薛建秀,呂 文

(煙臺(tái)大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,山東 煙臺(tái) 264005)

時(shí)滯不可避免地發(fā)生在許多機(jī)械、物理和生物系統(tǒng)中,這種現(xiàn)象往往是由通信系統(tǒng)和機(jī)械驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)等物理系統(tǒng)的固有特性引起的。時(shí)滯的存在會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)性能下降,甚至產(chǎn)生不穩(wěn)定和振蕩。時(shí)滯系統(tǒng)是指一類(lèi)當(dāng)前狀態(tài)的變化率受過(guò)去狀態(tài)影響的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)。半個(gè)世紀(jì)以來(lái),許多學(xué)者致力于研究控制理論和工程應(yīng)用中的時(shí)滯系統(tǒng)[1]。

在工程中,許多受到來(lái)自外部環(huán)境的隨機(jī)擾動(dòng)影響的實(shí)際系統(tǒng)通常被建模為隨機(jī)微分方程[2],其隨機(jī)擾動(dòng)是一個(gè)白噪聲過(guò)程。雖然由這種方程所描述的隨機(jī)非線(xiàn)性系統(tǒng)的分析方法成果豐碩,但在許多動(dòng)態(tài)特性的分析中,如神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、機(jī)械振動(dòng)等,白噪聲并不是很有意義。因此,許多研究者轉(zhuǎn)而使用平穩(wěn)的隨機(jī)過(guò)程來(lái)表示隨機(jī)干擾,受這些隨機(jī)干擾的系統(tǒng)被建模為隨機(jī)非線(xiàn)性仿射系統(tǒng)[3]。從能量的觀點(diǎn)來(lái)看,對(duì)于一些受到隨機(jī)擾動(dòng)的系統(tǒng),隨機(jī)非線(xiàn)性仿射系統(tǒng)可以看作是一種更為現(xiàn)實(shí)的描述。WU等[4]從物理和數(shù)學(xué)的角度系統(tǒng)分析了隨機(jī)環(huán)境中的拉格朗日系統(tǒng)應(yīng)該被建模為隨機(jī)非線(xiàn)性仿射系統(tǒng)的原因。

系統(tǒng)穩(wěn)定性是系統(tǒng)性能分析和綜合的首要考慮因素,也一直是研究的熱點(diǎn)。對(duì)于隨機(jī)非線(xiàn)性系統(tǒng),在WU[5]建立了隨機(jī)非線(xiàn)性系統(tǒng)穩(wěn)定性分析的新框架后,關(guān)于隨機(jī)非線(xiàn)性系統(tǒng)的研究結(jié)果層出不窮[6-8]。然而在現(xiàn)有的文獻(xiàn)中,大多數(shù)都沒(méi)有考慮時(shí)滯對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為的影響。最近,JIAO等[7]首次利用Lyapunov函數(shù)方法討論了一類(lèi)帶有有限二階矩的隨機(jī)時(shí)滯非線(xiàn)性系統(tǒng)的噪聲到狀態(tài)穩(wěn)定性。然而,由于時(shí)滯消失時(shí),JIAO等人提出的穩(wěn)定性的定義與文獻(xiàn)[5]中給出的相關(guān)定義并不一致。另一方面,他們提出的穩(wěn)定性準(zhǔn)則都是在時(shí)滯的時(shí)間導(dǎo)數(shù)小于1的假設(shè)下得到的。在此基礎(chǔ)上,YAO等[8]給出了隨機(jī)時(shí)滯非線(xiàn)性系統(tǒng)的新噪聲到狀態(tài)穩(wěn)定性的定義和標(biāo)準(zhǔn),其中隨機(jī)擾動(dòng)的r(r>1)階矩是有限的。這篇文章克服了文獻(xiàn)[7]中所提到的缺點(diǎn),可以視為現(xiàn)有文獻(xiàn)中隨機(jī)非線(xiàn)性系統(tǒng)的自然擴(kuò)展。然而,在文獻(xiàn)[8]的噪聲到狀態(tài)穩(wěn)定性的判據(jù)中,關(guān)于Lyapunov泛函的時(shí)間導(dǎo)數(shù)需要是負(fù)定的。該約束條件較為保守,這也是本文的動(dòng)機(jī)。

本文第1節(jié)介紹所用到的記號(hào)和基本概念，第2節(jié)利用UASF給出隨機(jī)時(shí)滯非線(xiàn)性系統(tǒng)的解的存在唯一性定理，第3節(jié)分別給出了在m階矩意義下和依概率意義下新的噪聲到狀態(tài)穩(wěn)定性定理，最后對(duì)全文進(jìn)行了總結(jié)。

