張家怡, 余曉養(yǎng), 夏志樂

(臺(tái)州學(xué)院 數(shù)學(xué)系，浙江 臨海 317000)

1 引 言

目前，乘坐出租車是乘客到達(dá)目的地的主要交通方式之一，其便利性正日益成為許多城市的顯著流動(dòng)模式[1-5].機(jī)場(chǎng)的乘客若想“打車”需去“乘車區(qū)”，此時(shí)，管理人員將分批放行一定數(shù)量的出租車到該區(qū)域.因此，機(jī)場(chǎng)的服務(wù)水平一定程度上影響著到達(dá)機(jī)場(chǎng)出租車司機(jī)的決策，“載客返市”或“空車返市”，即

(A)司機(jī)在機(jī)場(chǎng)蓄車池等待下一乘客返回市區(qū)，其中等待時(shí)間與乘客數(shù)量及蓄車池中排隊(duì)的出租車數(shù)量成正比；

(B)司機(jī)到達(dá)機(jī)場(chǎng)后，不繼續(xù)載運(yùn)乘客，直接返回市區(qū)進(jìn)行拉客，但其需承擔(dān)這段路程的車油費(fèi)及放棄的潛在利益.

一般情況下，到達(dá)機(jī)場(chǎng)的出租車司機(jī)可以得到該時(shí)段的航班情況及蓄車池中出租車數(shù)量的信息，再根據(jù)自己的個(gè)人經(jīng)驗(yàn)(如淡、旺季航班及乘客數(shù)量)作出決策.在現(xiàn)實(shí)生活中，影響司機(jī)作出決策的因素有很多且效果各異.因此，有必要建立具體的數(shù)學(xué)模型，定量分析各種因素，優(yōu)化出租車服務(wù)系統(tǒng).近年來，城市出租車問題得到了廣泛的研究，文獻(xiàn)[1]以北京站為例，利用費(fèi)用決策模型對(duì)多點(diǎn)并列式出租車排隊(duì)服務(wù)系統(tǒng)的服務(wù)臺(tái)數(shù)進(jìn)行了數(shù)量?jī)?yōu)化；文獻(xiàn)[2]利用GooSeeker抓取某一城市的出租車數(shù)據(jù)，運(yùn)用排隊(duì)論建立了供需匹配模型，分析了不同時(shí)空出租車資源的“供求匹配”程度；針對(duì)城市道路系統(tǒng)實(shí)際情況，Zhang等[3]提出了一種能夠滿足道路通行能力的通用多服務(wù)器M/M/c排隊(duì)模型，并討論了排隊(duì)模型的穩(wěn)態(tài)分布和漸近性質(zhì)；Sayarshad等[4]使用紐約出租車數(shù)據(jù)，基于排隊(duì)論模型，提出了一種新的預(yù)測(cè)出租車未來需求及運(yùn)行狀態(tài).Ramezani等[5]從宏觀層面研究了城市出租車調(diào)度的建模問題，提出用宏觀基本圖方法來表示交通狀況的動(dòng)態(tài)演變.以上結(jié)果表明，出租車服務(wù)系統(tǒng)的缺乏將導(dǎo)致出租車閑置嚴(yán)重積聚，提高出租車服務(wù)性能能有效降低交通擁擠，提高司機(jī)的收益.以上文獻(xiàn)主要研究市區(qū)出租車問題，實(shí)際中，往返機(jī)場(chǎng)和城市間的乘客數(shù)量越來越多，因此有必要研究往返于機(jī)場(chǎng)和城市間的出租車面臨的問題，即“載客返市”“空車返市”兩種決策下司機(jī)收益的情況.

