左衛(wèi)兵， 張一旎

(華北水利水電大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院 河南 鄭州 450046)

0 引言

為給不確定性信息處理理論提供可靠且合理的邏輯基礎(chǔ)，許多學者提出并研究了各種邏輯代數(shù)。 在眾多的邏輯代數(shù)中，文獻[1]提出的非交換剩余格是一種重要且應(yīng)用廣泛的代數(shù)系統(tǒng)，眾多學者從不同角度對非交換剩余格的性質(zhì)和結(jié)構(gòu)特征作了深入的研究。 特別地，偽MTL代數(shù)、偽BL代數(shù)等邏輯代數(shù)[2-3]，都可看成是非交換剩余格的特例，因此對非交換剩余格的研究有利于探究這些代數(shù)中的共同特征。

濾子是研究邏輯代數(shù)的一個重要工具，它對不同邏輯系統(tǒng)以及與之對應(yīng)的邏輯代數(shù)的完備性問題的研究發(fā)揮著重要作用。 目前，非交換剩余格及其他邏輯代數(shù)中已引入各種特殊濾子，如布爾濾子、蘊涵濾子、正蘊涵濾子、奇異濾子、PMTL濾子等，并獲得了許多重要結(jié)果[4-10]。文獻[11]提出模糊集的概念后，眾多學者將其應(yīng)用于多種代數(shù)結(jié)構(gòu)，使模糊理論得到了進一步發(fā)展[12-13]。 為了更好地揭示非交換剩余格的特性，學者們將模糊集的方法應(yīng)用于非交換剩余格中，提出了非交換剩余格上各類模糊濾子的概念。 其中，文獻[14]在非交換剩余格上提出了模糊濾子，模糊蘊涵濾子和模糊正蘊涵濾子的概念，討論了它們的基本性質(zhì)；文獻[15]進一步提出非交換剩余格上的模糊正蘊涵濾子，并指出其與模糊正蘊涵濾子的關(guān)系；隨后文獻[16]在非交換剩余格引入模糊極濾子的概念，證明了在一定條件下模糊極濾子和模糊正蘊涵濾子是等價的，文獻[17]在非交換剩余格上引入了模糊弱蘊涵濾子的概念，并給出了模糊極濾子與模糊弱蘊涵濾子相互等價的條件。 受上述工作的啟發(fā)，本文基于文獻[9]中非交換剩余格上PMTL濾子的概念，在非交換剩余格上定義模糊PMTL濾子，得到了模糊PMTL濾子的一系列等價刻畫，并引入非交換剩余格上模糊同余和模糊商代數(shù)的概念,證明了由模糊PMTL濾子生成的模糊商代數(shù)是偽MTL代數(shù)。

