張家怡, 余曉養(yǎng), 夏志樂

(臺州學(xué)院 數(shù)學(xué)系，浙江 臨海 317000)

1 引 言

目前，乘坐出租車是乘客到達目的地的主要交通方式之一，其便利性正日益成為許多城市的顯著流動模式[1-5].機場的乘客若想“打車”需去“乘車區(qū)”，此時，管理人員將分批放行一定數(shù)量的出租車到該區(qū)域.因此，機場的服務(wù)水平一定程度上影響著到達機場出租車司機的決策，“載客返市”或“空車返市”，即

(A)司機在機場蓄車池等待下一乘客返回市區(qū)，其中等待時間與乘客數(shù)量及蓄車池中排隊的出租車數(shù)量成正比；

(B)司機到達機場后，不繼續(xù)載運乘客，直接返回市區(qū)進行拉客，但其需承擔(dān)這段路程的車油費及放棄的潛在利益.

一般情況下，到達機場的出租車司機可以得到該時段的航班情況及蓄車池中出租車數(shù)量的信息，再根據(jù)自己的個人經(jīng)驗(如淡、旺季航班及乘客數(shù)量)作出決策.在現(xiàn)實生活中，影響司機作出決策的因素有很多且效果各異.因此，有必要建立具體的數(shù)學(xué)模型，定量分析各種因素，優(yōu)化出租車服務(wù)系統(tǒng).近年來，城市出租車問題得到了廣泛的研究，文獻[1]以北京站為例，利用費用決策模型對多點并列式出租車排隊服務(wù)系統(tǒng)的服務(wù)臺數(shù)進行了數(shù)量優(yōu)化；文獻[2]利用GooSeeker抓取某一城市的出租車數(shù)據(jù)，運用排隊論建立了供需匹配模型，分析了不同時空出租車資源的“供求匹配”程度；針對城市道路系統(tǒng)實際情況，Zhang等[3]提出了一種能夠滿足道路通行能力的通用多服務(wù)器M/M/c排隊模型，并討論了排隊模型的穩(wěn)態(tài)分布和漸近性質(zhì)；Sayarshad等[4]使用紐約出租車數(shù)據(jù)，基于排隊論模型，提出了一種新的預(yù)測出租車未來需求及運行狀態(tài).Ramezani等[5]從宏觀層面研究了城市出租車調(diào)度的建模問題，提出用宏觀基本圖方法來表示交通狀況的動態(tài)演變.以上結(jié)果表明，出租車服務(wù)系統(tǒng)的缺乏將導(dǎo)致出租車閑置嚴重積聚，提高出租車服務(wù)性能能有效降低交通擁擠，提高司機的收益.以上文獻主要研究市區(qū)出租車問題，實際中，往返機場和城市間的乘客數(shù)量越來越多，因此有必要研究往返于機場和城市間的出租車面臨的問題，即“載客返市”“空車返市”兩種決策下司機收益的情況.

基于以上討論，本文研究往返于機場和城市間出租車司機“載客返市”和“空車返市”兩種決策下的收益情況，與已有文獻相比，創(chuàng)新點如下：

(i)研究往返于機場和城市間出租車司機作出決策的機理，同時考慮乘客數(shù)量和司機收益兩個方面，為出租車司機建立合理的決策模型并給出策略方案；

(ii)通過爬蟲技術(shù)從攜程網(wǎng)中搜集某機場的相關(guān)數(shù)據(jù)及該城市出租車數(shù)量，為該機場的出租車司機設(shè)計方案，并檢驗其合理性；

(iii)在保證交通安全的情況下，以提高某機場擁有兩條并行車道的“乘車區(qū)”的效率為目的，設(shè)置上車點并合理安排出租車及上車乘客；

(iv)為了平衡司機的收益情況，為機場設(shè)計合理的安排方案，給予一些短途載客司機一定的“優(yōu)先權(quán)”.

本文研究問題來源于2019年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽C題.

