陳寶興，徐寧寧，林冬冬，王新文

(中國礦業(yè)大學(xué)(北京)化學(xué)與環(huán)境工程學(xué)院，北京，100083)

在選煤領(lǐng)域，黏濕物料和細物料的干法篩分是一個亟待解決的問題。傳統(tǒng)振動篩在處理黏濕物料時效率低，且篩孔易被堵[1?4]。近年來，一些新的高效篩分設(shè)備不斷問世。其中，弛張篩具有篩面加速度大，篩分效率高，適應(yīng)性強和地基動載荷小等優(yōu)點[5?8]，得到了廣泛應(yīng)用。弛張篩的最大優(yōu)勢在于柔性篩面在激振力的作用下會產(chǎn)生高頻、大振幅振動[9?11]。因此，研究篩面振動的動力學(xué)特性可以加深對弛張篩工作原理的認識，更好地使用與改進弛張篩。

到目前為止，前人針對篩面振動提出的理論主要基于以下3種模型：懸鏈線模型、簡支梁模型和彈性壓桿模型。XIONG 等[12]建立了基于懸鏈線理論的數(shù)學(xué)模型來描述篩面振動，并研究了激振器的旋轉(zhuǎn)速度、篩面傾斜角和張緊量對篩面振動的影響。懸鏈線模型可以描述弛張篩面的靜止狀態(tài)，但不能描述動態(tài)過程。鄒夢麒等[13]提出了1種由三段圓弧組成的張弛篩篩面模型，分析張緊量對位移、速度、加速度和等效應(yīng)力的影響。ZHANG 等[14]將篩面簡化為兩端可以移動的簡支梁模型并建立動力學(xué)方程，研究了篩面中點處的運動規(guī)律和篩上顆粒運動軌跡。對于彈性壓桿模型，ZHAO等[15]將篩面視為兩端可移動的彈性壓桿以建立動力學(xué)模型，計算得到了加速度表達式和數(shù)值解。無論是簡支梁模型還是彈性壓桿模型，都認為篩面長度保持不變，這忽略了柔性篩面在振動過程中不斷地拉伸和收縮的過程。

除了理論研究，也有很多關(guān)于篩面振動的實驗與模擬研究。PENG等[16]通過實驗研究了初始張緊量、聚氨酯篩板硬度以及驅(qū)動電機轉(zhuǎn)速等因素對篩面運動特性的影響。WU 等[17]提出了一種DEM-MBD(離散元法?多剛體動力學(xué))雙向耦合方法，使用分段線性插值的方法簡化了柔性篩面。ZHAO等[18]通過正交試驗研究了振動參數(shù)對圓振動篩的綜合影響。

盡管已經(jīng)提出了許多模型來研究弛張篩面的振動，但是這些模型都忽略了篩面的縱向振動，同時，這些研究默認弛張篩面兩端只受到相對縱向激勵，而不討論橫向激勵對篩面振動的影響。為此，本文作者提出一種基于弦振動模型和Hamilton原理的方法，分析篩面的動力學(xué)特性，可以獲得篩面上任何時間和任意位置處的縱向和橫向位移。

1 弛張篩簡介

弛張篩的工作原理如下：柔性篩面兩端分別與不同的篩框相連，篩框之間的相對運動使篩面振動。常見的弛張篩可以分為2類：

1)LIWELL式弛張篩。電機產(chǎn)生的扭矩通過皮帶傳送到曲柄連桿機構(gòu)，連桿與外篩框相連。運行時，內(nèi)外篩框之間有沿篩面方向的相對振動。

2)振動式弛張篩。圖1所示為圓振動弛張篩。在運行時，激振器使主浮篩框做圓振動，主浮篩框之間會產(chǎn)生相對運動[19]。主浮篩框之間用剪切彈簧連接，剪切彈簧在水平方向剛度較小而在豎直方向剛度較大，因此，武繼達等[20]認為主浮篩框之間只存在沿篩面方向的相對振動，而不存在垂直于篩面方向的相對振動。由于事實存在垂直于篩面方向的相對振動，本文在不忽略其影響的情況下，建立受橫向?縱向耦合激勵作用的篩面的振動方程，并求得數(shù)值解。

