κ是半波數m，n、剛度系數χ2、長寬比γ和節(jié)線傾斜角α的函數.

圖7 受剪薄板κ與γ關系曲線Fig.7 κ versus γ of plate under shear

同樣，當n=1時，由式(49)可知，對于每一屈曲半波m=1, 2, …,可繪制出κ與γ的關系曲線，如圖7所示.若表示半波m=p-1與m=p兩支曲線相交，令：

κ2|m→p-1=κ2|m→p

(50)

代入式(49)，可得：

(51)

p(γ)=γ-1(p)=

(52)

m=[p(γ)]

(53)

1.2.4剪屈板臨界屈曲系數參數分析 設當κ2取最小值κ2cr時，長寬比為γcr，傾斜角為αcr.考慮到必有一組(γcr,αcr)使得Nxy取得最小值(Nxy)cr，令：

(54)

代入式(49)得：

γcr=

其中：

將γcr的表達式代入式(49)，得臨界屈曲系數：

κ2cr=

(55)

(1)γcr與χ2的關系.

由式(55)可得m=1, 2, …時，臨界長寬比γcr隨剛度系數χ2變化的關系曲線，如圖8所示.隨著屈曲半波數的增加，γcr均勻遞增；對于同一屈曲半波數，γcr隨著彈性轉動剛度的增大而遞減.在m=1,χ2=0時，γcr約為1.91.

(2)αcr與χ2的關系.

由γcr的表達式可得臨界傾斜角αcr隨剛度系數χ2變化的關系曲線，如圖9所示.臨界傾斜角隨χ2的增大而遞增，在χ2=0, 100時，存在上下漸近線，αcr約為0.76和0.82.

(3)κ2cr與χ2的關系.

由式(55)可得臨界屈曲系數κ2cr-lgχ2的關系曲線，如圖10所示.κ2cr隨彈性轉動約束剛度系數χ2的增大而增大，可以看出κ2cr-lgχ2曲線同樣存在上、下兩條漸近線，分別代表矩形板彈性轉動約束邊界退化為固支和簡支時的狀態(tài).

圖8 γcr與χ2的關系Fig.8 γcr versus χ2

圖9 αcr與χ2的關系Fig.9 αcr versus χ2

圖10 κ2cr與χ2的關系Fig.10 κ2cr versus χ2

2 剛性基底上彈性轉動約束邊界矩形 薄板復合應力下屈曲分析

復合應力指的是矩形薄板面內同時作用有彎曲應力和切應力，這種情況更符合工程實際，如鋼箱-混凝土組合梁受橫力彎曲時，腹板上同時存在彎矩和切應力.鋼-混組合剪力墻承受剪力的同時承受豎向荷載，故只研究矩形板在單一應力下的單側屈曲行為是不夠的.理論上找到符合復合應力下的屈曲模態(tài)的撓曲面位移函數比較困難，故求解復合應力下的穩(wěn)定問題也較不容易，因此一般是以穩(wěn)定相關性驗算公式來判斷屈曲問題.

2.1 復合應力下矩形板屈曲計算相關性公式

為了使復合應力下的計算公式簡便且適用于工程上的驗算，采用以下兩個經驗公式比較分析.

(1) 《鋼結構穩(wěn)定設計指南》[17]提出的在非均受壓、剪切組合作用下腹板局部穩(wěn)定性計算公式：

(56)

(2) Bijlaard[18]提出的偏心受壓、剪切聯(lián)合作用的屈曲計算公式：

(57)

式中：τcr、σcr分別為在純剪、純彎狀態(tài)下的臨界屈曲應力；τ、σ分別為復合應力狀態(tài)下的剪切、彎曲應力.