2 問題描述

2.1 問題一描述

影響司機作出等待客人或空車返回市區(qū)的策略選擇的因素很多，因此，從主要因素即司機收益狀況入手，進行分類討論：

(i)當(dāng)選擇乘坐出租車的乘客數(shù)量多于等待的出租車數(shù)量時，利用排隊論中的先到先服務(wù)的原則對選擇待客決策的司機收益情況進行分析；接著再考慮“放空”返市的決策的收益情況，先是根據(jù)泊松分布預(yù)估司機返回市區(qū)時所接客的波數(shù)，其次，通過出租車的價格表及單位里程消耗的油費，計算出司機的收益情況，最后比較兩種情況的收益數(shù)，為司機作出合理的選擇決策；

(ii)當(dāng)選擇乘坐出租車的乘客數(shù)量少于等待的出租車數(shù)量時，可如上對“載客返市”及“空車返市”兩種情況進行分析比較，得到?jīng)Q策模型.

2.2 問題二描述

問題二是在問題一模型的基礎(chǔ)上進行求解的，但問題二需要結(jié)合實際情況進行分析.因此，先收集上海浦東國際機場的相關(guān)信息，即航班信息、該機場飛機的平均客座率及該城市的出租車收費表、機場到市區(qū)的大致距離，再利用第一題的方法建立模型，依據(jù)實際情況中司機到達機場時的時間、機場乘客數(shù)及等待客人的出租車數(shù)量，通過Matlab計算該種情況下載客與放空的收益結(jié)果并進行比較，由此為機場出租車司機設(shè)計合理的方案.

2.3 問題三描述

問題三需要為機場設(shè)計合理的“上車點”，使得在保證交通安全的情況下，提高機場的乘車效率.因此，在設(shè)計方案時，充分考慮交通擁堵、乘客上出租車的方位等問題，繪制出并行車道為X形立橋的示意圖，并建立乘車效率模型的示意圖.

2.4 問題四描述

對于問題四，從平衡出租車司機之間的收益角度出發(fā)，考慮短途載客司機的優(yōu)先權(quán)問題，引入排隊模型的優(yōu)先服務(wù)權(quán)規(guī)則理論，對各時段內(nèi)平均機場司機數(shù)量進行 5 等份，然后依據(jù)各等分的司機往返時間即從載客離開“乘車區(qū)”開始算起到返回“蓄車池”截止的時間段進行設(shè)計方案，往返時間越短的出租車賦予的優(yōu)先級越高，令相應(yīng)的優(yōu)先級對應(yīng)所標(biāo)識的車道，且優(yōu)先級越高距離“乘車區(qū)”越近，有優(yōu)先進入“乘車區(qū)”的特權(quán)，優(yōu)先級最低的同當(dāng)日還未再過客的出租車安排在同一車道，因此，可得機場的設(shè)計方案.最后通過計算第k級優(yōu)先級的出租車司機的平均等待時間和平均隊長，預(yù)估該系統(tǒng)優(yōu)先權(quán)對出租車司機排隊等待模型的影響，來檢驗該方案的合理性.

3 模型建立

3.1 問題一模型的建立

影響出租車司機決策的因素有：排隊的出租車數(shù)量、機場下飛機乘客的數(shù)量、機場到市區(qū)所需時間等.為給出租車司機設(shè)計合理的選擇策略，考慮從出租車司機的收益情況出發(fā)，通過比較分析某時間點乘客數(shù)量和此時正在排隊等候載客的出租車數(shù)量，討論分析以下兩種情況：

若從司機所在地到達乘客目的地的距離為S′,則乘客乘坐出租車的價格為

(1)

若司機依照先到先提供客源的排隊安排進行等候，則令其花費的待客時間為xM,載客返回到市區(qū)時間為St0,那么司機在xM+St0長的時間得到的收益為Q1=W-SL.

