周 鵬， 劉永軍

（1.三門峽市國道三一零南移項目建設(shè)管理有限公司，河南三門峽 472000；2.河南省交通科學技術(shù)研究院有限公司，鄭州 450015）

在隧道工程實踐中，隧道圍巖應(yīng)力及變形特征是評價圍巖穩(wěn)定性和隧道支護定量設(shè)計的理論基礎(chǔ)［1-3］，受隧道開挖的影響圍巖應(yīng)力重分布，繼而進入彈塑性變形狀態(tài)［4］. 因此，展開隧道圍巖的彈塑性分析具有重要的理論和工程實踐意義［5］.

數(shù)值模擬作為隧道工程的重要解決手段之一，近20年來應(yīng)用的越來越廣泛，并且在圍巖應(yīng)力分析方面發(fā)揮了重要作用. 賈劍青［6］通過有限元方法分析深埋隧道的塑性區(qū)，并給出荷載松動圈范圍. 李文華［7］優(yōu)化了雙側(cè)壁導(dǎo)坑施工法，研究了大斷面小凈距雙線隧道不同開挖工法下的圍巖穩(wěn)定性. 劉波［8］通過對三維隧道開挖進行模擬，基于位移和速率評價了圍巖穩(wěn)定性. 呂緯［9］通過分析含水砂層段的隧道穩(wěn)定性，推導(dǎo)了不同施工方法開挖面極限支護應(yīng)力表達式，并采用數(shù)值模擬分析了不同工況下的隧道穩(wěn)定性，驗證了地下水對隧道穩(wěn)定性的影響. 上述研究采用有限元軟件研究了隧道圍巖應(yīng)力及穩(wěn)定性，積極地拓展了隧道圍巖彈塑性分析方法.

現(xiàn)階段，大多數(shù)學者采用M-C強度理論、H-B強度理論或D-P強度理論對隧道圍巖進行彈塑性分析［10-13］.王明斌和李術(shù)才［14］基于M-C強度理論，推導(dǎo)出第一主應(yīng)力分別為徑向應(yīng)力和環(huán)向應(yīng)力時的隧道圍巖全場彈塑性解答. 蔣斌松等［15］采用M-C強度理論和非關(guān)聯(lián)流動法則，建立了符合變形協(xié)調(diào)條件的隧道圍巖應(yīng)力和變形解析公式. 侯公羽和牛曉松［16］基于levy-Mises本構(gòu)關(guān)系及D-P屈服準則對軸對稱圓巷進行了理想彈塑性的求解，彌補了Kastner公式中存在的缺陷. 潘陽等［17］基于H-B強度理論，采用極限平衡方程計算出隧道圍巖的塑性半徑、應(yīng)力及位移公式. 張小波等［18］基于D-P強度理論，推導(dǎo)出隧道圍巖的彈塑性區(qū)應(yīng)力、塑性區(qū)半徑和位移解析解. 董海龍和高全臣［19］基于M-C強度理論，用攝動法給出兩向不等壓作用下圓形巷道圍巖彈塑性問題的二階攝動解答. 上述研究成果有益地推進了隧道圍巖彈塑性分析理論的發(fā)展.

值得注意的是，在針對中間主應(yīng)力對隧道圍巖應(yīng)力及變形特征的影響方面還缺乏系統(tǒng)的研究. 因此，本文基于統(tǒng)一強度準則，推導(dǎo)了非均勻應(yīng)力場下隧道圍巖應(yīng)力及塑性區(qū)半徑解析解，以期為工程中隧道圍巖應(yīng)力及位移計算提供一定的理論基礎(chǔ).

1 統(tǒng)一強度準則

若規(guī)定壓應(yīng)力為正、拉應(yīng)力為負［20］，則統(tǒng)一強度準則表達式為：

式中：σ1、σ2、σ3分別為最大主應(yīng)力、中間主應(yīng)力和最小主應(yīng)力；c0為巖土的黏聚力；φ0為巖土的內(nèi)摩擦角；b為中主應(yīng)力系數(shù)［21］.

在平面應(yīng)變條件下，統(tǒng)一強度準則滿足下式：

式中：

式中：ct為統(tǒng)一黏聚力；φt為統(tǒng)一內(nèi)摩擦角.

因此，在平面應(yīng)變條件下基于統(tǒng)一強度準則的隧道圍巖平衡方程為：

2 隧道圍巖應(yīng)力及塑性區(qū)半徑計算

2.1 基本推導(dǎo)前提與假設(shè)

假設(shè)作用在隧道圍巖的豎向應(yīng)力為P0，水平應(yīng)力為λP0，建立非均勻應(yīng)力場下隧道圍巖彈塑性計算簡圖，如圖1所示. 其中r為圍巖微元體的半徑；θ為微元體與水平軸線的夾角，考慮到幾何形狀及受力形式的對稱性，本文僅研究θ=［0°，90°］；R0為隧道半徑；R為塑性區(qū)半徑；λ為水平側(cè)壓力系數(shù)；σr為徑向應(yīng)力；σθ為切向應(yīng)力；τrθ為剪切應(yīng)力；Pi為支護反力.