1 預(yù)備知識(shí)

Ci表示所有具有連續(xù)i階偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)集合。設(shè)τ>0,記C([-τ,0];n)表示所有連續(xù)函數(shù)φ：[-τ,0]→n所構(gòu)成的空間,其范數(shù)定義為

‖φ‖=sup-τ≤θ≤0|φ(θ)|。

ψt0={ψ(t0+θ):-τ≤θ≤0}。

另外,W(t,x)∈C1,1([t0-τ,∞)×n;+)蘊(yùn)含著函數(shù)W(t,x)在[t0-τ,∞)×n上對(duì)x和t都是C1的且W(t,x)≥0。

考慮隨機(jī)時(shí)滯非線(xiàn)性系統(tǒng)

g(t,x(t-τ(t)),x(t))ξ(t),t≥t0,

(1)

(A1)ξ(t)∈m是一個(gè)Ft適應(yīng)、分段連續(xù)的隨機(jī)過(guò)程。它的r階矩有限,即存在參數(shù)K>0,使得

supt0≤s≤tE|ξ(s)|r

定義1[8]稱(chēng)隨機(jī)過(guò)程x(t)∈n是系統(tǒng)(1)在[t0-τ,T]上的一個(gè)解,如果

(i)x(t)是連續(xù)、Ft適應(yīng)的;

(ii) 初始值xt0=φ=φ(θ),t0-τ≤θ≤t0;

(iii) 對(duì)任意的t0≤t≤T,有

下面給出一致漸近穩(wěn)定函數(shù)(UASF)的定義以及它的一個(gè)重要引理。

|Z(t) |≤β(|Z0|,t-t0), ?t≥t0,

則稱(chēng)這個(gè)實(shí)值分段連續(xù)函數(shù)μ(t)是一個(gè)UASF。

引理1[10]分段連續(xù)函數(shù)μ(t)∈是一個(gè)UASF當(dāng)且僅當(dāng)

其中，常數(shù)λ>0,δ≥0。

2 解的存在唯一性

本節(jié)運(yùn)用UASF討論系統(tǒng)(1)的解的存在唯一性。首先給出以下假設(shè)：

(A3) 存在一個(gè)常數(shù)d>0,使得

|f(t,0,0)|∨‖g(t,0,0)‖

定理1對(duì)于系統(tǒng)(1),假設(shè)存在常數(shù)c>0,函數(shù)N(x)∈C(n;+)和V(t,x)∈C1,1([t0,∞)×n;+),以及一個(gè)UASFμ1使得

(2)

N(x) ≤V(t,x)。

(3)

μ1(t)[N(x)+N(y)]。

(4)

證明對(duì)x,y∈n,以及任意的整數(shù)k≥1,定義

以及相應(yīng)的截尾函數(shù)fk(t,y,x)=f(t,y[k],x[k])和gk(t,y,x)=g(t,y[k],x[k]),易見(jiàn)fk(t,y,x)和gk(t,y,x)都滿(mǎn)足Lipschitz條件。結(jié)合文獻(xiàn)[8]中引理1的證明過(guò)程,類(lèi)似可得系統(tǒng)(1)在[t0-τ,ρ∞)上存在唯一解x(t)。

P{ρk≤T1}>ε, ?k>k0。

(5)

Vxg(t,y,x)ξ(t)-2μ1(t)V(t,x)]≤

cr|ξ(t)|r-2μ1(t)V(t,x)]≤

cr|ξ(t)|r-2μ1(t)V(t,x)]≤

(6)

x(t∧ρk))-V(t0,x(t0))≤

即

(7)

進(jìn)一步地,結(jié)合引理1,對(duì)式(7)兩邊取期望得

EV(t∧ρk,x(t∧ρk))≤

E[e-2λ1(t∧ρk-t0)+2δ1V(t0,x(t0))]+

e2δ1EV(t0,x(t0))+Hp(t-t0)。

(8)

其中Hp=e2δ1K·cr,λ1>0,δ1≥0。

令t=T1,得

EV(T1∧ρk,x(T1∧ρk))≤

e2δ1EV(t0,x(t0))+Hp(T1-t0)。

(9)

從而有

E[V(ρk,x(ρk))I{ρk≤T1}]≤

e2δ1EV(t0,x(t0))+Hp(T1-t0)。

(10)