若出租車司機不載客，選擇直接花費St0時間返回市區(qū)并在市區(qū)繼續(xù)接客.而司機在市區(qū)接到乘客的情況為排隊論中的最簡單流的輸入，即在一定時間間隔內(nèi)，司機接到k波乘客的概率僅與這段時間的長短有關(guān)，故具有平穩(wěn)性；在時間區(qū)[t,t+Δt]內(nèi)來到k個乘客的概率與時間t之前來多少乘客無關(guān)，故具有無后效性；且在瞬時內(nèi)只能有一波乘客到達，不可能有兩波及兩波以上顧客同時到達，故具有普遍性.在滿足以上三個條件后，可知在時間t內(nèi)司機能接到k波乘客的概率服從泊松分布[11]，即為

其中參數(shù)μ表示單位時間內(nèi)到達乘客的平均數(shù)，當(dāng)Δt充分小后，在[t,t+Δt]時間內(nèi)無顧客到達的概率為v0(Δt)=e-μt≈1-μΔt.

其中，k1指在“供不應(yīng)求”放空返回市區(qū)狀態(tài)下，在時間xM下，以90%的概率預(yù)估司機可能接到的乘客數(shù).

第二種情況，當(dāng)該時間點乘客數(shù)量小于此時“蓄車池”里的車輛數(shù)，即表現(xiàn)為“供過于求”.通過查閱的相關(guān)數(shù)據(jù)[7]發(fā)現(xiàn)，一般情況下，一批航班抵達機場的乘客人數(shù)K中在白天和晚上選擇出租車的比例相對穩(wěn)定，設(shè)該比例為λ,第i個時間段所有航班的艙位個數(shù)為Ri,α為平均客座率，Ti為司機等待的第i批航班所消耗的時間，其中∑αRiλ+K0≥M+1,因此司機到達機場至回到市區(qū)的時間間隔為St0+∑Ti.其得到的收入為Q3=W-SL.

若司機選擇放空返回，其與第一種情形的“放空”原理類似，因此，司機在該時間段的收益為

其中，k2指在“供過于求”放空返回市區(qū)狀態(tài)下，在時間∑Ti+St0下，以90%的概率預(yù)估司機可能接到的乘客數(shù).

利用上述式子可為司機設(shè)計選擇策略，可得表1.

表1 供不應(yīng)求的情況

表2 供過于求的情況

3.2 問題二模型的建立

3.2.1 當(dāng)某一機場的相關(guān)數(shù)據(jù)及出租車數(shù)量可以獲得的情況下，本文提出以下算法為出租車司機提供決策，并檢驗其合理性.

算法1：

輸入：航班信息、乘客數(shù)量K0、排隊等候的車輛M以及時間為星期A、t時段；

輸出：“排隊等待”或 “放空返回”；

具體步驟：

(i)如果K0≥M,轉(zhuǎn)(ii)，否則轉(zhuǎn)(iii);

(ii)如果t屬于早上5點～夜間23點，轉(zhuǎn)(iv)，否則轉(zhuǎn)(v);

(iii)如果t屬于夜間23點～早上5點，轉(zhuǎn)(ix)，否則轉(zhuǎn)(x);

(vi)如果Q1>Q2,轉(zhuǎn)(vii)，否則轉(zhuǎn)(viii);

(vii)選擇“排隊等候”策略更優(yōu)；

(viii)選擇“放空返回”策略更優(yōu)；

(xi)如果Q3≥Q4,轉(zhuǎn)(xii)，否則轉(zhuǎn)(xiii);

(xii)選擇“排隊等候”策略更優(yōu)；

(xiii)選擇“放空返回”策略更優(yōu).

3.2.2 模型的合理性分析：

該模型是建立在問題一模型的基礎(chǔ)上建立的，針對收集某一給定機場的相關(guān)信息以及當(dāng)?shù)爻鲎廛嚨南嚓P(guān)數(shù)據(jù)對模型一進行了微調(diào).該模型從實際的兩種角度出發(fā)，分別在“供不應(yīng)求”和“供過于求”的情況下出租車司機該如何抉擇.兩種情況都先分析如果出租車司機排隊等候并載到了乘客時所花費的時間，再考慮若選擇放空返回市區(qū)司機的收益情況，假定出租車司機無論是接到乘客還是放空返回所花費的時間是等同的，則只需考慮司機若將排隊等候的時間用來在市區(qū)接載乘客，所獲取的收益與之進行對比，在相同時間下對比收益具有一定的合理性，并且我們對現(xiàn)實分情況討論，在不同情況先給出的選擇建議也會隨之發(fā)生改變.