1 預備知識

(1) (L,∧,∨,0,1)為有界格；

(2) (L,?,1)是非交換幺半群；

在非交換剩余格L中，對?x∈L，定義x=x→0,～x=x

引理1[18]設(shè)L為非交換剩余格，則對任意x,y,z∈L，以下性質(zhì)成立：

(9)x?(y∨z)=(x?y)∨(x?z), (y∨z)?x=(y?x)∨(z?x)；

(12)x?y≤x∧y,特別地，x2≤x。

定義4[18]設(shè)F為非交換剩余格L的非空子集，若滿足

(1)x∈F,y∈F?x?y∈F,

(2)x∈F,x≤y?y∈F,

則稱F為非交換剩余格L的濾子。

引理2[18]設(shè)F為非交換剩余格L的非空子集，則以下條件等價：

(1)F是L的濾子；

(2)1∈F,且x,y∈L, (x∈F,x→y∈F)?y∈F；

定義6[19]設(shè)L是非交換剩余格，定義L到區(qū)間[0,1]的映射μ:L→[0,1]， 稱μ為L的模糊集。

定義7[19]設(shè)μ是非交換剩余格L的模糊集，對?t∈[0,1]，稱集合μt={x∈L|μ(x)≥t}是μ的水平截集。

下面用Γ(L)表示L上模糊集的全體，且對?x,y∈[0,1]，分別用x∨y和x∧y表示max{x,y},min{x,y}。

定義8[19]設(shè)μ∈Γ(L)，若μ滿足

(1) ?x,y∈L,x≤y?μ(x)≤μ(y),

(2) ?x,y∈L,μ(x)∧μ(y)≤μ(x?y),

則稱μ為L的模糊濾子。

定理1[19]設(shè)μ∈Γ(L)，則μ是非交換剩余格L的模糊濾子，當且僅當對?t∈[0,1]，μt不是空集就是L的濾子。

引理3[20]設(shè)μ∈Γ(L)，則以下條件等價：

(1)μ是模糊濾子；

(2)?x,y∈L,μ(1)≥μ(x),μ(y)≥μ(x)∧μ(x→y)；

引理4[19-20]設(shè)μ是非交換剩余格L的模糊濾子，則對?x,y,z∈L,以下性質(zhì)成立：

(1)μ(x?y)=μ(x)∧μ(y)；

(2)μ(x∧y)=μ(x)∧μ(y)；

2 模糊PMTL濾子

則L為非交換剩余格[4]。 定義L上的模糊集μ為μ(1)=μ(d)=t1,μ(a)=t2,μ(b)=t3,μ(c)=μ(0)=t4(0≤t4

定理2設(shè)μ是非交換剩余格L的模糊濾子，則μ是模糊PMTL濾子當且僅當對?t∈[0,1]，μt不是空集就是L的PMTL濾子。

推論2設(shè)μ是非交換剩余格L的模糊濾子，則μ是模糊PMTL濾子當且僅當μμ(1)是PMTL濾子。

推論3一個非空子集F是L的PMTL濾子當且僅當χF是L的模糊PMTL濾子。

3 模糊PMTL濾子的刻畫

定理3設(shè)μ是非交換剩余格L的模糊濾子，則對?x,y,z∈L，以下條件等價：

(1)μ是模糊PMTL濾子；

證明(1)?(2)。已知μ是模糊PMTL濾子。 設(shè)t=μ(x→(y∨z))，則x→(y∨z)∈μt。 由定理2知μt是PMTL濾子，則根據(jù)引理1(9)、(1)、(12)、(11)可得：

[(y→z)∨(z→y)]?[x→(y∨z)]=

{(y→z)?[x→(y∨z)]}∨

{(z→y)?[x→(y∨z)]}=

{[(y∨z)→z]?[x→(y∨z)]}∨

{[(y∨z)→y]?[x→(y∨z)]}≤

(x→z)∨(x→y)。

(2)?(3)。由引理1(10)以及模糊濾子的保序性易得。

(3)?(4)。設(shè)u=x→(y∨z)，由定理3(3)和引理1(8)可得：

μ{[x→(y∨z)]→[(x→y)∨(x→z)]}=

μ{u→[(x→y)∨(x→z)]}=

μ{[u→(x→y)]∨[u→(x→z)]}=

μ{[(u?x)→y]∨[(u?x)→z]}=

μ{[(u?x)]→(y∨z)}=

μ{u→[x→(y∨z)]}=μ(1)。

(4)?(1)。令x=y∨z，則結(jié)論成立。

定理4設(shè)μ是非交換剩余格L的模糊濾子，則對?x,y,z∈L, 以下條件等價：

(1)μ是模糊PMTL濾子；

證明(1)?(2)。已知μ是模糊PMTL濾子。 設(shè)t=μ((y∧z)→x)，則(y∧z)→x∈μt。 由定理2知μt是PMTL濾子，則根據(jù)引理1(9)、(12)、(2)、(11)可得：

[(y∧z)→x]?[(y→z)∨(z→y)]=

{[(y∧z)→x]?(y→z)}∨

{[(y∧z)→x]?(z→y)}=

{[(y∧z)→x]?[y→(y∧z)]}∨

{[(y∧z)→x]?[z→(y∧z)]}≤

(y→x)∨(z→x)。

(2)?(3)。由引理1(10)以及模糊濾子的保序性易得。

(3)?(4)。設(shè)u=(y∧z)→x，由定理4(3)和引理1(10)、(5)可得：

(4)?(1)。令x=y∧z，則結(jié)論成立。

定理5設(shè)μ是非交換剩余格L的模糊濾子，則對?x,y,z∈L,以下條件等價：

(1)μ是模糊PMTL濾子；

證明(1)?(2)。已知μ是模糊PMTL濾子。 設(shè)t=μ(x→z)，則x→z∈μt。 由定理2知μt是PMTL濾子，則根據(jù)引理1(9)、(12)、(11)可得：

[(z→y)∨(y→z)]?(x→z)=

[(z→y)?(x→z)]∨[(y→z)?

