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        高階線性Gronwall不等式的推廣及應(yīng)用

        2022-01-19 10:34:48廖玲藍王朋杰
        關(guān)鍵詞:三階二階高階

        廖玲藍,王朋杰,張 潔

        (貴州師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,貴州 貴陽 550025)

        數(shù)學(xué)物理方程的能量估計[1]和解的存在唯一性[2]是微分方程最重要的內(nèi)容之一,而微分與積分形式的Gronwall不等式[3-4]求解思想是得到能量估計和解的存在唯一性的關(guān)鍵,該方法是通過指數(shù)函數(shù)求導(dǎo)來求解方程的。由于方程因時間和空間變化的多樣性,一階線性Gronwall不等式不能滿足現(xiàn)階段方程的需求,因此相關(guān)的高階線性Gronwall不等式[5-9]求解方法的研究受到了學(xué)者的極大關(guān)注。文獻[3]研究了含有2個函數(shù)的一階線性Gronwall不等式;文獻[4]研究了二階線性常數(shù)項Gronwall不等式;文獻[5]研究了含有一階、二階、常數(shù)項的Gronwall不等式。本文在文獻[3-5]的基礎(chǔ)上進行推廣,構(gòu)造三階或者含有2個函數(shù)的方程,通過一階線性Gronwall不等式求解方法實現(xiàn)對高階線性Gronwall不等式的求解,最后將得到的解結(jié)合實例來具體分析。

        1 Gronwall不等式的主要性質(zhì)

        引理1[1](Gronwall不等式)令η(·)是[0,T]上的非負(fù)絕對連續(xù)函數(shù),滿足幾乎處處于t的導(dǎo)數(shù)不等式η′(t)≤φ(t)η(t)+ψ(t),其中ψ(t)是φ(t)非負(fù)可積函數(shù),則

        0≤t≤T。

        2 高階Gronwall不等式的推廣與證明

        Gronwall 不等式的廣泛應(yīng)用解決了大量微分方程問題。例如一階Gronwall不等式用于解決常微分中解的唯一性問題;二階Gronwall不等式能更好解決方程的能量估計問題等;而對于三階Gronwall不等式只含一個函數(shù)時,目前的研究還不是很完善。下面本文接著討論三階線性并含有2個函數(shù)的Gronwall不等式,從而得到了類似于二階Gronwall不等式的結(jié)果。

        (1)

        則存在常數(shù)m1,m2使得

        +k4)dξ,

        證明文獻[5]研究g(t)=u(t)的情況,并且得到了結(jié)果u(t)≤c,c為正常數(shù)。下證g(t)≠u(t)的情況。

        由于k1>0,則存在正常數(shù)a>0,使得m1=k1-a>0,在式(1)的兩端乘e-at,則

        k3e-atg(t)+k4e-at;

        (2)

        在式(2)的兩端減ae-atu″(t),則

        (3)

        令F(t)=e-atu″(t),G1(t)=k2e-atu′(t)+

        k3e-atg(t)+k4e-at,由u″(0)=0得到F1(0)=0,從而式(3)可整理為

        (4)

        在式(4)的兩端減ae-atu′(t),則

        (5)

        由u′(0)=0得F2(0)=0,從而式(5)可整理為

        代入F2(t),G2(t)以及引理2得

        整理并且對t∈[0,T]積分,代入u(0)=0得

        +k4)dξ,

        一般高階Gronwall不等式的“高”只會體現(xiàn)在u(t)上,對于含有2個函數(shù)的不等式,文獻[5]已經(jīng)討論了g(t)為常數(shù)或者是一階線性函數(shù)的情況,下面討論g(t)為二階線性函數(shù)的情況,得到類似g(t)為一階線性函數(shù)的結(jié)果。

        定理2設(shè)u(t),g(t)滿足

        (6)

        且g(t)≥0,c2<0,c1為正常數(shù),u″(0)=u′(0)=

        u(0)=0,g′(0)=g(0)=0,則存在正常數(shù)c,使得

        u(t)≤0。

        證明整理(6)得

        (7)

        在式(7)的兩端乘e-c2t,則

        (e-c2tu″(t)+e-c2tg′(t))′≤c1e-c2t

        +((c2e-c2tu(t))′+c2e-c2tu′(t)+c2e-c2tg(t))′;

        (8)

        式(8)兩端在t∈[0,T]上積分,并且?guī)脒呏禇l件有

        (9)

        式(9)兩端在t∈[0,T]上積分,代入邊值條件并且消去e-c2t,有

        由c1>0,c2<,g(t)≥0得

        由引理1得u(t)≤c。

        對于二階連續(xù)可微函數(shù),當(dāng)g(t)=c=常數(shù)時,文獻[4]已經(jīng)得到通解,下面將討論如何在g(t)≠c的情況,得到類似文獻[4]的結(jié)果。

        定理3設(shè)u(t)是定義在[0,T]上的二階連續(xù)可微函數(shù),g(t)在[0,+∞]上可積,存在正常數(shù)c,使得

        (10)

        證明在式(10)的兩端乘ec1t,則

        u″(t)ec1t≤cu(t)ec1t+g(t)ec1t,

        上式對t∈[0,T]積分,由分部積分公式得

        u′(t)ec1t-u(0)≤c1u(t)ec1t-c1u(0)

        (11)

        在式(11)的兩端乘e-2c1t,則

        u′(t)e-c1t-u′(0)e-2c1t≤c1u(t)e-c1t

        上式對t∈[0,T]積分并且使用分部積分公式得

        整理化解后得

        3 應(yīng)用舉例

        最后本文將討論以上定理在雙曲型能量估計不等式中的應(yīng)用。

        (12)

        利用格林公式進行分部積分,并且代入初邊值條件得

        (13)

        (14)

        (15)

        其中c1為一個與u無關(guān)的函數(shù),由弗里德里克斯不等式[2]得

        (16)

        由Young不等式[1]得

        (17)

        將(14)~(17)代入(13)有

        其中c是與u無關(guān)的正常數(shù),由引理1得

        4 結(jié)語

        本文主要是對u(t)、g(t)進行推廣改進,將一階、二階線性形式函數(shù)u(t)推廣到三階線性形式,將常數(shù)形、一階線性形式函數(shù)g(t)推廣到二階線性形式,從而得到與文獻[3]~[5]類似的估計。根據(jù)本文推廣的形式,后續(xù)可以繼續(xù)改進推廣到更高階線性形式。

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