張海波 楊 超

周 賢1 劉克非1

蔡 頌3 明興祖3

1. 湖北文理學院

機械工程學院

湖北 襄陽 441053

2. 清研新能源汽車工程中心（襄陽）有限公司

技術研發(fā)部

湖北 襄陽 441100

3. 湖南工業(yè)大學

機械工程學院

湖南 株洲 412007

0 引言

復合行星輪系廣泛應用于包裝機械設備中。相對于簡單行星輪系，復合行星輪系自身構件多，制造與裝配精度要求較高，其動態(tài)特性更容易受到內(nèi)部激勵的干擾，尤其是來自周轉(zhuǎn)輪系內(nèi)部的時變嚙合剛度激勵以及構件徑向支撐剛度激勵，剛度幅值取值的合理性直接關系到復合行星輪系功率分流性能。當前針對周轉(zhuǎn)輪系均載性能的研究，多采用單因素分析模型分析單個激勵變化對均載的影響，忽略了不同類型的激勵因素同時變化對均載的綜合影響。A. Kahraman等[1]分析了嚙合剛度變化對2KH行星輪系均載系數(shù)的影響；A. N. Montestruc[2]研究了行星輪支撐剛度對簡單行星輪系載荷分配性能的影響。以上文獻表明：1）盡管已有文獻記錄了剛度激勵對周轉(zhuǎn)輪系均載的影響，然而所研究對象并未涉及復合行星輪系；2）針對均載的研究方法普遍采用單因素分析法，缺乏了解輪系在多變量同時變化下的均載行為，有必要建立均載分析的多因素分析模型。

本文在比較嚙合剛度幅值和不同構件支撐剛度幅值對均載影響效果的基礎上，推導并建立含行星輪平移的拉維娜式復合行星輪系集中參數(shù)動力學模型；采用數(shù)值法求解運動方程和均載系數(shù)；結合田口實驗法，設計控制變量和直交序列；通過信噪比分析和方差分析，調(diào)查輪系在不同類型剛度激勵同時變化下的均載性能。

1 動力學建模

為研究不同類型的剛度激勵對均載性能的綜合影響，本文以拉維娜式復合行星齒輪傳動系統(tǒng)為研究對象，第二類拉格朗日方程為理論依據(jù)，推導并建立了含行星輪平移振動的復合行星輪系平移-扭轉(zhuǎn)動力學模型。該動力學模型的建立參考并拓展了D. R.Kiracofe等[3]的廣義復合行星輪系動力學模型以及巫世晶等[4]的不含行星輪平移的復合行星輪系動力學模型，旨在體現(xiàn)行星輪的徑向支撐剛度對輪系平移振動的影響，以便將徑向支撐剛度的對象按照中心構件和行星輪加以區(qū)分。所建立的拉維娜式復合行星輪系動力學模型如圖1[4]所示。

圖1 復合行星輪系平移-扭轉(zhuǎn)動力學模型Fig. 1 translation and rotation dynamic model of compound planetary gear set

圖1 所示的動力學關系中：中心輪s1作為輪系轉(zhuǎn)速的輸入端，與行星輪an（n為均布行星輪的數(shù)目）嚙合形成嚙合副。行星輪an和bn共同依附在行星架c上，并組成行星輪-行星輪嚙合副。行星輪bn是具有兩種齒數(shù)和的長行星輪，在齒數(shù)端與內(nèi)齒圈r嚙合，形成嚙合副，在齒數(shù)端與輪系負載輸出端的中心輪s2嚙合，形成嚙合副。沿嚙合線方向上，由時變嚙合剛度 kj（j=s1, an、s2, bn、an,bn、r,bn）、傳遞誤差ej以及嚙合阻尼cj，共同組成連接各嚙合齒輪的彈簧阻尼單元。該動力學模型內(nèi)所有構件的平移振動 (xi, yi)（i=s1、s2、an、bn、c）都是在旋轉(zhuǎn)坐標系xOy下測量得到的，該坐標系依附于行星架c上，正方向指向第一個行星輪a1的旋轉(zhuǎn)中心，并以ωc的角速度同行星架一起旋轉(zhuǎn)。

