臧鴻雁， 張志剛， 李 娜

(北京科技大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，北京 100083)

1 引 言

隨著數(shù)據(jù)科學(xué)的興起，概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的理論和方法越來(lái)越多地滲透到自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域，成為這些領(lǐng)域解決實(shí)際問(wèn)題的強(qiáng)有力工具.著名數(shù)學(xué)家拉普拉斯曾說(shuō)過(guò)：“生活中絕大多數(shù)問(wèn)題其實(shí)都是概率問(wèn)題.”講好概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程，對(duì)提升高校人才培養(yǎng)質(zhì)量有著十分重要的作用.各高等院校的數(shù)學(xué)工作者積極探索概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程的教學(xué)改革方法和課程中知識(shí)點(diǎn)的教學(xué)設(shè)計(jì)[1-3].

在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程教學(xué)中，隨機(jī)變量函數(shù)的分布是一個(gè)教學(xué)重點(diǎn)也是一個(gè)教學(xué)難點(diǎn)，很多數(shù)學(xué)工作者針對(duì)隨機(jī)變量函數(shù)的分布知識(shí)點(diǎn)的教學(xué)方法進(jìn)行研究[4-6].[4]利用分布函數(shù)法構(gòu)造一類適用于求解一維隨機(jī)變量函數(shù)分布的直觀解法，該方法基于數(shù)形結(jié)合思想構(gòu)建統(tǒng)一方法求解一維隨機(jī)變量函數(shù)的分布，確定了幾類適用的場(chǎng)合，并給出了三個(gè)典型例題的應(yīng)用過(guò)程.[5]針對(duì)X，Y分別是離散、連續(xù)不同類型的隨機(jī)變量的情形，如何求其函數(shù)g(X，Y)的分布的問(wèn)題給出了求解方法和應(yīng)用舉例.[6]中探討了一維連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布的求法及其在產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)中的應(yīng)用，關(guān)于隨機(jī)數(shù)的討論并未給出嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明和基于數(shù)值模擬的直觀結(jié)果.

荷蘭數(shù)學(xué)教育家弗萊登塔爾說(shuō)：“真正的數(shù)學(xué)家，常常憑借數(shù)學(xué)的直覺思維做出各種猜想，然后加以驗(yàn)證.猜想驗(yàn)證是一種重要的數(shù)學(xué)教學(xué)方法.”本文針對(duì)一維連續(xù)型隨機(jī)變量這一知識(shí)點(diǎn)，先提出問(wèn)題，依據(jù)數(shù)值模擬直觀猜測(cè)結(jié)果，再分析問(wèn)題，理論證明驗(yàn)證結(jié)果.最后以隨機(jī)數(shù)產(chǎn)生為目標(biāo)，從理論分析到直觀的數(shù)值模擬結(jié)果，對(duì)連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布這一知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行了拓展研究.

2 提出問(wèn)題并猜測(cè)結(jié)果

2.1 通過(guò)例子引入問(wèn)題

引例同學(xué)們?cè)诋厴I(yè)的時(shí)候，都會(huì)面臨著找工作的問(wèn)題，假設(shè)有這樣一份工作，月薪方案為底薪0.4萬(wàn)元加提成，提成為銷售額的10%，而月銷售額是個(gè)隨機(jī)變量X，假設(shè)其服從如下均勻分布X～U(2,4)(單位：萬(wàn)元)，求月薪超過(guò)7000元的概率？

首先，月薪是隨機(jī)變量Y，已知X～U(2,4)，可以得到X的概率密度函數(shù)為

還有一個(gè)關(guān)鍵的信息是容易獲得的，那就是Y和X之間的函數(shù)關(guān)系Y=0.4+0.1X.所以這個(gè)問(wèn)題的關(guān)鍵就是求月薪Y(jié)的分布.X經(jīng)過(guò)這樣一個(gè)線性變換之后還會(huì)服從均勻分布嗎？下面用數(shù)據(jù)做數(shù)值模擬直觀觀察Y的分布.

