甘肅 張建文

雙變量問題一直是考查和訓練學生推理論證和運算求解能力的主要素材,在高中數(shù)學教學和檢測中具有重要的作用,是命題者設置試卷難度系數(shù)的主要研究對象.雙變量問題主要是指兩個變量,各自有取值范圍，在滿足某種條件的情況下求解參數(shù)取值范圍的問題.就滿足的條件而言,一般滿足某種等式或不等式；就問題類型而言，分為存在性問題和任意性問題.本文主要分兩個方面說明雙變量問題：第一，不等式中的存在性與任意性問題論述，重點分類說明不同情形下等號成立的條件和對應函數(shù)的最值；第二，等式當中的存在性與任意性問題論述.在此基礎上，舉例解釋這種問題模式的解答方法和使用特點,以及在教學中的注意事項等.下面筆者簡要論述雙變量問題的常見模型和解答策略.

1.不等式類型：設不等式為f(x1)≥g(x2)或f(x1)>g(x2),此不等式為含參不等式

1.1兩個均為“任意”型

1.1.1?x1∈M,?x2∈N,均有f(x1)≥g(x2)

(1)當f(x)有最小值,g(x)有最大值時,原不等式等價于f(x)min≥g(x)max；

(2)當f(x)有最小值,g(x)無最大值時,原不等式等價于f(x)min≥supg(x)；

(3)當f(x)無最小值,g(x)有最大值時,原不等式等價于inff(x)≥g(x)max；

(4)當f(x)無最小值,g(x)無最大值時,原不等式等價于inff(x)≥supg(x).

1.1.2?x1∈M,?x2∈N,均有f(x1)>g(x2)

(1)當f(x)有最小值,g(x)有最大值時,原不等式等價于f(x)min>g(x)max；

(2)當f(x)無最小值,g(x)有最大值時,原不等式等價于inff(x)≥g(x)max；

(3)當f(x)有最小值,g(x)無最大值時,原不等式等價于f(x)min≥supg(x)；

(4)當f(x)無最小值,g(x)無最大值時,原不等式等價于inff(x)≥supg(x).

1.2兩個均為“存在”型

1.2.1?x1∈M,?x2∈N,使得f(x1)≥g(x2)

(1)當f(x)有最大值,g(x)有最小值時,原不等式等價于f(x)max≥g(x)min；

(2)當f(x)有最大值,g(x)無最小值時,原不等式等價于f(x)max>infg(x)；

(3)當f(x)無最大值,g(x)有最小值時,原不等式等價于supf(x)>g(x)min；

(4)當f(x)無最大值,g(x)無最小值時,原不等式等價于supf(x)>infg(x).

1.2.2?x1∈M,?x2∈N,使得f(x1)>g(x2)

(1)當f(x)有最大值,g(x)有最小值時,原不等式等價于f(x)max>g(x)min；

(2)當f(x)有最大值,g(x)無最小值時,原不等式等價于f(x)max>infg(x)；

(3)當f(x)無最大值,g(x)有最小值時,原不等式等價于supf(x)>g(x)min；

(4)當f(x)無最大值,g(x)無最小值時,原不等式等價于supf(x)>infg(x).

1.3一個“存在”與一個“任意”型

1.3.1?x1∈M,?x2∈N,使得f(x1)≥g(x2)

(1)當f(x)有最小值,g(x)有最小值時,原不等式等價于f(x)min≥g(x)min；

(2)當f(x)有最小值,g(x)無最小值時,原不等式等價于f(x)min>infg(x)；

(3)當f(x)無最小值,g(x)有最小值時,原不等式等價于inff(x)≥g(x)min；

(4)當f(x)無最小值,g(x)無最小值時,原不等式等價于inff(x)≥infg(x)；

1.3.2?x1∈M,?x2∈N,使得f(x1)>g(x2)

(1)當f(x)有最小值,g(x)有最小值時,原不等式等價于f(x)min>g(x)min；

(2)當f(x)有最小值,g(x)無最小值時,原不等式等價于f(x)min>infg(x)；

(3)當f(x)無最小值,g(x)有最小值時,原不等式等價于inff(x)≥g(x)min；

(4)當f(x)無最小值,g(x)無最小值時,原不等式等價于inff(x)>infg(x).