2.2 非均勻應(yīng)力場下隧道圍巖彈性應(yīng)力場

圓形隧道在非均勻應(yīng)力場下可分解為均勻受壓應(yīng)力場和上下受壓、左右受拉應(yīng)力場的疊加，因此，圖1中非均勻應(yīng)力場下隧道圍巖應(yīng)力分析可轉(zhuǎn)化為圖2 中兩種應(yīng)力場的疊加.

圖1 非均勻應(yīng)力場下隧道圍巖應(yīng)力計算簡圖Fig.1 Stress calculation diagram of tunnel surrounding rock under non-uniform stress field

圖2 非均勻應(yīng)力場下隧道圍巖彈性區(qū)應(yīng)力分析Fig.2 Stress analysis of tunnel surrounding rock elastic zone under non-uniform stress field

對上述兩種應(yīng)力場進行疊加，得非均勻應(yīng)力場下隧道圍巖應(yīng)力表達式為：

2.3 非均勻應(yīng)力場下隧道圍巖彈塑性交界面應(yīng)力

基于非均勻應(yīng)力場的分解思路，得到軸對稱圓形隧道在非均勻應(yīng)力場下彈性區(qū)應(yīng)力表達式為：

式中：σR為彈塑性交界面處徑向應(yīng)力.

當圍巖微元體的半徑r=R時，彈塑性交界面處圍巖應(yīng)力表達式為：

在平面應(yīng)變條件下，隧道圍巖滿足統(tǒng)一強度準則的下半式（2），則主應(yīng)力與隧道圍巖應(yīng)力關(guān)系為：

聯(lián)立式（2）、式（10）和式（11），可得：

經(jīng)計算得到非均勻應(yīng)力場下隧道彈塑性交界面處徑向應(yīng)力表達式為：

將式（13）代入式（10），得到非均勻應(yīng)力場下基于統(tǒng)一強度準則的隧道圍巖彈塑性交界面上應(yīng)力場解析表達式為：

2.4 非均勻應(yīng)力場下隧道圍巖塑性區(qū)應(yīng)力及半徑

非均勻應(yīng)力場條件下隧道圍巖問題的平衡微分方程為：

隧道圍巖問題的應(yīng)力邊界條件如下：

將式（11）代入式（5），可得下式：

聯(lián)立式（15）、式（16）和式（17），得到非均勻應(yīng)力場下基于統(tǒng)一強度準則的隧道圍巖塑性區(qū)應(yīng)力表達式為：

當隧道圍巖微元體的半徑r=R時，彈塑性交界面處圍巖應(yīng)力滿足式（10），即存在如下關(guān)系：

基于隧道圍巖彈塑性交界面處應(yīng)力分量連續(xù)性的特點，聯(lián)立式（18）、式（19），經(jīng)計算得到非均勻應(yīng)力場下基于統(tǒng)一強度準則的隧道圍巖塑性區(qū)半徑為：

3 算例分析

本文選取圓形隧道半徑R0=2 m，圍巖重度為16 kN/m3，隧道埋深為50 m，則豎向應(yīng)力P0=800 kPa，取水平側(cè)壓力系數(shù)λ為0.35和3.0，選取圍巖力學參數(shù)如下：黏聚力c0=30 kPa，內(nèi)摩擦角φ0=30°，支護反力Pi=0 kPa.

圖3為水平側(cè)壓力系數(shù)λ=0.35 時非均勻應(yīng)力場下基于統(tǒng)一強度準則的隧道圍巖彈塑性交界面上應(yīng)力分布曲線. 由圖可知：隧道圍巖彈塑性交界面上徑向應(yīng)力和切向應(yīng)力均受中主應(yīng)力系數(shù)b的影響，且呈現(xiàn)出b值越大，徑向應(yīng)力越小，切向應(yīng)力越大的特點；在θ=0°時，不同b值條件下隧道圍巖應(yīng)力的差值最為明顯，且隨著θ值的增大，徑向應(yīng)力逐漸由壓應(yīng)力變?yōu)槔瓚?yīng)力；以b=0時隧道圍巖徑向應(yīng)力作為參照，隨著b值的增大，徑向應(yīng)力依次減小5.8%、10.0%、13.2%和15.8%，以b=0 時切向應(yīng)力作為參照，隨著b值的增大，切向應(yīng)力依次增大1.8%、3.1%、4.1%和4.9%；在θ=90°時（隧洞頂板），徑向應(yīng)力為負值，b=0、1.0時徑向應(yīng)力分別為-15.98 kPa和-21.12 kPa，兩者徑向應(yīng)力相差32.2%.