該動力學模型內(nèi)所有構件的扭轉(zhuǎn)振動θi（i=s1、s2、an、bn、c）是在絕對坐標系XOY下測量得到的。為了平衡動力學模型內(nèi)部各參數(shù)值之間的數(shù)量級，引入位移標稱尺度bw以及時間標稱尺度bt對輪系內(nèi)部各參數(shù)進行無量綱化處理。依據(jù)第二類拉格朗日方程以及牛頓運動定律，系統(tǒng)無量綱化處理后的各構件運動方程如下：

中心輪s1的運動方程

ψj為旋轉(zhuǎn)坐標系 xOy下，x軸方向與嚙合副Pj嚙合線的夾角；

θi為構件i 在絕對坐標系XOY下的扭轉(zhuǎn)角位移；

mi（i=s1、s2、c、r、a、b）為構件的質(zhì)量；

ri為各個齒輪的基圓半徑；

mce為包含行星輪an和bn的行星架等效質(zhì)量；

Jm（m= s1、s2、ce、r、a、b）為轉(zhuǎn)動慣量，假定所有均勻布置的行星輪的質(zhì)量以及轉(zhuǎn)動慣量相同，其中Jce是包含行星輪an和bn的行星架的當量轉(zhuǎn)動慣量，

式（7）中rc,a、rc,b分別為行星輪 an與 bn旋轉(zhuǎn)中心到行星架c旋轉(zhuǎn)中心的距離；

kj fjsinψj（j=s1, an、s2, bn、an, bn、r, bn）是不同嚙合副的嚙合力向絕對坐標系XOY的X軸投影，其中fj描述存在于嚙合副Pj內(nèi)的齒側(cè)間隙對實際嚙入深度的影響，并采用經(jīng)典的分段函數(shù)定義，

式（8）中，δj為嚙合副Pj的理論相對嚙合位移，bj為齒側(cè)間隙大小（視為恒定）。

各個嚙合副的嚙合剛度幅值與齒側(cè)間隙函數(shù)的乘積即為各個嚙合副的嚙合力。根據(jù)式式（1）～（6）中對中心構件的支撐反力和行星輪的支撐反力的描述，中心構件和行星輪的支撐反力Fi可以描述為：

當i=s1、s2、c、r時

當i=an、bn時

式（9）～（10）中ki為構件i處的徑向支撐剛度。

由于行星輪在自轉(zhuǎn)的同時，會隨行星架做繞原點O的平面旋轉(zhuǎn)運動，因此在描述行星輪支撐彈簧的位移變形時，會考慮行星架c的振動位移，如式（10）所示。

2 田口實驗

為研究嚙合剛度和徑向支撐剛度對輪系載荷分配性能的綜合影響，在已有的復合行星輪系動力學模型的基礎上，首先建立復合輪系均載性能的多因素分析模型。田口實驗法旨在量化和分析多個變量共同作用下的輸出性能，且不受模型算法的制約，是進行均載性能多因素分析最合適的理論方法之一。為探索不同類型的剛度激勵對均載的綜合影響，本研究將田口實驗理論與復合行星輪系的動力學模型相結合，以輸入和輸出的中心輪的均載系數(shù)為分析目標，所有嚙合副的嚙合剛度幅值、中心構件的徑向支撐剛度幅值以及行星輪的徑向支撐剛度幅值為控制變量。根據(jù)L18(33)直角序列配置不同控制變量的水平取值，并引入復合輪系動力學模型計算相應的均載系數(shù)。采用三維云圖、信噪比分析和方差分析，橫向?qū)Ρ雀骺刂谱兞繉d系數(shù)的影響，找出影響均載性能的最重要控制變量，以及對應的水平。

2.1 均載系數(shù)的定義和計算

采用龍哥庫塔數(shù)值法求解復合行星輪系的常微分運動方程組（1）～（6），得到各嚙合副隨時間變化的嚙合力fj，用來定義均載系數(shù)Bm，以衡量中心輪載荷分配性能優(yōu)劣。