注意：在上述論述中,若函數(shù)f(x)或g(x)無最值,則f(x)或g(x)定有對應的臨界值.且f(x)的定義域為M,g(x)的定義域為N.

2.等式類型：設等式為f(x1)=g(x2),此等式為含參等式

設y=f(x)的值域為B1,設y=g(x)的值域為B2.

(1)?x1∈M,?x2∈N,使得f(x1)=g(x2),則B1?B2,由此便可構造不等式；

(2)?x1∈M,?唯一x2∈N,使得f(x1)=g(x2),則需要作圖分析g(x)的單調性和取值變化,設滿足方程g(x)=k只有一根的k的范圍為B3，有B1?B3;

(3)?x1∈M,?x2∈N,使得f(x1)=g(x2),則B1∩B2=?,由此便可構造不等式.

注意：等式中的任意性和存在性問題通常轉化為兩函數(shù)值域之間的關系問題.其中y=f(x)的定義域為M，y=g(x)的定義域為N.

3.典例賞析

3.1任意性與存在性問題

(1)求函數(shù)f(x)的單調區(qū)間；

(2)設m∈R,對于任意的a∈(-1,1)，總存在x0∈[1,e]，使得不等式ma-f(x0)<0成立，求實數(shù)m的取值范圍.

【分析】(1)略 (2)將不等式變形可得ma

【解】(1)f(x)在(0,1)上單調遞減，在(1,+∞)上單調遞增.

(2)ma-f(x0)<0?ma

方法一：由于對任意的a∈(-1,1),總存在x0∈[1,e]，使得不等式g(a)

①當m=0時，g(a)=0,滿足題意；

【小結與反思】方法一的思路與1.3.2一致,將求解的問題轉化為兩個函數(shù)的最值或確界問題,方法二最終轉化為單變量恒成立問題,點睛之處是避免了求解最值或確界,直接構造不等式,這種創(chuàng)造性的解法來源于對函數(shù)結構的清晰認識,對函數(shù)單調性的精準把握.在教學中，教師要引導學生多角度多層次觀察,在掌握常規(guī)解答方法的前提下嘗試其他解法.

3.2雙存在性問題

【例2】已知函數(shù)f(x)=(x+1)3e-x+1,g(x)=(x+1)2+a,若?x1,x2∈R,使得f(x2)≥g(x1)成立，求實數(shù)a的取值范圍.

【分析】此題屬于雙存在性問題,需要求解f(x)的最大值和g(x)的最小值,通過構造不等式可以得到a的取值范圍.

【解】f(x)=(x+1)3e-x+1,x∈R,

則f′(x)=(x+1)2(-x+2)e-x+1,

所以x∈(-∞,2),f′(x)>0，f(x)單調遞增；x∈(2,+∞),f′(x)<0，f(x)單調遞減.

當x=-1時,g(x)min=g(-1)=a.

由題意可知,f(x)max≥g(x)min，

【小結與反思】在教學中,教師關鍵要引導學生從整體視角出發(fā)，觀察不等式的結構,由此獲得需要求解的函數(shù)最值,之后再求解具體函數(shù)的最值，最后要引導學生對整個解答流程進行簡述，總結收獲，強化對知識點和解題模式的理解和記憶.

3.3雙任意性問題

(1)求y=f(x)的單調區(qū)間；

【分析】(1)根據切線方程可以求得m,n，進而確定函數(shù)y=f(x)的解析式；(2)根據不等式結構特點,需要求解f(x)的最小值和g(t)的最大值,最后構造不等式就可以確定a的取值范圍.

由題意可知,f(x)min≥g(t)max即4+a2-4a≤1,解得a∈[1,3].