2.2 通過(guò)數(shù)值模擬猜測(cè)結(jié)果

用數(shù)據(jù)做實(shí)驗(yàn)看直觀的結(jié)果.首先，用Matlab生成區(qū)間(2,4)上均勻分布隨機(jī)數(shù)，再對(duì)這些數(shù)據(jù)進(jìn)行變換，做出變換后的數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)直方圖，如圖1.圖1(a)的變換函數(shù)為Y=0.4+0.1X.直觀感覺，均勻分布的數(shù)據(jù)變換經(jīng)過(guò)變換Y=0.4+0.1X后看起來(lái)還是均勻分布.如果改變變換函數(shù)是不是還能得到均勻分布呢？比如變換函數(shù)取對(duì)數(shù)函數(shù), 圖1(b)的變換函數(shù)為Y=lnX.由圖可見，經(jīng)過(guò)變換Y=lnX之后看起來(lái)不再均勻.直觀的結(jié)論是否正確？能否在理論上得到這樣的結(jié)果？進(jìn)一步探討理論上的解決問(wèn)題的方法.

(a)Y=0.4+0.1X (b)y=lnX

3 解決問(wèn)題的思路和方法

3.1 問(wèn)題分析及思路

問(wèn)題是如何由X的概率密度f(wàn)X(x)和Y與X的函數(shù)關(guān)系獲得Y的概率密度f(wàn)Y(y).直接建立X的概率密度和Y的概率密度之間的關(guān)系并不容易，概率密度函數(shù)與分布函數(shù)之間有關(guān)系，分布函數(shù)是由概率定義的，那是不是能從分布函數(shù)入手來(lái)間接尋找X與Y的概率密度之間的關(guān)系呢？關(guān)系的建立思路如圖2所示.這就是分布函數(shù)法的思路，具體的關(guān)系的建立見下面的例子和定理1所描述.

圖2 分布函數(shù)法思路圖

3.2 解決問(wèn)題

由前面的分析知道，可以從Y的分布函數(shù)FY(y)入手，再將Y替換為X的函數(shù)，從而轉(zhuǎn)換為X落入一個(gè)區(qū)間的概率，用FX(x)表示，詳細(xì)過(guò)程如下：

FY(y)=P{Y≤y}=P{0.4+0.1X≤y}=P{X≤10(y-0.4)}=FX(10(y-0.4)).

再兩邊對(duì)y求導(dǎo)，有

可見，Y～U(0.6,0.8),與前面的直觀感覺是一致的，從而很容易得到月薪超過(guò)7000元的概率為1/2.問(wèn)題研究到這里就可以解決引例中的問(wèn)題了，但研究不滿足于此，這種方法推廣到一般的函數(shù)，能得到什么樣的具有一般性的條件和結(jié)論呢？

4 一般性的問(wèn)題描述和方法探索

很容易給出問(wèn)題的一般描述，即已知X的概率密度f(wàn)X(x)和Y與X的函數(shù)關(guān)系Y=g(X),求Y的概率密度f(wàn)Y(y).解決該問(wèn)題的思路見圖2，從Y的分布函數(shù)入手.

FY(y)=P{Y≤y}=P{g(X)≤y}

進(jìn)一步要想從不等式中解出X的表達(dá)式，必須加條件，如果y=g(x)單調(diào)遞增，則其存在反函數(shù)g-1，令g-1=h.則上式可以進(jìn)一步推導(dǎo)

FY(y)=P{Y≤y}=P{g(X)≤y}=P{g-1(g(X))≤g-1(y)}=P{X≤h(y)}=FX(h(y)).

對(duì)上式兩邊對(duì)y求導(dǎo)，還需要補(bǔ)充條件，若h(y)是可導(dǎo)的，由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式，則有

fY(y)=F′Y(y)=fX(h(y))·h′(y).

這樣，很容易得到下面定理1.

定理1若隨機(jī)變量X的概率密度f(wàn)X(x)在[a,b]外等于零，在區(qū)間[a,b]上恒有g(shù)′(x)>0，(注意：包含了前面推到所需要的兩個(gè)條件y=g(x)單調(diào)遞增和h(y)可導(dǎo))，則有結(jié)論

有了上述的啟發(fā)和推導(dǎo)，進(jìn)一步提出問(wèn)題：

(i)若y=g(x)單調(diào)遞減，會(huì)得到什么樣的結(jié)論？

(ii)若隨機(jī)變量X的概率密度f(wàn)X(x)在(-∞,+∞)上都非零，上述結(jié)論有什么變化？

(iii)若y=g(x)不單調(diào)怎么辦？

以上問(wèn)題讓學(xué)生自己去思考和拓展即可.另外，公式法的條件比較苛刻，[7]中給出了連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)分布的更一般的公式法.

5 知識(shí)拓展

通過(guò)前面的分析，如果X～U(0,1)，則X的線性函數(shù)也服從均勻分布，比如Y=2X+1，則Y～U(1,3),如圖3所示.