基于以上討論，本文研究往返于機(jī)場(chǎng)和城市間出租車司機(jī)“載客返市”和“空車返市”兩種決策下的收益情況，與已有文獻(xiàn)相比，創(chuàng)新點(diǎn)如下：

(i)研究往返于機(jī)場(chǎng)和城市間出租車司機(jī)作出決策的機(jī)理，同時(shí)考慮乘客數(shù)量和司機(jī)收益兩個(gè)方面，為出租車司機(jī)建立合理的決策模型并給出策略方案；

(ii)通過爬蟲技術(shù)從攜程網(wǎng)中搜集某機(jī)場(chǎng)的相關(guān)數(shù)據(jù)及該城市出租車數(shù)量，為該機(jī)場(chǎng)的出租車司機(jī)設(shè)計(jì)方案，并檢驗(yàn)其合理性；

(iii)在保證交通安全的情況下，以提高某機(jī)場(chǎng)擁有兩條并行車道的“乘車區(qū)”的效率為目的，設(shè)置上車點(diǎn)并合理安排出租車及上車乘客；

(iv)為了平衡司機(jī)的收益情況，為機(jī)場(chǎng)設(shè)計(jì)合理的安排方案，給予一些短途載客司機(jī)一定的“優(yōu)先權(quán)”.

本文研究問題來源于2019年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽C題.

2 問題描述

2.1 問題一描述

影響司機(jī)作出等待客人或空車返回市區(qū)的策略選擇的因素很多，因此，從主要因素即司機(jī)收益狀況入手，進(jìn)行分類討論：

(i)當(dāng)選擇乘坐出租車的乘客數(shù)量多于等待的出租車數(shù)量時(shí)，利用排隊(duì)論中的先到先服務(wù)的原則對(duì)選擇待客決策的司機(jī)收益情況進(jìn)行分析；接著再考慮“放空”返市的決策的收益情況，先是根據(jù)泊松分布預(yù)估司機(jī)返回市區(qū)時(shí)所接客的波數(shù)，其次，通過出租車的價(jià)格表及單位里程消耗的油費(fèi)，計(jì)算出司機(jī)的收益情況，最后比較兩種情況的收益數(shù)，為司機(jī)作出合理的選擇決策；

(ii)當(dāng)選擇乘坐出租車的乘客數(shù)量少于等待的出租車數(shù)量時(shí)，可如上對(duì)“載客返市”及“空車返市”兩種情況進(jìn)行分析比較，得到?jīng)Q策模型.

2.2 問題二描述

問題二是在問題一模型的基礎(chǔ)上進(jìn)行求解的，但問題二需要結(jié)合實(shí)際情況進(jìn)行分析.因此，先收集上海浦東國(guó)際機(jī)場(chǎng)的相關(guān)信息，即航班信息、該機(jī)場(chǎng)飛機(jī)的平均客座率及該城市的出租車收費(fèi)表、機(jī)場(chǎng)到市區(qū)的大致距離，再利用第一題的方法建立模型，依據(jù)實(shí)際情況中司機(jī)到達(dá)機(jī)場(chǎng)時(shí)的時(shí)間、機(jī)場(chǎng)乘客數(shù)及等待客人的出租車數(shù)量，通過Matlab計(jì)算該種情況下載客與放空的收益結(jié)果并進(jìn)行比較，由此為機(jī)場(chǎng)出租車司機(jī)設(shè)計(jì)合理的方案.

2.3 問題三描述

問題三需要為機(jī)場(chǎng)設(shè)計(jì)合理的“上車點(diǎn)”，使得在保證交通安全的情況下，提高機(jī)場(chǎng)的乘車效率.因此，在設(shè)計(jì)方案時(shí)，充分考慮交通擁堵、乘客上出租車的方位等問題，繪制出并行車道為X形立橋的示意圖，并建立乘車效率模型的示意圖.

2.4 問題四描述

對(duì)于問題四，從平衡出租車司機(jī)之間的收益角度出發(fā)，考慮短途載客司機(jī)的優(yōu)先權(quán)問題，引入排隊(duì)模型的優(yōu)先服務(wù)權(quán)規(guī)則理論，對(duì)各時(shí)段內(nèi)平均機(jī)場(chǎng)司機(jī)數(shù)量進(jìn)行 5 等份，然后依據(jù)各等分的司機(jī)往返時(shí)間即從載客離開“乘車區(qū)”開始算起到返回“蓄車池”截止的時(shí)間段進(jìn)行設(shè)計(jì)方案，往返時(shí)間越短的出租車賦予的優(yōu)先級(jí)越高，令相應(yīng)的優(yōu)先級(jí)對(duì)應(yīng)所標(biāo)識(shí)的車道，且優(yōu)先級(jí)越高距離“乘車區(qū)”越近，有優(yōu)先進(jìn)入“乘車區(qū)”的特權(quán)，優(yōu)先級(jí)最低的同當(dāng)日還未再過客的出租車安排在同一車道，因此，可得機(jī)場(chǎng)的設(shè)計(jì)方案.最后通過計(jì)算第k級(jí)優(yōu)先級(jí)的出租車司機(jī)的平均等待時(shí)間和平均隊(duì)長(zhǎng)，預(yù)估該系統(tǒng)優(yōu)先權(quán)對(duì)出租車司機(jī)排隊(duì)等待模型的影響，來檢驗(yàn)該方案的合理性.