圖1 圓振動弛張篩Fig.1 Circular vibration flip-flow screen

2 弦模型建立

圖2所示為弦模型示意圖。將弛張篩面中線處簡化為一根弦，將兩端的相對位移簡化為一端固定，一端受到縱向?橫向耦合激勵。以水平方向為x方向，以豎直方向為y方向。弦一開始處于剛好張緊狀態(tài)，弦長為l，x為初始狀態(tài)時弦上固定點的橫坐標(或沿弦方向的廣義坐標)，x∈[0，l]。弦在運動過程中既考慮縱向振動又考慮橫向振動?？v向振動方向為x方向，橫向振動方向為y方向。

圖2 弦模型示意圖Fig.2 Schematic diagram of string model

本模型基于以下2個假設(shè)：

1)弦具有連續(xù)性和均勻性，即弦的密度、彈性模量、截面積在運動過程中始終不變；

2)在每1個時刻外界激勵傳遞的能量與篩面阻尼消耗的能量相同。

弦的縱向位移表達為u(x，t)，橫向位移表達為w(x，t)。將弦一端受到的耦合位移激勵分解為水平方向和豎直方向的周期位移激勵，因此，弦的邊界條件可以表示為

式中：a為縱向位移激勵的幅值；b為橫向位移激勵的幅值；ω為激勵的頻率。

因為弦的邊界條件是非齊次的，需要將其轉(zhuǎn)化為齊次邊界條件以方便后續(xù)的計算，將u(x，t)和w(x，t)表示為

式中：s(x，t)與g(x，t)為齊次邊界條件；f(x，t)與v(x，t)為非齊次邊界條件，可以表示為

它們的偏微分可以表示為

3 振動方程的建立

對于弦上任意一點任意時刻的運動，矢徑r為

其中：i和j為單位向量。

速度v為

系統(tǒng)動能T可以表示為

式中：ρ為弦的線密度。

系統(tǒng)勢能V可以表示為

式中：E為彈性模量；A為弦的截面積；F0為弦初始張緊力。ε為應(yīng)變，計算如下

拉格朗日量L為

利用哈密頓原理：

將式(10)代入式(11)中，利用變分原理與分部積分的方法，得

將式(2)代入式(12)中，得

由于偏微分方程的求解比較困難，本文運用伽遼金法將偏微分方程轉(zhuǎn)化為常微分方程。根據(jù)伽遼金法[21]，g(x，t)和s(x，t)可以表示為

g(x，t)的偏微分可以表示為

s(x，t)的偏微分可以表示為

在滿足邊界條件的情況下，設(shè)試函數(shù)?i(x)為

將式(3)，(4)，(14)～(17)代入式(13)，并在式兩端同乘以權(quán)函數(shù)，得

為了簡化運算，定義新變量ξ，將篩面上點的位置歸一化，表示為

等式兩端對ξ從0 到1 積分，即可將偏微分方程轉(zhuǎn)化為常微分方程，可以表示為

其中：

矩陣M，K1，K2，K3，K4，K5，K6，K7，K8，K9，K10，K11，F(xiàn)1，F(xiàn)2的表達式如下。

令I(lǐng)=iπξ；J=jπξ；N=ωt

4 模擬模型的建立

利用ABAQUS 建立篩面的仿真模型，模擬篩面的振動過程，如圖3所示。在該模型中，篩面長度l為316 mm，寬d為500 mm，厚h為4 mm。篩面材料為聚氨酯，密度ρv為1 500 kg/m3。外加縱向激勵的振幅a為6 mm，頻率ω為10 Hz。

圖3 篩面模型Fig.3 Screen panel model

由于聚氨酯材料具有超彈性，本文選擇用Mooney-Rivlin 本構(gòu)模型描述材料特性[20]。在兩參數(shù)的Mooney-Rivlin 模型中，需要通過近似計算來獲得C01和C10這2 個參數(shù)，即彈性模量E與剪切模量G近似有：E≈3G。常數(shù)C01和C10近似有：C01≈4C10，同時G=2(C01+C10)。令E=1.2 MPa 時，可以計算出C01=0.16 MPa，C10=0.04 MPa。

在ABAQUS后處理模塊中，輸出篩面中線處x坐標為0，39.5，79.0，118.5，158.0，197.5，237.0，276.5 和316.0 mm 的9 個點的x方向和y方向的位移。

