翟崇滿（江蘇省鹽城市濱?？h第一初級(jí)中學(xué)，江蘇 濱海 224500）

一、初中期末數(shù)學(xué)題的發(fā)展?fàn)顩r

在初中階段，數(shù)學(xué)考試題的設(shè)計(jì)方法在新課程概念的影響下變得更加靈活.具體而言，初中數(shù)學(xué)的具體發(fā)展趨勢(shì)如下：使用坐標(biāo)系提供數(shù)字和圖形的組合，通過鏈接數(shù)字和點(diǎn)之間的坐標(biāo)將數(shù)字與幾何形狀相連接，進(jìn)而找到了一種解決該問題的有效方法.

二、新形勢(shì)下中考數(shù)學(xué)壓軸題的解題思路

（一）動(dòng)中求靜，圖形運(yùn)動(dòng)問題

動(dòng)態(tài)問題主要是點(diǎn)運(yùn)動(dòng)、線運(yùn)動(dòng)和整體圖形運(yùn)動(dòng)，但是在表達(dá)的過程中要理解的最重要的事情是運(yùn)動(dòng).回答運(yùn)動(dòng)問題的核心是：①要仔細(xì)地閱讀問題，分析在給定條件下什么量不會(huì)移動(dòng)，并考慮移動(dòng)過程如何逐段移動(dòng)（按類別討論），運(yùn)動(dòng)與運(yùn)動(dòng)之間可能有什么關(guān)系.②分析圖形，在運(yùn)動(dòng)過程中，研究靜態(tài)時(shí)刻變量之間的關(guān)系，并建立所研究變量之間的功能關(guān)系.③在提出問題的過程中，無論問題是否根據(jù)情況產(chǎn)生其他結(jié)果，都必須注意分類討論.

例題在直角坐標(biāo)系中，對(duì)于任意兩點(diǎn)A（a，b），B（c，d），若點(diǎn)T（x，y）滿足，那么稱點(diǎn)T是點(diǎn)A，B的融合點(diǎn).

例如：A（-1，8），B（4，-2），當(dāng)點(diǎn)T（x，y）滿是時(shí)，則點(diǎn)T（1，2）是點(diǎn)A，B的融合點(diǎn).

（1）已知點(diǎn)A（-1，5），B（7，7），C（2，4），請(qǐng)說明其中一個(gè)點(diǎn)是另外兩個(gè)點(diǎn)的融合點(diǎn).

（2）如圖1，點(diǎn)D（3，0），點(diǎn)E（t，2t＋3）是直線l上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)T（x，y）是點(diǎn)D，E的融合點(diǎn).

圖1

①試確定x與y的關(guān)系式；

②若直線ET交x軸于點(diǎn)H，當(dāng)△DTH為直角三角形時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo).

［分析］

（1）根據(jù)題中融合點(diǎn)的定義便可得到答案.

（2）①由題中融合點(diǎn)的定義可以得到y(tǒng)＝2x-1.

②所以根據(jù)定義可分為三種情況討論：

當(dāng)∠THD＝90°時(shí)，畫出圖形，由融合點(diǎn)的定義求得點(diǎn)E的坐標(biāo).

當(dāng)∠TDH＝90°時(shí)，畫出圖形，由融合點(diǎn)的定義求得點(diǎn)E的坐標(biāo).

當(dāng)∠HTD＝90°時(shí)，由題意知此種情況不存在.

經(jīng)過分析可以求得最后結(jié)果.

①當(dāng)∠THD＝90°時(shí)，如圖2 所示.

圖2

設(shè)T（m，2m-1），則點(diǎn)E為（m，2m＋3）.

由點(diǎn)T是點(diǎn)D，E的融合點(diǎn)，

②∠TDH＝90°時(shí)，如圖3 所示.

圖3

則點(diǎn)T為（3，5），由點(diǎn)T為點(diǎn)D，E得融合點(diǎn)，

可得點(diǎn)E2（6，15）.

③當(dāng)∠HTD＝90°時(shí)，該情況不存在.

這道題中不僅出現(xiàn)了新的知識(shí)點(diǎn)，還運(yùn)用了很多數(shù)學(xué)思想，比如：函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、化歸思想.

（二）數(shù)形結(jié)合問題

中學(xué)數(shù)學(xué)的知識(shí)內(nèi)容大致可分為形狀和數(shù)字兩種.每個(gè)“形狀”，即每個(gè)幾何形狀都具有一定的定量關(guān)系，可以將數(shù)量“制成”一個(gè)幾何形狀，進(jìn)行直觀的解釋和考慮.許多中考數(shù)學(xué)壓軸題是要充分利用重要的知識(shí)點(diǎn).