3 模型建立

3.1 問題一模型的建立

影響出租車司機(jī)決策的因素有：排隊(duì)的出租車數(shù)量、機(jī)場(chǎng)下飛機(jī)乘客的數(shù)量、機(jī)場(chǎng)到市區(qū)所需時(shí)間等.為給出租車司機(jī)設(shè)計(jì)合理的選擇策略，考慮從出租車司機(jī)的收益情況出發(fā)，通過比較分析某時(shí)間點(diǎn)乘客數(shù)量和此時(shí)正在排隊(duì)等候載客的出租車數(shù)量，討論分析以下兩種情況：

若從司機(jī)所在地到達(dá)乘客目的地的距離為S′,則乘客乘坐出租車的價(jià)格為

(1)

若司機(jī)依照先到先提供客源的排隊(duì)安排進(jìn)行等候，則令其花費(fèi)的待客時(shí)間為xM,載客返回到市區(qū)時(shí)間為St0,那么司機(jī)在xM+St0長(zhǎng)的時(shí)間得到的收益為Q1=W-SL.

若出租車司機(jī)不載客，選擇直接花費(fèi)St0時(shí)間返回市區(qū)并在市區(qū)繼續(xù)接客.而司機(jī)在市區(qū)接到乘客的情況為排隊(duì)論中的最簡(jiǎn)單流的輸入，即在一定時(shí)間間隔內(nèi)，司機(jī)接到k波乘客的概率僅與這段時(shí)間的長(zhǎng)短有關(guān)，故具有平穩(wěn)性；在時(shí)間區(qū)[t,t+Δt]內(nèi)來到k個(gè)乘客的概率與時(shí)間t之前來多少乘客無關(guān)，故具有無后效性；且在瞬時(shí)內(nèi)只能有一波乘客到達(dá)，不可能有兩波及兩波以上顧客同時(shí)到達(dá)，故具有普遍性.在滿足以上三個(gè)條件后，可知在時(shí)間t內(nèi)司機(jī)能接到k波乘客的概率服從泊松分布[11]，即為

其中參數(shù)μ表示單位時(shí)間內(nèi)到達(dá)乘客的平均數(shù)，當(dāng)Δt充分小后，在[t,t+Δt]時(shí)間內(nèi)無顧客到達(dá)的概率為v0(Δt)=e-μt≈1-μΔt.

其中，k1指在“供不應(yīng)求”放空返回市區(qū)狀態(tài)下，在時(shí)間xM下，以90%的概率預(yù)估司機(jī)可能接到的乘客數(shù).

第二種情況，當(dāng)該時(shí)間點(diǎn)乘客數(shù)量小于此時(shí)“蓄車池”里的車輛數(shù)，即表現(xiàn)為“供過于求”.通過查閱的相關(guān)數(shù)據(jù)[7]發(fā)現(xiàn)，一般情況下，一批航班抵達(dá)機(jī)場(chǎng)的乘客人數(shù)K中在白天和晚上選擇出租車的比例相對(duì)穩(wěn)定，設(shè)該比例為λ,第i個(gè)時(shí)間段所有航班的艙位個(gè)數(shù)為Ri,α為平均客座率，Ti為司機(jī)等待的第i批航班所消耗的時(shí)間，其中∑αRiλ+K0≥M+1,因此司機(jī)到達(dá)機(jī)場(chǎng)至回到市區(qū)的時(shí)間間隔為St0+∑Ti.其得到的收入為Q3=W-SL.

若司機(jī)選擇放空返回，其與第一種情形的“放空”原理類似，因此，司機(jī)在該時(shí)間段的收益為

其中，k2指在“供過于求”放空返回市區(qū)狀態(tài)下，在時(shí)間∑Ti+St0下，以90%的概率預(yù)估司機(jī)可能接到的乘客數(shù).