【小結與反思】此題的入手點在于對不等式中雙任意性的結構性分析,將問題轉化為對應的函數(shù)最值問題,解答模式與1.1.1完全一致.解答的思維分析過程可以簡單總結：確定函數(shù)解析式→求解函數(shù)f(x)最小值→求解函數(shù)g(t)最大值→構造不等式→得到結果.在實際教學中,教師一定要引導學生進行有效的學習總結和自我評價,幫助學生內化知識.

3.4等式中的唯一存在性問題

( )

A.[1,e] B.(1,e]

【分析】關于唯一存在性問題,需要通過構造函數(shù)研究函數(shù)單調性來確定取值范圍.對于原等式,通過化簡可以構造兩個不同的函數(shù),我們可以構造函數(shù)f(x)=-x+a和g(x)=x2ex,獲得f(x)的值域和g(x)簡圖,從而構造不等式得到結果.

令f(x)=-x+a,x∈[0,1],

所以f(x)的值域為M=[-1+a,a].

令g(x)=x2ex，x∈[-1,1].

所以g′(x)=2xex+x2ex=ex(x+2)x,

令g′(x)=0可得x=0,

x∈[-1,0),g′(x)<0，g(x)單調遞減；

x∈(0,1],g′(x)>0，g(x)單調遞增.

g(1)=e,

即a∈[1,e].

【解】根據g(x)的簡圖可知,-1+a>e或a<0,即a∈(-∞，0)∪(1+e，+∞).

【小結與反思】通過對唯一存在性問題的分析,我們可以有以下收獲：①等式當中的任意性與存在性問題是通過求解函數(shù)值域，進而根據值域的包含關系構造不等式來解決的；②在唯一存在性問題中,需要作圖分析函數(shù)圖象的變化來確定唯一的取值范圍.在教學中，教師要引導學生從整體視角和結構特點出發(fā)進行思考；③對題目中的條件進行適當?shù)淖儞Q得到新的變式題目再進行解答，使得學生能夠對此知識點深入理解．

3.5等式中的任意性與存在性問題

【分析】先從整體角度分析,對任意的f(x1)，均有g(x0)與之相等,可知g(x0)的取值范圍包含f(x1)的取值范圍,由此我們可以先求得f(x1)與g(x0)在對應區(qū)間上的值域,根據值域的包含關系構造不等式來求解a的取值范圍.

當a≤-1，g(x)=x3-3a2x-4a,x∈[0,1],

則有g′(x)=3x2-3a2=3(x2-a2)<0，

所以g(x)在[0,1]上單調遞減,即g(x)max=g(0)=-4a,g(x)min=g(1)=1-3a2-4a,g(x)值域為[1-3a2-4a,-4a].

【小結與反思】題目結構清晰，意圖明顯，是常規(guī)題目,主要考查和訓練學生邏輯推理和數(shù)學運算核心素養(yǎng).題目入手點在于對等式結構的清晰認識,從整體視角分析f(x1)與g(x0)值域的包含關系.在教學中,教師要引導學生分析變量的位置特點和相互關系，理解等式和不等式的結構特點,這樣能夠提升學生分析問題的高度，增加學生思維量，促進核心素養(yǎng)的培養(yǎng).

3.6含有多變量的存在性與任意性問題

(1)當a≥0時，求函數(shù)f(x)的極值；

【分析】(1)略；(2)不等式中存在四個變量，是存在性與任意性共存的問題，整體來看是存在性問題，轉化之后就是任意性問題.解答過程需要分清變量的位置和變量之間的相互關系,從整體視角來分析解答思路.

所以f(x)max=f(1)=1+2a,

當t∈(2,e2)時，h′(t)>0,h(t)單調遞增；

當t∈(e2,8)時，h′(t)<0,h(t)單調遞減.

【小結與反思】問題解答的入手點在于分析變量之間的關系,觀察等式結構.原不等式當中變量x1,x2都在不等號左側,其余變量在不等號右側，這樣就可以直接將原問題轉化為任意性問題,當然|f(x1)-f(x2)|的最大值求解需要轉化為f(x)的最值問題.這對于訓練和考查學生的整體性思維和結構性思維具有極大的作用.

4.總結與展望