2.2 矩形板彈性轉動約束剛度計算公式

利用式(56)驗算實際工程中板的屈曲，需要確定板的臨界屈曲應力，而臨界屈曲應力取決于板的臨界屈曲系數，它又是彈性轉動約束剛度系數的函數，因此在得到彈性轉動約束剛度后，才可確定臨界屈曲應力.以充填混凝土-鋼箱連續(xù)組合梁的腹板為例，利用文獻[14]，將約束鋼板的寬度折減一半，以考慮內填混凝土對約束轉動剛度的提高，得到鋼板非加載邊彈性轉動約束系數的近似計算公式：

(58)

(59)

(60)

2.3 半充填式鋼箱-混凝土組合試驗梁負彎矩區(qū)腹 板屈曲分析

試驗的主要目的是研究組合梁鋼箱腹板的局部屈曲的行為，將試驗實測的屈曲臨界荷載與理論計算數據進行比較，驗證理論公式的正確性.

2.3.1試驗梁的設計 試驗梁整體尺寸設計：試驗梁縱長 4 400 mm，翼板寬 1 000 mm，厚120 mm，采用混凝土強度等級為C40，如圖11所示.

鋼箱梁高為300 mm，頂板、底板的寬度均為180 mm，頂板、底板厚度均為10 mm，腹板的厚度為 4 mm，高度為280 mm.在端部支座區(qū)設置橫向加勁肋，鋼梁采用Q235級鋼板焊接而成.鋼箱全長半充填混凝土高度為138 mm，強度等級為C40，試驗梁橫截面如圖12所示.

圖11 鋼-混組合試驗梁立體圖(mm)Fig.11 Diagram of steel-concrete composite test beam (mm)

圖12 試驗梁橫截面圖(mm)Fig.12 Cross section of test beam (mm)

2.3.2加載方案與測點布置 半充填式鋼箱-混凝土組合試驗梁采用反向加載方式來模擬負彎矩區(qū)受力狀態(tài).將千斤頂置于地面，千斤頂壓力通過置于上面的壓力傳感器來測量，產生的推力由分配梁通過一個活動支座和一個固定支座，分成兩對稱集中力分別作用于試驗梁下翼緣的鋼箱底板，兩作用點間距為 1 400 mm.在試驗梁混凝土翼板中軸線上距梁端200 mm處布置同樣一活動支座和一固定支座，通過反力架提供反力.試驗梁的計算跨徑為 4 000 mm.如圖13所示.

鋼箱腹板表面布置的應變片如圖14所示.在跨中兩加載點之間的純彎段(1.4 m)內設3個應變測量斷面，用來測量負彎矩區(qū)的彎曲正應變.在靠近邊支座處的東側鋼箱腹板表面設置3個斷面粘貼應變花，用來測量剪應變.

圖13 試驗梁加載圖(mm)Fig.13 Loading diagram of test beam (mm)

圖14 翼板和鋼箱腹板應變片布置圖(mm)Fig.14 Strain gauges for flange plate and steel box web (mm)

2.3.3試驗結果分析 在兩點試驗的加載值F=570 kN 時，鋼箱負彎矩區(qū)支座腹板處發(fā)生板件局部屈曲，如圖15所示.

圖15 負彎矩區(qū)鋼箱腹板局部屈曲失穩(wěn)Fig.15 Buckling of web in negative moment region

假設鋼箱腹板上的切應力均勻分布，梁截面滿足平截面假定，則試驗梁加載點處負彎矩區(qū)鋼箱腹板屈曲時計算簡圖如圖16所示.板長為屈曲范圍400 mm，板寬為腹板高度280 mm.

圖16 負彎矩區(qū)腹板受復合應力屈曲計算簡圖Fig.16 Calculation diagram of box web buckling under combined stress in negative moment region

鋼箱負彎矩區(qū)支座處腹板應變片數值如表1所示.根據平截面假設，截面鋼箱腹板應變隨梁高總體呈線性關系，可計算出腹板下緣即10 mm處正應變ε為 -1 132.36×10-6，腹板上緣即280 mm處正應變ε為 -319.06×10-6.