例題在△ABC中，已知AB＝AC，∠BAC＝90°，D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，將△ADE繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度α（0°＜α＜90°）得到△AD′E′，連接BD′，CE′，如圖4.

圖4

（1）求證：BD′＝CE′；

（2）如圖5，當(dāng)α＝60°時(shí)，設(shè)AB與D′E′交于點(diǎn)F，求BF FA的值.

圖5

【解答】（1）證明：∵AB＝AC，D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，

∴AD＝BD＝AE＝EC.

三是對(duì)活動(dòng)的計(jì)劃進(jìn)行擬定?；顒?dòng)時(shí)間擬定為2017年3月-2018年3月,活動(dòng)內(nèi)容主要有確定主題、擬定計(jì)劃、把握現(xiàn)狀、目標(biāo)設(shè)定、分析原因、提出對(duì)策、對(duì)策實(shí)施、效果確認(rèn)、檢討改進(jìn)等。

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：∠DAD′＝∠EAE′＝α，AD′＝AD，AE′＝AE.

（2）解：連接DD′.

圖6

（三）模型應(yīng)用問題

這些類型的問題通常向?qū)W生展示整個(gè)過程，而不是研究“理解模型探索擴(kuò)展”中的三級(jí)問題所設(shè)置的常見問題.提供最初熟悉的數(shù)學(xué)知識(shí)或數(shù)學(xué)模型后，我們將繼續(xù)“通用方式”的擴(kuò)展，轉(zhuǎn)換和應(yīng)用強(qiáng)調(diào)了其深刻的意義和普遍性.回答此類問題的秘訣在于：通過利用模型的特征來查找現(xiàn)有模型的結(jié)構(gòu)及其在新情況下的含義，以充分利用問題中提供的數(shù)學(xué)模型來解決問題.

在中考數(shù)學(xué)壓軸題中，涉及的模型大多是從學(xué)生比較熟悉的數(shù)學(xué)基本圖形入手，對(duì)其進(jìn)行相應(yīng)的幾何拓展、變式應(yīng)用，學(xué)生在解題過程中最重要的就是要充分把握數(shù)學(xué)模型的基本內(nèi)涵、外延，通過類比、一般性方法來完成解題.

三、數(shù)學(xué)思維

1.數(shù)形結(jié)合

數(shù)形結(jié)合是通過數(shù)字和形狀的轉(zhuǎn)換使代數(shù)問題更直觀，并通過代數(shù)推理使幾何問題更加精確.解決的問題通常如下：

（1）構(gòu)建功能模型，結(jié)合其形象，研究數(shù)量與數(shù)量的關(guān)系；

（2）構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合模型的幾何含義來研究函數(shù)的最大值、最小值問題；

（3）研究圖形的形狀、位置關(guān)系和性質(zhì).

解決這類問題需要根據(jù)感覺將數(shù)和式子通過幾何的意義轉(zhuǎn)化成所需要的圖形，通過觀察圖形的變化得出正確結(jié)論，這便很好地將數(shù)學(xué)思想與題目相結(jié)合.

2.函數(shù)思想

函數(shù)思想是在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)可以把在某個(gè)變化的過程中幾個(gè)相互制約的變量用函數(shù)的關(guān)系表達(dá)出來（如一次函數(shù)、二次函數(shù)），并研究這些變量間的相互制約關(guān)系，最后解決問題.比如，函數(shù)與方程思想在幾何中最能體現(xiàn)，在解決幾何題目時(shí)，我們常常會(huì)應(yīng)用它將已知條件用代數(shù)的方法表示.又如，在直線與圓的位置關(guān)系方面的例題就能很好地體現(xiàn)，在解決這類題目時(shí)，我們常常會(huì)將方程式聯(lián)立求解.

3.分類討論

分類討論是一種重要的解決數(shù)學(xué)問題的思想方法，將一個(gè)比較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題分成若干個(gè)基礎(chǔ)性或者是已經(jīng)解決了的問題，通過解決基礎(chǔ)問題和已經(jīng)掌握的知識(shí)找到解決復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題的過程.分類討論思想就是將復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，降低數(shù)學(xué)問題的難度.初中數(shù)學(xué)的教學(xué)通過借助分類和討論思想的方法，可以促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想更加完善，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維，從而使學(xué)生可以更好地應(yīng)對(duì)數(shù)學(xué)問題.