由嚙合副Pj的時變嚙合力fj，經(jīng)式（11）計算得到中心輪i在任意時刻下的均載系數(shù)Bj(t)，然后取一段時間內(nèi)的均載系數(shù)的最大值Bm，作為衡量該中心輪載荷分配性能優(yōu)劣的均載系數(shù)。這樣定義均載系數(shù)與之前文獻[1-2]中定義不同，主要是為了體現(xiàn)輪系載荷分配的性能的實時性。這種均載系數(shù)定義的可行性，將在后續(xù)的結果分析中通過文獻對比的方式加以論證。本文的分析目標是中心輪s1和s2的均載系數(shù)

2.2 控制變量和直交序列

根據(jù)田口實驗理論，為衡量嚙合剛度和支撐剛度對復合輪系均載性能的影響效果，設計控制變量水平的數(shù)目和取值（見表1），使控制變量的不同取值能夠?qū)喯档木d性能產(chǎn)生顯著變化。據(jù)文獻[1-2]的結果分析，嚙合剛度幅值以及徑向支撐剛度幅值的變化范圍取2×1010～8×1010N/m，周轉(zhuǎn)輪系的動態(tài)特性發(fā)生顯著的變化。

表1 控制變量和相應水平Table 1 Control parameters and their levels 1010 N/m

表1中，3組控制變量同屬于剛度激勵的范疇，其取值的數(shù)量級和對輪系動力學模型的作用機理相近，適合用來比較不同的激勵對均載的作用效果。將各控制變量的水平按照L18直交序列的規(guī)則進行分布，并按照實驗編號的順序依次引入復合行星輪系的運動方程（1）～（6）中，計算輸入中心輪s1的均載系數(shù)和輸出中心輪s2的均載系數(shù)，以及相應的信噪比，其結果如表2所示。

表2 L18直交序列和實驗結果Table 2 Results of experiments and L18 orthogonal table

3 結果分析

3.1 信噪比分析

田口實驗法采用丟失函數(shù)衡量理論值與真實值的誤差，這類丟失函數(shù)可以進一步的理解為信噪比（S/N）[6]。通常有3種衡量分析質(zhì)量的信噪比模型，“l(fā)ower-the-better”“the higher-the-better” 和“the nominal-the-best”[7]。基于信噪比值，對于每一個控制變量進行信噪比分析。為了使系統(tǒng)的均載性能最優(yōu)化，即均載系數(shù)降到最低，故采用“l(fā)ower-the-better”信噪比模型進行計算，其計算法則如式（13）所示。

控制變量的不同水平所對應的平均信噪比，按照文獻[8]的方法計算，結果如表3所示。由表3可知，每一種控制變量（A、B、C）都有較大的信噪比水平值，這表明控制變量取該水平值對嚙合副的均載性能較好[8]。為了使輸入中心輪s1和輸出中心輪s2的均載性能最好，可以使各個控制變量取第一個水平，即所有剛度激勵的幅值越小，均載性能越好。

表3 控制變量各水平的平均值信噪比Table 3 Average S/N response table

為了更好地了解每個控制變量對均載的影響，掌握均載隨控制變量的變化趨勢，繪制出均載系數(shù)的要因效果圖，如圖2所示。

圖2 均載系數(shù)的要因效果圖Fig. 2 The main factor effect diagram of load sharing coefficient

由圖2可知：隨著嚙合剛度水平值的增加（A1～A3），均載系數(shù)的平均信噪比由下降到趨于平穩(wěn)，表明嚙合剛度幅值的增加會降低輪系的均載性能，但增大到一定幅值（5×1010N/m）后，對均載的影響可以忽略；隨著中心輪s1和s2以及行星輪的支撐剛度增加，均載系數(shù)的平均信噪比減小，均載系數(shù)增大，這表明構件支撐剛度幅值的增加不利于提升輪系均載性能。除此之外，通過對比3種控制變量平均信噪比的波動幅值發(fā)現(xiàn)，控制變量C的變化能引起均載系數(shù)的較大變化；控制變量B的變化能引起均載系數(shù)的較大波動。