同樣，在橫力彎曲段靠近端支座處鋼箱腹板表面設置3組應變花，由測量的應變數據可得屈曲時切應變γ為 -1 547.82×10-6.則試驗梁鋼箱腹板發(fā)生屈曲時實際應力為

表1 YY1截面屈曲時正應變數值表Tab.1 Normal strain of section YY1 during buckling

σ=Eε=226.47 (MPa)

(61)

(62)

式中：E為彈性模量.負彎矩區(qū)支座彎曲荷載梯度為

λ=(σmax-σmin)/σmax=0.718

(63)

利用式(58)，由圖12可得腹板下緣的彈性轉動約束剛度系數χb=56.05.鋼箱上箱室雖未填充混凝土，但考慮到剪力釘對翼緣板彈性轉動約束的制約作用[10]，仍考慮折減一半約束鋼板的寬度，得到腹板上下緣的彈性轉動剛度系數χt=χb=56.05.

根據式(30)、(49)可以計算得到彈性轉動約束的板件在彎曲、剪切荷載單獨作用下的臨界屈曲系數，考慮腹板高度方向只有下箱室充填了混凝土，故對屈曲系數折減一半，可得：

κ=8.75，κ2=6.20

代入式(29)、(48)可得在彎、剪單獨作用下的臨界屈曲應力為：σcr=323 MPa，τcr=228 MPa.

那么穩(wěn)定驗算相關性公式可以寫出：

文獻[17]：

(64)

文獻[18]：

(65)

試驗結果和式(64)、(65)在彎-剪復合作用下腹板局部穩(wěn)定性計算公式如圖17所示.

圖17 試驗值與理論彎-剪復合屈曲應力曲線對比Fig.17 Comparison of test value and theoretical bend-shear complex buckling stress

由此可知，本試驗結果略低于文獻[17]和文獻[18]彎剪復合屈曲應力值，吻合良好，驗證了本文對于剛性基底彈性轉動約束矩形板受壓屈曲和受剪屈曲系數求解的準確性.計算結果比簡單地將非加載邊界按簡支或固支處理的計算結果更符合鋼箱-混凝土梁腹板局部屈曲的試驗結果.

3 部分充填式鋼箱-混凝土組合梁負 彎矩區(qū)腹板屈曲有限元分析

由于全梁模型鋼箱腹板的臨界屈曲系數受腹板自身寬厚比、上下翼緣板寬厚比、剪力釘的連接剛度、混凝土充填高度、加載點和彎剪比等諸多因素的影響，為了控制單因素條件得到復雜受力下的彎-剪復合臨界屈曲應力，對在受力狀態(tài)(圖(16))下的腹板單獨建立ANSYS有限元模型，并結合試驗及本文理論解比較分析其適用性.

薄板模型采用Shell63四節(jié)點彈性殼單元.對于彈性轉動邊界和剛性基底，分別采用兩種Combin14彈簧—阻尼器單元模擬，分別賦予沿板邊的扭轉自由度和垂直于板面的自由度，使彈簧單元只有繞坐標軸的扭轉剛度或沿坐標軸的軸向拉壓剛度.需要指出的是，在薄板底面布置雙向拉壓彈簧，用來模擬在彈性基底上的薄板屈曲行為.本文通過將底面彈簧的剛度系數χ1控制在一個較小值以模擬試驗中半填充混凝土鋼箱腹板的屈曲特性.

引入的無量綱剛度系數χ1定義為

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式中：k0為彈性基底的支承剛度，分布化后作為每個底面彈簧的倔強系數.χ1描述了底面彈簧和矩形板剛度的相對大小.

為滿足重復分析的需要，編寫了模型建立和特征值屈曲分析的命令流程序.采用先生成全部節(jié)點，后建立相關單元的模式，可快速便捷建立有限元模型.設定主要參數有：χ1、χ2、γ、λ和彎剪比β.采用國際單位制，薄板的彈性模量取E=2.1×1011Pa，泊松比μ=0.3，板厚t=0.014 3 m.為方便起見，板寬b取為定值1 m，根據γ確定板長a.模型沿x軸方向的板邊為彈性轉動邊界，同時板四邊簡支，對于不與薄板相連的彈簧單元節(jié)點，約束其全部自由度.布載時首先在模型上作用一個較小的剪力值，稱作擾動值，再根據彎剪比β確定作用的壓力值，分布化后作用在各個節(jié)點上.