四、先練后教，分層引導(dǎo)

中考數(shù)學(xué)壓軸題綜合性比較強(qiáng)，考查的知識(shí)面比較廣，涉及諸多數(shù)學(xué)思想，而學(xué)生在有限的時(shí)間內(nèi)完成解題難度相對(duì)比較大.一些基礎(chǔ)比較差的學(xué)生會(huì)由于自身的能力不強(qiáng)，對(duì)壓軸題產(chǎn)生畏懼心理，出現(xiàn)直接放棄的情況，而基礎(chǔ)相對(duì)比較好的學(xué)生卻會(huì)由于自信心不強(qiáng)，出現(xiàn)半途而廢的情況.在數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)中，教師應(yīng)該面對(duì)全體學(xué)生，針對(duì)不同層次的學(xué)生，采取多樣化的引導(dǎo)方式，讓學(xué)生能更加高效率地完成壓軸題.

（一）獨(dú)立思考

教師在給出學(xué)生問題后，要注意不能急于講解，給學(xué)生留出獨(dú)立思考的時(shí)間及空間.在中考?jí)狠S題中，第一個(gè)問題一般都屬于基礎(chǔ)性問題，問題難度相對(duì)比較小，學(xué)生經(jīng)過獨(dú)立思考是可以完成的，只是學(xué)生的基礎(chǔ)、思維存在一定差異，在解決問題所費(fèi)時(shí)間上有所差別.在此階段，教師不能引導(dǎo)學(xué)生討論，保證學(xué)生能獨(dú)立解決基礎(chǔ)性問題，提高學(xué)生的自信心.

（二）師生交流

在中考?jí)狠S題的后續(xù)問題中，有一部分學(xué)生是無法獨(dú)立完成的，這時(shí)教師就要對(duì)學(xué)生進(jìn)行引導(dǎo).不同的學(xué)生在問題解決出發(fā)點(diǎn)上存在差異，有的學(xué)生會(huì)在解題中產(chǎn)生一些不成熟的想法，這些想法很有可能是教師沒有想過的，這時(shí)教師應(yīng)該耐心地傾聽學(xué)生意見，對(duì)學(xué)生正確的解題思路進(jìn)行鼓勵(lì)，如果是錯(cuò)誤的想法則要對(duì)學(xué)生進(jìn)行糾正.教師在與學(xué)生進(jìn)行交流時(shí)，需要將注意力放在指導(dǎo)方法上，不需要太過于看重學(xué)生最后的結(jié)論，關(guān)注學(xué)生解題思維、解題思路的拓展.初中數(shù)學(xué)教師需要意識(shí)到，每個(gè)層次的學(xué)生在解題時(shí)都有獨(dú)特的方法，教師可以指引學(xué)生對(duì)各種解題方法進(jìn)行比較，一方面拓展學(xué)生解題思維，另一方面讓學(xué)生在對(duì)比中提高自身的解題能力.先練后教可以很好地改變以往的教師課堂教學(xué)行為，教師需要與不同學(xué)生交流意見，不斷鼓勵(lì)、引導(dǎo)學(xué)生產(chǎn)生新的發(fā)現(xiàn).

（三）生生交流

生生交流是對(duì)師生交流的補(bǔ)充，有的學(xué)生不敢與教師交流想法，卻愿意和同學(xué)交流，教師可以引導(dǎo)學(xué)生在相互交流中提高自身的學(xué)習(xí)效果.從課程理論看，先練后教可以徹底改變學(xué)生模仿式練習(xí)的局面，學(xué)生的能力會(huì)在自主學(xué)習(xí)、合作探究中得到提升.無論是基礎(chǔ)比較差的學(xué)生，還是基礎(chǔ)較好的學(xué)生，都可以在合作交流中提升能力.特別是在解題中，學(xué)生相互交流解題思維，能很好地拓展學(xué)生的解題思路，讓學(xué)生在面對(duì)中考?jí)狠S題時(shí)更加具有解決信心.

總之，中考數(shù)學(xué)的壓軸題很可能是數(shù)形結(jié)合的問題，而最后一個(gè)小問的困難反映在數(shù)字和形式的組合的相互轉(zhuǎn)換中.回答時(shí)多加注意陷阱有助于厘清討論.由于當(dāng)前的課程改革更多地集中在思想的培養(yǎng)上，為了具有直接解決各種問題的效果，有必要在組織、分析和靈活運(yùn)用上有所作為.同時(shí)，學(xué)生需要善于學(xué)習(xí)和培養(yǎng)各種數(shù)學(xué)思維，以便也解決其他類型的最終問題并獲得更好的數(shù)學(xué)解決能力.