圖3 均勻分布的線性函數(shù)的分布

進(jìn)一步思考，如果想由均勻分布得到指數(shù)分布，能不能找到相應(yīng)的變換函數(shù)呢？為了回答這個(gè)問(wèn)題，給出以下定理2.

定理2如果X的分布函數(shù)為F(x),且F(x)為嚴(yán)格單調(diào)遞增連續(xù)函數(shù)，令Y=F(X)，則Y～U(0,1).(證明略)

基于上述定理，很容易得出以下結(jié)論：

如果Y～U(0,1)，想利用Y得到其它分布的隨機(jī)變量，如果想獲得分布函數(shù)為F(x)的隨機(jī)變量X，則只需要做變換X=F-1(Y)即可.比如，X～U(0,1)，想獲得參數(shù)為1的指數(shù)分布，其分布函數(shù)和反函數(shù)分別為

由參數(shù)為1的指數(shù)分布的分布函數(shù)的反函數(shù)形式，很容易找到變換函數(shù)為Y=-ln(1-X).所以，令Y=-ln(1-X),則Y服從參數(shù)為1的指數(shù)分布.用Matlab生成[0,1]上均勻分布的隨機(jī)數(shù)10000個(gè)，對(duì)這些隨機(jī)數(shù)進(jìn)行Y=-ln(1-X)的變換，隨著數(shù)據(jù)量的增加，變換后的數(shù)據(jù)越來(lái)越接近指數(shù)分布，樣本概率密度和理論概率密度越來(lái)越接近，如圖4所示.數(shù)值模擬的結(jié)果，驗(yàn)證了理論的正確性.

圖4 Y=-ln(1-X)的分布

隨機(jī)數(shù)應(yīng)用領(lǐng)域十分廣泛，比如，彩票、博弈、通信、計(jì)算機(jī)仿真、計(jì)算物理學(xué)等，而以上結(jié)論為產(chǎn)生各種分布的隨機(jī)數(shù)提供了重要的理論依據(jù).

6 教學(xué)效果評(píng)價(jià)

關(guān)于隨機(jī)變量函數(shù)的分布教學(xué)設(shè)計(jì)中，本節(jié)的問(wèn)題和解決問(wèn)題的方法是否掌握？隨機(jī)變量的函數(shù)的分布中生成隨機(jī)數(shù)的拓展是否可以理解？是否有意義？本節(jié)課的收獲怎么樣等問(wèn)題，筆者針對(duì)北京科技大學(xué)2019級(jí)的物聯(lián)網(wǎng)、信安、材控三個(gè)專業(yè)的160名左右的學(xué)生做了問(wèn)卷調(diào)查，回收問(wèn)卷145份，結(jié)果見圖5.

圖5 關(guān)于學(xué)生學(xué)習(xí)效果的調(diào)查問(wèn)卷柱狀圖

由圖5可見，學(xué)生對(duì)本文提出的教學(xué)設(shè)計(jì)有較高的認(rèn)可度.從圖5(c)的結(jié)果可以看出，盡管有些同學(xué)不能完全掌握本節(jié)的知識(shí)，但依然覺得關(guān)于隨機(jī)數(shù)的拓展是十分有必要的.學(xué)生對(duì)知識(shí)拓展的需求是比較強(qiáng)烈的，而課堂上增加知識(shí)拓展部分能夠提升知識(shí)的高階性和挑戰(zhàn)度.

7 結(jié) 論

本文針對(duì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程中的連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布這個(gè)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行了教學(xué)設(shè)計(jì)，提出問(wèn)題，依據(jù)數(shù)值模擬直觀猜測(cè)結(jié)果，分析解決問(wèn)題的思路，解決問(wèn)題，推廣到更一般的問(wèn)題描述，探索更一般解決問(wèn)題的方法，以應(yīng)用為導(dǎo)對(duì)知識(shí)進(jìn)行了拓展.最后通過(guò)對(duì)學(xué)生的調(diào)查問(wèn)卷顯示，本教學(xué)設(shè)計(jì)學(xué)生能夠使學(xué)生較好地掌握本節(jié)知識(shí)點(diǎn)，學(xué)會(huì)了解決問(wèn)題的方法，得到的學(xué)生認(rèn)可度較高，該教學(xué)設(shè)計(jì)方法可以類似推廣到其它知識(shí)點(diǎn)的教學(xué)設(shè)計(jì)中.

致謝作者非常感謝相關(guān)文獻(xiàn)對(duì)本文的啟發(fā)以及審稿專家提出的寶貴意見.