3.2 方差分析

方差分析是一種數(shù)理統(tǒng)計方法，主要用于在設計過程中分析多因素變量之間的相互作用關系。本文分析內(nèi)部激勵和外部激勵對均載影響的貢獻度，采取95%的置信區(qū)間。F檢測能夠根據(jù)其指定的置信度，找出每一個影響因子對結果的貢獻度；每一個控制變量對均載系數(shù)影響的貢獻率取決于F測試的結果。方差分析結果如表4所示。

表4 方差分析結果Table 4 Results of analysis of variance

由表4可知，控制變量A、B、C對均載系數(shù)的貢獻率分別是18.96%、26.86%、49.61%，對均載系數(shù)影響最大的控制變量是行星輪的支撐剛度。相比于嚙合剛度幅值（控制變量A的貢獻率為27.45%）和行星輪支撐剛度幅值（控制變量C的貢獻率為11.09%），中心輪s1和s2的支撐剛度對均載系數(shù)產(chǎn)生了較大的影響（控制變量B的貢獻率為49.09%）。

由信噪比分析和方差分析的結果可知，在3個控制變量中，相比于所有嚙合副的嚙合剛度幅值，中心輪s1和s2的支撐剛度幅值和行星輪的支撐剛度幅值對輪系均載的影響較大。行星輪的an和bn的支撐剛度（貢獻率49.61%）是影響均載系數(shù)的最關鍵因素，中心輪s1和s2的支撐剛度是決定輸出中心輪s2的載荷分配性能的最關鍵因素（貢獻率49.09%），嚙合剛度幅值的變化對均載的影響要小很多。產(chǎn)生這種現(xiàn)象的主要原因在于嚙合剛度幅值的變化并不針對某個功率傳遞線路上的作用力，而是針對所有嚙合副，因此并未對功率分流性能產(chǎn)生較大影響；而降低構件的支撐剛度，相當于對傳遞載荷的輪系構件起到構件浮動的效果，增大構件的浮動量可以明顯改善系統(tǒng)的均載特性[8]，與相關文獻的記載一致。這就驗證了本文所建立的動力學模型的正確性，以及所定義的均載系數(shù)的可行性。

然而，方差分析的結果仍未能給出決定復合行星輪系均載性能的最關鍵激勵。為更清晰地比較控制變量對均載的作用效果，需要研究2個控制變量同時變化時，均載系數(shù)的變化規(guī)律，如圖3所示。

圖3 均載系數(shù)隨2個控制變量的變化云圖Fig. 3 The changing cloud diagram of load sharing coefficient with two control variables

由圖3可知：隨著3個控制變量（A、B、C）坐標值的增加，均載系數(shù)和，在局部和整體上都呈上升的趨勢，這說明輪系的均載性能會隨著嚙合剛度以及支撐剛度幅值的增加而降低，這與之前3.1節(jié)的結論吻合。相對于不同的控制變量，均載系數(shù)的上升梯度各不相同，說明不同控制變量對輪系均載性能的影響程度存在顯著差異；在相同的激勵配置下，的值和變化梯度大于，表明輸出中心輪s2的載荷分配性能更容易受到來自剛度激勵的影響，而依據(jù)方差分析的結果，控制變量B（中心輪s1和s2的徑向支撐剛度幅值）是決定均載系數(shù)的最關鍵因素。

4 結論

綜上所述，可得以下結論：

1）嚙合剛度幅值的增加會降低輪系的均載性能，但是當增大到5×1010N/m后再繼續(xù)增加，基本不影響輪系的均載性能；增大中心輪s1和s2的支撐剛度幅值，會降低輪系的均載性能。

2）在激勵變化幅度相同的情況下，與輸入中心輪s1相比，輸出中心輪s2的均載系數(shù)變化更加劇烈，因此采用來衡量本復合輪系均載性能的指標。

3）田口實驗與方差分析的結果表明，中心輪s1和s2的支撐剛度是決定復合輪系均載性能最重要的剛度激勵，其次是行星輪的支撐剛度和所有嚙合副的嚙合剛度。

4）本文所建立的復合行星輪系多因素分析模型，可以用來研究輪系的動態(tài)特征在不同類型激勵因素作用下的變化規(guī)律，定量比較各激勵對動態(tài)指標的影響權值，找出決定動態(tài)指標的最關鍵因素。