圖3 λ=0.35時隧道圍巖應(yīng)力分布曲線Fig.3 The stress distribution curves of tunnel surrounding rock when λ=0.35

圖4為λ=3.0時非均勻應(yīng)力場下基于統(tǒng)一強度準則的隧道圍巖彈塑性交界面上應(yīng)力分布曲線. 由圖可知：隨著b值的增大，彈塑性交界面上徑向應(yīng)力減小，切向應(yīng)力增大；在θ=0°時，隧道圍巖應(yīng)力的差值最小，且隨著θ值的增大，徑向應(yīng)力逐漸由拉應(yīng)力變?yōu)閴簯?yīng)力；以b=0時隧道頂板圍巖徑向應(yīng)力作為參照，隨著b值的增大，徑向應(yīng)力依次減小5.4%、9.3%、12.4%和14.8%，以b=0時隧道頂板圍巖切向應(yīng)力作為參照，隨著b值的增大，切向應(yīng)力依次增大1.8%、3.1%、4.0%和4.8%；在θ=0°時，徑向應(yīng)力為負值，b=0、1.0時徑向應(yīng)力分別為-26.0 kPa和-29.7 kPa，兩者徑向應(yīng)力相差14.2%.

圖4 λ=3.0時隧道圍巖應(yīng)力分布曲線Fig.4 The stress distribution curves of tunnel surrounding rock when λ=3

綜上，隨著b值的增大，隧道圍巖徑向應(yīng)力減小，切向應(yīng)力增大；且當λ<1 時，圍巖應(yīng)力隨著θ值的增大而減小，當λ>1 時，圍巖應(yīng)力隨著θ值的增大而增大.

圖5 為λ=0.35 時非均勻應(yīng)力場下基于統(tǒng)一強度準則的隧道圍巖塑性區(qū)半徑分布曲線. 由圖可知：隧道圍巖塑性區(qū)半徑隨著b值的增大而減小；在θ=0°時，塑性區(qū)半徑差異最為明顯，θ值越大，塑性區(qū)半徑越小，且θ=90°時（隧道頂板）塑性區(qū)半徑最小；以θ=0°、b=0時塑性區(qū)半徑作為參照，隨著b值的增大，塑性區(qū)半徑依次減小18.0%、27.9%、34.2%和38.5%；在θ=90°時（隧洞頂板），b=0、1.0 時塑性區(qū)半徑分別為1.88 m 和1.76 m，兩者相差6.4%.

圖5 λ=0.35時塑性區(qū)半徑分布曲線Fig.5 The plastic zone radius distribution curves when λ=0.35

圖6為λ=3.0時非均勻應(yīng)力場下基于統(tǒng)一強度準則的隧道圍巖塑性區(qū)半徑分布曲線. 由圖可知：隨著θ值的增大，塑性區(qū)半徑逐漸增大，θ=90°時（隧道頂板）塑性區(qū)半徑最大；以b=0 時隧道頂板圍巖塑性區(qū)半徑作為參照，隨著b值的增大，塑性區(qū)半徑依次減小22.4%、34.3%、41.5%和46.4%.

圖6 λ=3.0時塑性區(qū)半徑分布曲線Fig.6 The plastic zone radius distribution curves when λ=3.0

綜上，隨著中主應(yīng)力系數(shù)b的增大，隧道圍巖塑性區(qū)半徑減?。磺耶敠?1 時，塑性區(qū)半徑隨著θ值的增大而減小，當λ>1 時，塑性區(qū)半徑隨著θ值的增大而增大. 表明非均勻應(yīng)力場下基于Mohr-Coulomb強度準則的隧道圍巖塑性區(qū)半徑最大，在工程實踐中大多數(shù)情況下是偏于保守的.

4 結(jié)論

1）本文基于統(tǒng)一強度準則，針對非均勻應(yīng)力場下隧道圍巖開展彈塑性分析，推導(dǎo)了隧道圍巖應(yīng)力及塑性區(qū)半徑解析解，豐富了非均勻應(yīng)力場下隧道圍巖的彈塑性分析理論計算方法.

2）隧道彈塑性交界面上圍巖應(yīng)力和塑性區(qū)半徑均受水平側(cè)壓力系數(shù)λ的影響. 當λ<1時，圍巖應(yīng)力和塑性區(qū)半徑隨著θ值的增大而減小；當λ>1時，兩者隨著θ值的增大而增大.

3）隨著中主應(yīng)力系數(shù)b值的增大，隧道圍巖彈塑性交界面上徑向應(yīng)力減小，切向應(yīng)力增大. 當λ<1時，在θ=0°時隧道圍巖應(yīng)力差值最為明顯；當λ>1時，在隧道頂板處圍巖應(yīng)力的差值最大.

4）隧道圍巖塑性區(qū)半徑隨著中主應(yīng)力系數(shù)b值的增大而減小. 當λ<1時，塑性區(qū)半徑隨著θ值的增大而減小，隧道頂板處塑性區(qū)半徑最小；當λ>1時，塑性區(qū)半徑隨著θ值的增大而增大，隧道頂板處塑性區(qū)半徑最大.