對相關(guān)因素的依賴性.主要通過研究乘客數(shù)量的變化規(guī)律以及對比現(xiàn)已有乘客數(shù)與已正在排隊等候的出租車數(shù)的數(shù)量關(guān)系，數(shù)量關(guān)系不同，選擇方案也會不同.若在“供不應(yīng)求”的情況下，則無需考慮后面的航班信息；若在“供過于求”情況下，還需知道后面的航班數(shù)量以及對客座率的估值，因為等待時間將會根據(jù)航班抵達情況被拉長.從機場到市區(qū)的時間也是一個重要因素，若放空返回，司機必然要承擔(dān)空載油費的損失，但如果等待時間過長，在這段時間司機可通過在市區(qū)爭取收益來彌補損失，該種情況下放空返回市區(qū)或許會成為更好的選擇.

3.3 問題三模型的建立與分析[8]

蒙特卡洛模擬法[9]，是一種通過設(shè)定隨機變量的過程，反復(fù)利用某種分布的隨機數(shù)生成時間序列，表示現(xiàn)實中可能出現(xiàn)的隨機現(xiàn)象.又因每次實驗只能代表一次可能出現(xiàn)的情況，所以，需要通過多次實驗數(shù)從而獲取有價值的統(tǒng)計結(jié)論.

蒙特卡洛模擬模型約束條件

① 乘客數(shù)量足夠多，“乘車區(qū)”不會出現(xiàn)“車等人情況”；且“蓄車池”出租車數(shù)量足夠多，不會出現(xiàn)乘客無車可坐情況；

② “乘車區(qū)”存在n個泊位，n位乘客同時上車；

③ “乘車區(qū)”每個乘客上車的時間均服從同一分布為y=f(x)=f(x1,x2,…)；

3.3.1 模型建立

其中C′表示并行車道通行能力(人/h),η表示每輛出租車平均載客人數(shù)，據(jù)了解，η一般等于1.4.

3.3.2 模型分析

重復(fù)操作上述模型，可得y個獨立通行能力數(shù)值，分別記作C′i(i=1,2,…,y),取其平均數(shù)得

3.4 問題四的模型的建立與分析

3.4.1 模型的建立

基于排隊模型的帶優(yōu)先服務(wù)權(quán)[10],非強占性優(yōu)先權(quán)是指一個高優(yōu)先級的出租車司機到達，也不能強制已經(jīng)進入“乘車區(qū)”的低優(yōu)先級出租車司機返回“蓄車池”.也就是說，一旦一名出租車司機開始進入“乘車區(qū)”載客，這項服務(wù)就不能被打斷直至服務(wù)結(jié)束.

若出租車司機在將乘客送達目的地后迅速返回“蓄車池”后，根據(jù)出租車司機載客里程的長短擬對返回的司機賦予優(yōu)先級，這里可以用司機往返時間長短來代表其載客里程長短.

從出租車司機搭載乘客離開“乘車區(qū)”開始計時，直至司機再次返回“蓄車池”截止計時，對出租車司機賦予N個優(yōu)先級(其中，一級表示最高優(yōu)先級)，若同屬于一個優(yōu)先級內(nèi)，則依據(jù)“先到先服務(wù)”原則.現(xiàn)假設(shè)某城市出租車司機載客往返時間為0

(v)當(dāng)t>2T時，將其連同當(dāng)日還未在機場接載過乘客的出租車司機一起劃分為五級優(yōu)先級(最低優(yōu)先級).