利用上述式子可為司機(jī)設(shè)計(jì)選擇策略，可得表1.

表1 供不應(yīng)求的情況

表2 供過于求的情況

3.2 問題二模型的建立

3.2.1 當(dāng)某一機(jī)場(chǎng)的相關(guān)數(shù)據(jù)及出租車數(shù)量可以獲得的情況下，本文提出以下算法為出租車司機(jī)提供決策，并檢驗(yàn)其合理性.

算法1：

輸入：航班信息、乘客數(shù)量K0、排隊(duì)等候的車輛M以及時(shí)間為星期A、t時(shí)段；

輸出：“排隊(duì)等待”或 “放空返回”；

具體步驟：

(i)如果K0≥M,轉(zhuǎn)(ii)，否則轉(zhuǎn)(iii);

(ii)如果t屬于早上5點(diǎn)～夜間23點(diǎn)，轉(zhuǎn)(iv)，否則轉(zhuǎn)(v);

(iii)如果t屬于夜間23點(diǎn)～早上5點(diǎn)，轉(zhuǎn)(ix)，否則轉(zhuǎn)(x);

(vi)如果Q1>Q2,轉(zhuǎn)(vii)，否則轉(zhuǎn)(viii);

(vii)選擇“排隊(duì)等候”策略更優(yōu)；

(viii)選擇“放空返回”策略更優(yōu)；

(xi)如果Q3≥Q4,轉(zhuǎn)(xii)，否則轉(zhuǎn)(xiii);

(xii)選擇“排隊(duì)等候”策略更優(yōu)；

(xiii)選擇“放空返回”策略更優(yōu).

3.2.2 模型的合理性分析：

該模型是建立在問題一模型的基礎(chǔ)上建立的，針對(duì)收集某一給定機(jī)場(chǎng)的相關(guān)信息以及當(dāng)?shù)爻鲎廛嚨南嚓P(guān)數(shù)據(jù)對(duì)模型一進(jìn)行了微調(diào).該模型從實(shí)際的兩種角度出發(fā)，分別在“供不應(yīng)求”和“供過于求”的情況下出租車司機(jī)該如何抉擇.兩種情況都先分析如果出租車司機(jī)排隊(duì)等候并載到了乘客時(shí)所花費(fèi)的時(shí)間，再考慮若選擇放空返回市區(qū)司機(jī)的收益情況，假定出租車司機(jī)無論是接到乘客還是放空返回所花費(fèi)的時(shí)間是等同的，則只需考慮司機(jī)若將排隊(duì)等候的時(shí)間用來在市區(qū)接載乘客，所獲取的收益與之進(jìn)行對(duì)比，在相同時(shí)間下對(duì)比收益具有一定的合理性，并且我們對(duì)現(xiàn)實(shí)分情況討論，在不同情況先給出的選擇建議也會(huì)隨之發(fā)生改變.

對(duì)相關(guān)因素的依賴性.主要通過研究乘客數(shù)量的變化規(guī)律以及對(duì)比現(xiàn)已有乘客數(shù)與已正在排隊(duì)等候的出租車數(shù)的數(shù)量關(guān)系，數(shù)量關(guān)系不同，選擇方案也會(huì)不同.若在“供不應(yīng)求”的情況下，則無需考慮后面的航班信息；若在“供過于求”情況下，還需知道后面的航班數(shù)量以及對(duì)客座率的估值，因?yàn)榈却龝r(shí)間將會(huì)根據(jù)航班抵達(dá)情況被拉長(zhǎng).從機(jī)場(chǎng)到市區(qū)的時(shí)間也是一個(gè)重要因素，若放空返回，司機(jī)必然要承擔(dān)空載油費(fèi)的損失，但如果等待時(shí)間過長(zhǎng)，在這段時(shí)間司機(jī)可通過在市區(qū)爭(zhēng)取收益來彌補(bǔ)損失，該種情況下放空返回市區(qū)或許會(huì)成為更好的選擇.