根據本文第2部分的試驗，等比例縮放板的尺寸a=1.43 m，b=1 m，t=0.014 3 m；λ=0.72；χ2=56.1.鑒于剛性基底和彈性基底的定量關系尚不明確，χ1分別取0、5、10進行分析.彎-剪屈曲荷載有限元計算結果如表2所示.

表2 在基底剛度χ1=5時的彎-剪復合屈曲荷載值Tab.2 Load of bend-shear complex buckling at χ1=5

圖18所示為在3種基底剛度下共39個模型屈曲時的彎-剪復合應力值，用光滑曲線相連與圖17通過理論計算的規(guī)范曲線和試驗值對比發(fā)現(xiàn)，有限元結果和本文計算理論曲線走向一致，基底剛度系數χ1=5的曲線與本文理論曲線吻合較好，證明本文理論計算的可行性.半充填式鋼箱-混凝土組合試驗梁由于只在下箱室充填了混凝土，故負彎矩區(qū)腹板不能完全視為處于剛性基底之上，而是給予基底一個剛度系數較為合適.通過有限元分析可得，腹板基底的剛度系數略低于5.腹板屈曲在3種基底剛度下的一階屈曲模態(tài)如圖19所示.

部分充填式鋼箱-混凝土組合梁全梁1/4縱橫對稱Abaqus模型腹板特征值屈曲模態(tài)如圖20所示.由此可見，負彎矩區(qū)位于中支座正下方的腹板由于鋼箱下箱室充填的混凝土，屈曲強度有了較大提高.而在充填混凝土范圍之外的腹板則較易發(fā)生局部屈曲.說明無側向混凝土約束的腹板屈曲強度低，混凝土的充填能顯著提高鋼箱組合梁負彎矩區(qū)腹板的抗屈能力.

圖18 有限元值與理論彎-剪復合屈曲應力曲線對比Fig.18 Comparison of FEM value and theoretical bend-shear complex buckling stress

圖19 3種基底剛度下腹板的一階屈曲模態(tài)Fig.19 First set of buckling modes of web plates at 3 kinds of base stiffnesses

圖20 部分充填式鋼-混組合梁模型屈曲模態(tài)Fig.20 Typical buckling mode of partially filled steel box-concrete composite beams

4 結論

(1) 本文根據受壓受剪矩形板屈曲變形特點，分別提出不同的撓曲面函數，通過利用Rayleigh-Ritz法導出了剛性基底上彈性轉動約束邊界矩形薄板在線性壓力荷載單獨作用下和剪力單獨作用下的屈曲系數理論計算公式，形式較為簡潔，便于參數化分析，為進一步分析勻質矩形薄板在復合應力條件下的屈曲問題提供了理論依據.

(2) 通過對屈曲理論解求極值，分析了受壓臨界屈曲系數隨邊界剛度系數χb、χt的變化規(guī)律，對比分析了在不同縱橫荷載比μ和不同荷載梯度λ下受壓臨界屈曲系數的變化曲線；同時也分析了受剪臨界屈曲系數隨χ2的變化規(guī)律，證實了彈性轉動約束邊界不可簡單地視為簡支或固支邊界.

(3) 通過一根半充填式鋼箱-混凝土組合試驗梁的反向加載試驗分析了負彎矩區(qū)腹板的屈曲情況.結合文獻復合屈曲應力公式，運用本文推導的單獨受壓、剪屈曲系數公式計算出臨界壓、剪屈曲應力，結果顯示試驗值位于根據本文理論解繪出的復合應力曲線之上，證實了本文理論解的可行性.

(4) 建立腹板的有限元模型，借助于對彈性基底的研究方法，對試驗梁半充填混凝土的腹板賦予彈性基底剛度系數，數值分析表明，有限元結果和本文計算理論曲線走向一致，彈性基底剛度系數χ1=5的有限元曲線略高于本文理論曲線，半充填混凝土試驗梁負彎矩區(qū)腹板基底的剛度系數略低于5.