5 理論驗證

在篩面一端施加圓位移激勵的情況下(即a=b)，利用弦振動模型理論計算的結(jié)果與模擬結(jié)果對比，驗證理論的正確性。由于篩面模型的厚度為4 mm，因此選擇弦振動模型的橫截面的長×寬為4 mm×4 mm，各參數(shù)取值見表1。

表1 弦振動方程中各參數(shù)取值Table 1 Value of each parameter in string vibration equation

1)將表1中各參數(shù)代入矩陣，并選取i=2，即可得到各矩陣的只含有變量t的表達式。

2)再將這些矩陣代入到式(20)中，利用MATLAB 中的四階龍格庫塔算法即可得到p(t)和q(t)的數(shù)值解。

3)在得到數(shù)值解后代入不同x即可得到篩面中線處不同位置的縱向位移和橫向位移。

5.1 篩面中線處的縱向位移

選取模擬與計算結(jié)果中穩(wěn)定振動1 s 結(jié)果，計算平均振幅與平均周期，部分點的結(jié)果見表2?？紤]到x為0 mm和316 mm處計算結(jié)果與模擬結(jié)果是完全相同的，可得幅值的平均相對誤差為9.584%，周期的平均相對誤差為0.680%。

同時，繪制各點處的位移?時間圖，以便直觀了解理論計算與模擬結(jié)果的擬合程度。x為79，158和237 mm的3點處的位移?時間圖見圖4。

由表2和圖4可知：理論計算與模擬結(jié)果中，縱向運動均為近似周期振動，周期約為0.1 s，這與外加激勵的振動周期一致。振幅的變化規(guī)律是越靠近篩面固定端幅值越小，反之則越大。從模擬結(jié)果分析，越靠近固定端振動的穩(wěn)定性越差，振幅變化越大。利用MATLAB 對結(jié)果進行快速傅里葉變換，得到的篩面中點處的幅頻曲線，如圖5所示。

表2 縱向振動的模擬與計算結(jié)果對比Table 2 Comparison of simulation and calculation results of axial vibration

圖4 縱向振動的時間?位移圖Fig.4 Time domain diagrams for axial displacement

由圖5可知：在計算結(jié)果中，振幅最大時對應(yīng)的頻率為10 Hz，在模擬結(jié)果中也是10 Hz，這與外加激勵的頻率相同。在其他頻率處的振幅很小。在計算結(jié)果中最大振幅為3.036 mm，模擬結(jié)果中最大振幅為3.212 mm，相對誤差為5.48%。

圖5 縱向振動的幅頻特性曲線Fig.5 Frequency domain characteristics for axial displacement

5.2 篩面中線處的橫向位移

與5.1節(jié)相同，選取模擬與數(shù)值計算結(jié)果中的穩(wěn)定振動1 s 結(jié)果，將各點處的橫向振動的平均振幅和平均周期列于表3中?？紤]到x為0 mm和316 mm處計算結(jié)果與模擬結(jié)果完全相同，幅值的平均相對誤差為7.017%，周期的平均相對誤差為1.157%。

x分別為79，158 和237 mm 時3 點的時間?位移圖見圖6。

由表3和圖6可知：在理論計算與模擬結(jié)果中，橫向運動與縱向運動都為近似周期振動，周期均與外界激勵振動周期一致。橫向振動振幅的變化規(guī)律是越靠近篩面中點處振幅越大，反之則越小。

圖6 橫向振動的時間?位移圖Fig.6 Time domain diagrams for lateral displacement

表3 橫向振動的模擬與計算結(jié)果對比Table 3 Comparison of simulation and calculation results of lateral vibration

利用MATLAB 對結(jié)果進行快速傅里葉變換，得到的篩面中點處的幅頻曲線見圖7。

圖7 橫向振動的幅頻特性曲線Fig.7 Frequency domain characteristics for the lateral displacement

與5.1節(jié)縱向振動一樣，橫向振動的計算結(jié)果與模擬結(jié)果中振幅最大時對應(yīng)的頻率均為10 Hz。在其他頻率處的振幅相對而言很小。在計算結(jié)果中最大振幅為36.68 mm，模擬結(jié)果中最大振幅為39.67 mm，相對誤差為7.54%。