3.3 問題三模型的建立與分析[8]

蒙特卡洛模擬法[9]，是一種通過設(shè)定隨機(jī)變量的過程，反復(fù)利用某種分布的隨機(jī)數(shù)生成時(shí)間序列，表示現(xiàn)實(shí)中可能出現(xiàn)的隨機(jī)現(xiàn)象.又因每次實(shí)驗(yàn)只能代表一次可能出現(xiàn)的情況，所以，需要通過多次實(shí)驗(yàn)數(shù)從而獲取有價(jià)值的統(tǒng)計(jì)結(jié)論.

蒙特卡洛模擬模型約束條件

① 乘客數(shù)量足夠多，“乘車區(qū)”不會(huì)出現(xiàn)“車等人情況”；且“蓄車池”出租車數(shù)量足夠多，不會(huì)出現(xiàn)乘客無車可坐情況；

② “乘車區(qū)”存在n個(gè)泊位，n位乘客同時(shí)上車；

③ “乘車區(qū)”每個(gè)乘客上車的時(shí)間均服從同一分布為y=f(x)=f(x1,x2,…)；

3.3.1 模型建立

其中C′表示并行車道通行能力(人/h),η表示每輛出租車平均載客人數(shù)，據(jù)了解，η一般等于1.4.

3.3.2 模型分析

重復(fù)操作上述模型，可得y個(gè)獨(dú)立通行能力數(shù)值，分別記作C′i(i=1,2,…,y),取其平均數(shù)得

3.4 問題四的模型的建立與分析

3.4.1 模型的建立

基于排隊(duì)模型的帶優(yōu)先服務(wù)權(quán)[10],非強(qiáng)占性優(yōu)先權(quán)是指一個(gè)高優(yōu)先級(jí)的出租車司機(jī)到達(dá)，也不能強(qiáng)制已經(jīng)進(jìn)入“乘車區(qū)”的低優(yōu)先級(jí)出租車司機(jī)返回“蓄車池”.也就是說，一旦一名出租車司機(jī)開始進(jìn)入“乘車區(qū)”載客，這項(xiàng)服務(wù)就不能被打斷直至服務(wù)結(jié)束.

若出租車司機(jī)在將乘客送達(dá)目的地后迅速返回“蓄車池”后，根據(jù)出租車司機(jī)載客里程的長(zhǎng)短擬對(duì)返回的司機(jī)賦予優(yōu)先級(jí)，這里可以用司機(jī)往返時(shí)間長(zhǎng)短來代表其載客里程長(zhǎng)短.

從出租車司機(jī)搭載乘客離開“乘車區(qū)”開始計(jì)時(shí)，直至司機(jī)再次返回“蓄車池”截止計(jì)時(shí)，對(duì)出租車司機(jī)賦予N個(gè)優(yōu)先級(jí)(其中，一級(jí)表示最高優(yōu)先級(jí))，若同屬于一個(gè)優(yōu)先級(jí)內(nèi)，則依據(jù)“先到先服務(wù)”原則.現(xiàn)假設(shè)某城市出租車司機(jī)載客往返時(shí)間為0

(v)當(dāng)t>2T時(shí)，將其連同當(dāng)日還未在機(jī)場(chǎng)接載過乘客的出租車司機(jī)一起劃分為五級(jí)優(yōu)先級(jí)(最低優(yōu)先級(jí)).

并將“蓄車池”劃分為5個(gè)車道，分別標(biāo)號(hào)為1～5，相應(yīng)級(jí)別優(yōu)先級(jí)的出租車進(jìn)入對(duì)應(yīng)標(biāo)號(hào)的“蓄車池”車道.同時(shí)，優(yōu)先級(jí)別越高的車道距離“乘車區(qū)”越近，并且有優(yōu)先進(jìn)入“乘車區(qū)”載客的權(quán)利.

帶優(yōu)先權(quán)服務(wù)的[M/M/s]排隊(duì)系統(tǒng)服務(wù), 因此可知，這是一個(gè)[M/M/s]排隊(duì)系統(tǒng)服務(wù)：表示出租車司機(jī)抵達(dá)蓄車池為泊松分布，在乘車區(qū)安排乘客上車時(shí)間為負(fù)指數(shù)分布，有s個(gè)乘車區(qū).