并將“蓄車池”劃分為5個車道，分別標(biāo)號為1～5，相應(yīng)級別優(yōu)先級的出租車進入對應(yīng)標(biāo)號的“蓄車池”車道.同時，優(yōu)先級別越高的車道距離“乘車區(qū)”越近，并且有優(yōu)先進入“乘車區(qū)”載客的權(quán)利.

帶優(yōu)先權(quán)服務(wù)的[M/M/s]排隊系統(tǒng)服務(wù), 因此可知，這是一個[M/M/s]排隊系統(tǒng)服務(wù)：表示出租車司機抵達蓄車池為泊松分布，在乘車區(qū)安排乘客上車時間為負指數(shù)分布，有s個乘車區(qū).

為了體現(xiàn)該系統(tǒng)優(yōu)先權(quán)對出租車司機排隊等待模型的影響，對方案合理性進行檢測.需要計算第k級優(yōu)先級的出租車司機的平均等待時間(Wk,k=1,2，…，N)和平均隊長(Lk,k=1,2，…，N).其中，Wk表示在穩(wěn)定狀態(tài)下k級優(yōu)先級的出租車平均等待時間(包括在乘車區(qū)停留的時間)，則非搶占性模型表示如下：

其中

Lk表示k級優(yōu)先級在穩(wěn)定狀態(tài)下的平均隊長(包括正在乘車區(qū)停車載客的出租車).

3.4.2 模型分析

根據(jù)上述模型的描述，可設(shè)計如下方案表及方案圖：

表3 機場出租車優(yōu)先級別劃分表

4 案例分析

通過查閱相關(guān)文獻，發(fā)現(xiàn)2018年上海浦東機場飛機平均客座率為83.2%；再通過爬蟲技術(shù)從攜程網(wǎng)中獲取該機場不同時間段抵達的航班號，接著從航空公司官網(wǎng)中查找對應(yīng)航班的座位數(shù).

據(jù)了解，上海浦東機場近兩年抵達人數(shù)的比例是相對穩(wěn)定的.白天乘客選擇出租車的比例為15%，夜間為45%，該市出租車收費標(biāo)準如下表所示：

表4 上海市出租車收費標(biāo)準表

又知出租車司機油費L=0.6元/公里；站點最高發(fā)車率為10輛/分鐘提高到30輛/分鐘；機場到市區(qū)距離為48公里；市區(qū)限速為70公里/小時，高速限速為110公里/小時，為方便起見，可設(shè)司機開車的平均速率為90公里/小時.根據(jù)司機到達機場時機場現(xiàn)有乘客數(shù)、蓄車池中等待的出租車數(shù)量及時間，通過算法1，得司機決策方案如下：

表5 部分情況司機策略選擇表

以上結(jié)果驗證了本文所提模型的正確性和有效性.

5 結(jié) 論

(i)依據(jù)泊松分布原理，以機場司機面臨兩種載客選擇為背景，并以上海浦東國際機場為研究對象，分析研究“載客返市”“空車返市”兩種決策下司機收益情況，通過建立排隊論模型，利用Matlab為機場司機設(shè)計合理的決策方案.同時，為機場設(shè)計“X形立橋”并行車道提高乘車效率.

(ii)通過分析機場普遍存在的出租車問題以及研究影響出租車司機選擇決策的影響因素所建立的模型，對各個城市機場的出租車司機的策略選擇均具有啟發(fā)性作用，且具有較強的應(yīng)用性；模型對一些不確定因素進行概率預(yù)測，通過比較較高概率下兩個不同選擇可能獲得的收益時間，對出租車司機的選擇提出合理建議；通過對出租車司機劃分優(yōu)先級以及通道來賦予某些出租車一定的“優(yōu)先權(quán)”，既維護了司機的利益，又能維持現(xiàn)場秩序.

(iii)存在的不足有不能將所有的影響決策因素納入計算，依然存在統(tǒng)計偏差.但建立的模型方法簡單易行，且易于應(yīng)用于現(xiàn)實生活.

致謝作者非常感謝審稿人提出的寶貴意見以及相關(guān)文獻對本文的啟示.