理論計算與模擬結(jié)果之間存在偏差，分析可能的原因：

1)本文假設(shè)篩面在任意時刻由阻尼消耗的能量與外界激勵輸入的能量相等，事實上在穩(wěn)定振動的狀態(tài)下，一個振動周期內(nèi)遵循這個規(guī)則，而每個時刻下輸入的能量與消耗的能量并不完全相等；

2)為簡化計算，本文假設(shè)彈性模量始終保持不變，而利用本構(gòu)模型描述的聚氨酯材料的超彈性，應(yīng)力與應(yīng)變之間的關(guān)系是非線性的，這也影響了計算結(jié)果的準確性。

6 橫向激勵的影響

在研究篩面振動時，最值得關(guān)注是篩面的橫向振動，因此，分析不同橫向激勵對篩面的橫向振動的影響。在保持縱向激勵不變的情況下，分別計算橫向激勵振幅b=0，2和4 mm時篩面中點處的橫向位移，與b=6 mm時的篩面中點處的橫向位移進行比較。選取篩面中點穩(wěn)定振動1 s 結(jié)果，橫向振動的位移?時間圖見圖8。

由圖8可知：在不同橫向激勵的作用下，篩面仍然在進行近似周期振動，但橫向振動的振幅與周期都發(fā)生了變化。b從0 mm增大到6 mm，對應(yīng)的平均振幅從27.43 mm 增大到54.25 mm，對應(yīng)的平均周期從0.21 s 減小到0.10 s。在完全沒有橫向激勵的情況下，篩面的橫向振動周期為0.21 s，約為外加縱向激勵周期的2 倍，而隨著橫向激勵增強，篩面的橫向振動周期越來越接近于縱向?橫向耦合激勵的周期。此外，由于振幅及振動頻率增大，篩面的速度與加速度增幅更明顯。尤其是被認為對篩分效率影響最大的篩面加速度，通過計算，橫向激勵幅值b從0 mm增大到6 mm，對應(yīng)的篩面中點的最大加速度從10.3g增大到43.6g。加速度的大幅增加將有利于物料的深度篩分。周期、振幅和加速度的變化如圖9所示。

圖8 不同振幅的橫向激勵作用下篩面中點橫向振動的位移?時間圖Fig.8 Time domain diagrams at midline of panel for lateral vibration with different excitations

圖9 不同幅值的橫向激勵作用下振動的周期、振幅和加速度圖Fig.9 Period,amplitude and acceleration of lateral vibration with different lateral excitations

本文提出的新的弦振動的優(yōu)點有：

1)弦在振動過程中的張緊松弛運動與弛張篩的弛張運動更吻合，并且可以得到每個時刻每個位置處的動力學(xué)參數(shù)。

2)考慮了弛張篩篩板受到縱向?橫向耦合激勵時的運動，更符合弛張篩篩板的實際運動情況。

在工程實踐中，往往通過增加或減少剪切彈簧來調(diào)節(jié)主浮篩框之間的沿篩面方向的剛度，這一過程中垂直于篩面方向的剛度變化往往被忽略，本文證明這種變化對弛張篩篩面振動有一定的影響。

7 結(jié)論

1)提出一種基于弦振動模型和Hamilton 原理的篩面振動理論。篩面在耦合激勵作用下在縱向與橫向上分別進行近似周期振動。對于縱向振動，計算結(jié)果與模擬結(jié)果相比，幅值平均相對誤差為9.584%，周期平均相對誤差為0.680%；對于橫向振動，幅值平均相對誤差為7.017%，周期平均相對誤差為1.157%。

2)隨著橫向激勵振幅增大，篩面中點處橫向振動的幅值由27.43 mm 增大54.25 mm，振動周期由0.21 s 減小到了0.1 s，加速度則由10.3g增加到了43.6g，說明讓篩面兩端存在適當橫向相對運動有助于增強篩面振動強度，進而提高弛張篩的篩分效率。

3)本文為了簡化計算而假設(shè)篩面在任意時刻由阻尼消耗的能量與外界激勵輸入的能量相等以及彈性模量始終保持不變，在一定程度上影響了計算結(jié)果的準確性，在后續(xù)研究中將改進這2點。