為了體現(xiàn)該系統(tǒng)優(yōu)先權(quán)對(duì)出租車司機(jī)排隊(duì)等待模型的影響，對(duì)方案合理性進(jìn)行檢測(cè).需要計(jì)算第k級(jí)優(yōu)先級(jí)的出租車司機(jī)的平均等待時(shí)間(Wk,k=1,2，…，N)和平均隊(duì)長(zhǎng)(Lk,k=1,2，…，N).其中，Wk表示在穩(wěn)定狀態(tài)下k級(jí)優(yōu)先級(jí)的出租車平均等待時(shí)間(包括在乘車區(qū)停留的時(shí)間)，則非搶占性模型表示如下：

其中

Lk表示k級(jí)優(yōu)先級(jí)在穩(wěn)定狀態(tài)下的平均隊(duì)長(zhǎng)(包括正在乘車區(qū)停車載客的出租車).

3.4.2 模型分析

根據(jù)上述模型的描述，可設(shè)計(jì)如下方案表及方案圖：

表3 機(jī)場(chǎng)出租車優(yōu)先級(jí)別劃分表

4 案例分析

通過查閱相關(guān)文獻(xiàn)，發(fā)現(xiàn)2018年上海浦東機(jī)場(chǎng)飛機(jī)平均客座率為83.2%；再通過爬蟲技術(shù)從攜程網(wǎng)中獲取該機(jī)場(chǎng)不同時(shí)間段抵達(dá)的航班號(hào)，接著從航空公司官網(wǎng)中查找對(duì)應(yīng)航班的座位數(shù).

據(jù)了解，上海浦東機(jī)場(chǎng)近兩年抵達(dá)人數(shù)的比例是相對(duì)穩(wěn)定的.白天乘客選擇出租車的比例為15%，夜間為45%，該市出租車收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下表所示：

表4 上海市出租車收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)表

又知出租車司機(jī)油費(fèi)L=0.6元/公里；站點(diǎn)最高發(fā)車率為10輛/分鐘提高到30輛/分鐘；機(jī)場(chǎng)到市區(qū)距離為48公里；市區(qū)限速為70公里/小時(shí)，高速限速為110公里/小時(shí)，為方便起見，可設(shè)司機(jī)開車的平均速率為90公里/小時(shí).根據(jù)司機(jī)到達(dá)機(jī)場(chǎng)時(shí)機(jī)場(chǎng)現(xiàn)有乘客數(shù)、蓄車池中等待的出租車數(shù)量及時(shí)間，通過算法1，得司機(jī)決策方案如下：

表5 部分情況司機(jī)策略選擇表

以上結(jié)果驗(yàn)證了本文所提模型的正確性和有效性.

5 結(jié) 論

(i)依據(jù)泊松分布原理，以機(jī)場(chǎng)司機(jī)面臨兩種載客選擇為背景，并以上海浦東國(guó)際機(jī)場(chǎng)為研究對(duì)象，分析研究“載客返市”“空車返市”兩種決策下司機(jī)收益情況，通過建立排隊(duì)論模型，利用Matlab為機(jī)場(chǎng)司機(jī)設(shè)計(jì)合理的決策方案.同時(shí)，為機(jī)場(chǎng)設(shè)計(jì)“X形立橋”并行車道提高乘車效率.

(ii)通過分析機(jī)場(chǎng)普遍存在的出租車問題以及研究影響出租車司機(jī)選擇決策的影響因素所建立的模型，對(duì)各個(gè)城市機(jī)場(chǎng)的出租車司機(jī)的策略選擇均具有啟發(fā)性作用，且具有較強(qiáng)的應(yīng)用性；模型對(duì)一些不確定因素進(jìn)行概率預(yù)測(cè)，通過比較較高概率下兩個(gè)不同選擇可能獲得的收益時(shí)間，對(duì)出租車司機(jī)的選擇提出合理建議；通過對(duì)出租車司機(jī)劃分優(yōu)先級(jí)以及通道來賦予某些出租車一定的“優(yōu)先權(quán)”，既維護(hù)了司機(jī)的利益，又能維持現(xiàn)場(chǎng)秩序.

(iii)存在的不足有不能將所有的影響決策因素納入計(jì)算，依然存在統(tǒng)計(jì)偏差.但建立的模型方法簡(jiǎn)單易行，且易于應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)生活.

致謝作者非常感謝審稿人提出的寶貴意見以及相關(guān)文獻(xiàn)對(duì)本文的啟示.