廖曉花

(閩南理工學院 信息管理學院，福建 石獅 362700)

微分方程和積分方程已經(jīng)廣泛應用于量子化學、流體力學、聲散射等工程應用和科學計算領(lǐng)域中[1]。有限差分以及有限元等離散化技術(shù)中的微分方程和積分方程復線性方程組求解主要包括以下兩類：復線性方程組，Ax=b；存在多右端項的復線性方程組，AX=B。其中A∈Cn×n表示非Hermite矩陣，x，b∈Cn，X,B∈Cn×p,p=n。

求解大規(guī)模線性方程組在實際工程問題數(shù)值計算中所占比重高[2]；非線性方程組的高效求解是眾多研究學者的研究方向，其高效的求解具有較高的應用價值以及理論意義[3]。目前普遍通過Krylov子空間方法研究存在多右端項以及普通非Hermite線性方程組的求解。

非Hermite線性方程組實際應用中對計算規(guī)模、計算效率以及存儲量等要求較高[4]，采用Krylov子空間方法往往無法滿足這些需求，為此，非Hermite線性方程組的迭代終止條件研究具有較大的必要性。

非Hermite線性方程組求解的預處理方法可有效提升求解效率[5]。探究非Hermite線性方程組的迭代終止條件，采用預處理方法完成對CORS算法的處理后，再利用處理后的CORS算法求解非Hermite線性方程組，使其快速迭代，可提升非Hermite線性方程組的收斂速度、魯棒性以及穩(wěn)定性。

1 非Hermite線性方程組的迭代終止條件

1.1 非Hermite線性方程組預處理

通過預處理方法預先處理非Hermite線性方程組可提升其求解速度[6]，然后再將預處理完成的非Hermite線性方程組利用迭代算法快速求解。

本文采用預處理方法與實線性方程組加速求解的方法建立預處理條件子M-1，令所建立與處理條件子與系數(shù)矩陣A的逆矩陣近似，即M-1≈A-1，且M-1≈(M1M2)-1。獲取的非Hermite線性方程組的CORS方法預處理公式為

(1)

預處理具有多個右端項的非Hermite線性方程組時，可使M1=I，M2=M，利用以上僅考慮右端項的預處理方法，系數(shù)矩陣內(nèi)奇異值分布較為聚集[7]，從而提升迭代算法的收斂速度。

1.1.1 選取預處理條件子

設(shè)

A=(aij)n×n=D-N。

(2)

式中D=diag(d1,d2,…,dn)，且需滿足

那么

A-1=(D-N)-1=(I-D-1N)D-1。

(3)

式中I表示單位矩陣。

已知存在公式：

(I-D-1N)-1≈I+D-1N+…+(D-1N)q-1，

(4)

可得預處理條件子M-1公式：

M-1=(I+D-1N+…+(D-1N)q-1)D-1。

(5)

式中q≥1。

通過確定預處理條件子M-1可知，非Hermite線性方程組計算量隨著內(nèi)迭代次數(shù)的提升而有所增加[8-9]，非Hermite線性方程組預處理的內(nèi)迭代次數(shù)對于提升最終計算的收斂速度極為重要。

1.1.2 預處理CORS算法

預處理CORS算法過程如下：

3)當‖rk‖2≤ε‖r0‖2時，終止求解，此時ε∈R+；否則需求解

4)令k=k+1，返回至步驟2)。

forl=0,1,…,q-1

end

(6)

forl=0,1,…,q-1

end

(7)

迭代次數(shù)范圍固定時，內(nèi)迭代次數(shù)q的增多令系數(shù)矩陣特征值聚集程度有所提升[10-11]，令非Hermite線性方程組求解速度有所提升。

1.2 非Hermite線性方程組的迭代終止條件

基于CORS方法求解非Hermite線性方程組，令非Hermite線性方程組快速滿足迭代終止條件[12]。

廣義CORS方法參量符合公式：

(8)

(9)

j+1過程。

j+1。

已知公式如下：

(10)

獲取遞推過程如下：

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

將公式(17)與公式(18)結(jié)合可得公式：

(19)

獲取輔助迭代向量公式為

(20)

可得迭代序列公式如下：

sj=tj-αjApj，

(21)

(22)

(23)

(24)

uj+1=rj+1+βj+1hj，

(25)

(26)

(27)

(28)

以及

(29)

從而得到

(30)

以及

(31)

(32)

以及

(33)

通過以上推導過程得到高效迭代終止的非Hermite線性方程組的廣義CORS方法過程如下：

(1)用x0表示初始值，求解r0=b-Ax0；

(4)求解j=0,1,2,…；

(6)αj=ρj/σj；

(8)sj=tj-αjqj；

(20)uj+1=rj+1+βj+1hj；

計算結(jié)束。

該方法的誤差界公式為

(34)

2 算例分析

在MATLAB環(huán)境下運行算例的全部計算過程。

已知2個非Hermite線性方程組：

方程組A：A1x=b1;

方程組B：A2x=b2;

采用隨機算法求解以上2個非Hermite線性方程組，結(jié)果如表1所示。

表1 線性方程組求解結(jié)果

由表1可知，采用隨機算法通過常用的終止迭代條件求解非Hermite線性方程組將提前終止求解，使獲取的迭代解與精確解相差較大。

將本文方法與TFQMR方法和GCORS2方法對比，統(tǒng)計不同方法求解以上公式的迭代過程計算量，統(tǒng)計結(jié)果如表2所示。

表2 不同方法計算量

表2中，AXPY表示執(zhí)行向量x、y以及純量α的運算α×y+x。由表2中統(tǒng)計結(jié)果可知，本文方法相比于TFQMR方法和GCORS2方法所執(zhí)行AXPY運算較少。

設(shè)置停機準則TOL為10-5及10-8，得到的數(shù)值結(jié)果如表3所示。

表3 不同方法數(shù)值結(jié)果

由表3可以看出，利用本文方法求解線性方程組的收斂速度明顯高于另2種方法。不同停機準則情況下，本文方法所需的迭代步數(shù)以及CPU執(zhí)行時間明顯低于另2種方法，且可得到最精確的近似解。以上算例計算結(jié)果表明，利用本文方法，迭代過程中的殘量范數(shù)較高，具有較快的收斂速度，可在較少迭代次數(shù)情況下快速獲取最優(yōu)解，迭代次數(shù)低、穩(wěn)定性高。

3 結(jié)論

由于非Hermite線性方程組存在于應用數(shù)學、物理學以及控制論等各類學科中，所以，非Hermite線性方程組的求解問題是應用數(shù)學中的一個十分重要的分支。但是，由于目前非線性方程組的理論研究還有欠缺，所以其應用價值還不能充分發(fā)揮。本文的主要研究亮點如下：

1)對CORS方法進行預處理，可提升利用廣義CORS方法求解非Hermite線性方程組的效率、收斂速度，實現(xiàn)求解結(jié)果的實時性；

2)利用殘量多項式建立的廣義CORS求解非線性方程，由于存在不規(guī)則收斂殘量范數(shù)，易造成非線性方程解誤差較高、近似解較差的問題，而經(jīng)過本文方法求解后可避免初始誤差加大，進一步提升了收斂速度與光滑性；

3) 經(jīng)過預處理算法處理的廣義CORS方法求解非Hermite線性方程組時，收斂速度提升至最高，可通過最小的迭代時間和迭代次數(shù)實現(xiàn)快速終止，因此，本文方法在求解結(jié)果精確度與計算量均具有一定的優(yōu)勢性。