(x→z)]≤[(z→y)?(x→z)]∨

(y→z)≤(x→y)∨(y→z)。

(2)?(3)。設(shè)u=x→z，由引理1(10)、(4)、(8)可得：

μ{(x→z)→[(x→y)∨(y→z)]}=

μ{u→[(x→y)∨(y→z)]}≥

μ{[u→(x→y)]∨[u→(y→z)]}≥

μ{[u→(x→y)]∨(y→z)}=

μ{[(u?x)→y]∨(y→z)}≥

μ[(u?x)→z]=μ[u→(x→z)]=μ(1)。

(3)?(1)。令x=z，則結(jié)論成立。

定理6設(shè)μ是非交換剩余格L的模糊濾子，則對?x,y,z∈L,以下條件等價：

(1)μ是模糊PMTL濾子；

證明(1)?(2)。已知μ是模糊PMTL濾子。 由引理1(8)、(12)、(7)、(1)、(3)可得：

μ[(x→y)∨(y→x)]=μ(1)。

(2)?(3)。由引理4(3)可得。

4 非交換剩余格上的模糊同余關(guān)系

定義11設(shè)L為非交換剩余格，定義映射θ:L×L→[0,1]。 若滿足對?x,y,z∈L，下列條件成立：

(1)θ(1,1)=θ(x,x)；

(2)θ(x,y)=θ(y,x)；

(3)θ(x,z)≥θ(x,y)∧θ(y,z)；

(4)θ(x?z,y?z)∧θ(z?x,z?y)≥θ(x,y)；

則稱θ為L上的模糊同余關(guān)系。

定義12設(shè)θ是L上的模糊同余關(guān)系。 定義模糊集θx:θx(y)=θ(x,y)，稱模糊集θx是由模糊同余關(guān)系θ誘導出的關(guān)于x的一個模糊同余類。 稱L/θ={θx|x∈L}是由模糊同余關(guān)系θ誘導出的模糊商集。

引理5若θ是L上的模糊同余關(guān)系，則對?x,y∈L,θ(1,1)≥θ(x,y)。

證明設(shè)θ是L上的模糊同余關(guān)系，則由定義11知θ(1,1)=θ(x,x)，θ(x,x)≥θ(x,y)∧θ(y,x)=θ(x,y)。 因此θ(1,1)≥θ(x,y)。

引理6若θ是L上的模糊同余關(guān)系，則θ1是L的模糊濾子。

證明設(shè)θ是L上的模糊同余關(guān)系，則由引理5得：θ1(1)=θ(1,1)≥θ(1,x)=θ1(x)。 根據(jù)定義11可知，對?x,y∈L，θ(1,y)≥θ(1,x→y)∧θ(x→y,y)，又θ(x→y,y)=θ(x→y,1→y)≥θ(x,1)，則θ(1,y)≥θ(1,x→y)∧θ(x,1)，即θ(1,y)≥θ(1,x)∧θ(1,x→y)。 由定義12得：對?x,y∈L,θ1(y)≥θ1(x)∧θ1(x→y)。 綜上由引理3知θ1是L的模糊濾子。

證明根據(jù)引理4容易驗證θμ是模糊同余關(guān)系。

設(shè)μ是非交換剩余格L的模糊正規(guī)濾子，則對?x∈L，由θμ誘導出的關(guān)于x的模糊同余類記為μx。 由θμ誘導出的模糊商集記為L/μ。

充分性：因為μ(x→y)=μ(y→x)=μ(1)，由μ(x→z)≥μ(x→y)∧μ(y→z)和μ(y→z)≥μ(y→x)∧μ(x→z)，可得μ(x→z)=μ(y→z)。 類似地有μ(z→x)=μ(z→y)。 從而μx(z)=μy(z)，因此μx=μy。

第二個等價由μ是模糊正規(guī)濾子易得。

μx?μy≤μz?μx?y≤μz?

μ[(x?y)→z]=μ(1)?

μ[x→(y→z)]=μ(1)?

定理8設(shè)μ是非交換剩余格L的模糊正規(guī)濾子，則以下條件等價：

(1)μ是L的模糊PMTL濾子；

(2)L/μ是偽MTL代數(shù)。

5 總結(jié)

本文在非交換剩余格上引入了模糊PMTL濾子的概念，通過研究其特征和性質(zhì)，獲得了這類模糊濾子的一系列等價條件，提出了非交換剩余格上模糊同余和模糊商代數(shù)的定義，證明了由模糊PMTL濾子生成的模糊商代數(shù)是偽MTL代數(shù)。 相關(guān)結(jié)果豐富了非交換剩余格上的濾子理論。