σkε<σkP{ρk≤T1}≤

e2δ1EV(t0,x(t0))+Hp(T1-t0)。

令k→∞便得到矛盾,所以P{ρ∞=∞}=1,即系統(tǒng)(1)在[t0-τ,∞)上存在唯一解。

3 噪聲到狀態(tài)穩(wěn)定性

本節(jié)考慮隨機(jī)時(shí)滯非線(xiàn)性系統(tǒng)(1)的若干穩(wěn)定性。

成立,其中常數(shù)m>0,‖φ‖=sup-τ≤t≤0|φ(t)|,則稱(chēng)系統(tǒng)(1)是m階矩噪聲到狀態(tài)穩(wěn)定的(NSS-m-M)。特別地,若

其中K>0,則稱(chēng)系統(tǒng)(1)的狀態(tài)是m階矩極限有界的(UB-m-M)。

成立,其中‖φ‖=sup-τ≤t≤0|φ(t)|,則稱(chēng)系統(tǒng)(1)是依概率噪聲到狀態(tài)穩(wěn)定的(NSS-P)。特別地,若

其中K>0,則稱(chēng)系統(tǒng)(1)的狀態(tài)是依概率極限有界的(UB-P)。

在給出本文的穩(wěn)定性結(jié)果之前,先引入一個(gè)重要引理。

引理2[5]若y(t),h(t)和w(t)是定義在[t0,∞)上的連續(xù)函數(shù),使得對(duì)?t≥t0,滿(mǎn)足

D+y(t)≤h(t)y(t)+w(t),

則

首先給出具有時(shí)變時(shí)滯的隨機(jī)非線(xiàn)性系統(tǒng)(1)的m階矩噪聲到狀態(tài)穩(wěn)定性定理。

定理2對(duì)于系統(tǒng)(1),若存在正數(shù)m,c1,c2,c,一個(gè)UASFμ2(t)和一個(gè)泛函V(t,ψ)∈C1,1([t0,∞)×n;+),其中ψ∈C([-τ,0];n),使得

c1|ψ(0)|m≤V(t,ψ(0))≤

(11)

μ2(t)V(t,x(t))。

(12)

EV(t∧ζk,x(t∧ζk))≤

eδ2EV(t0,x(t0))+Hq(t-t0),

(13)

其中Hq=eδ2K·cr。下證ρ∞=∞,a.s。

P{ζk

eδ2EV(t0,x(t0))+Hq(t-t0)。

依次令k→∞,t→∞,則P{ζ∞<∞}=0,即ζ∞=∞,a.s。進(jìn)而由ζk的定義可得ρ∞=∞,a.s。所以系統(tǒng)(1)在[t0-τ,∞)上存在唯一解。

另一方面,由式(12)和Young不等式得

μ2(t)V(t,x(t))+cr|ξ(t)|r。

(14)

EV(t+ε,x(t+ε))-EV(t,x(t))≤

(15)

兩邊同除以ε且令ε→0,得

D+[EV(t,x(t))]≤

μ2(t)EV(t,x(t))+crE|ξ(t)|r。

(16)

由引理2得

EV(t0,x(t0))e-λ2(t-t0)+δ2+

(17)

利用式(11)得

c1E|x(t)|m≤

(18)

即

E|x(t)|m≤

(19)

另外,由于supt0≤s≤tE|ξ(s)|r1,K>0),因此式(19)可轉(zhuǎn)化為

(20)

對(duì)上式令t→∞,則

即系統(tǒng)(1)的狀態(tài)是UB-m-M的。

下面給出系統(tǒng)(1)的依概率噪聲到狀態(tài)穩(wěn)定性的新的充分條件。

定理3對(duì)于系統(tǒng)(1),若存在常數(shù)c>0,函數(shù)γ1∈K∞,γ2∈K∞,一個(gè)UASFμ3(t)和一個(gè)泛函V(t,ψ)∈C1,1([t0,∞)×n;+),其中ψ∈C([-τ,0];n),使得

γ1(|ψ(0)|)≤V(t,ψ(0))≤

(21)

μ3(t)V(t,x(t)),

(22)

證明采用與定理2相同的證明方法,可得系統(tǒng)(1)在[t0-τ,∞)上存在唯一解且

EV(t,x(t))≤EV(t0,x(t0))e-λ3(t-t0)+δ3+

(23)

由式(21)得

EV(t,x(t))≤γ2(E‖φ‖)e-λ3(t-t0)+δ3+

(24)

由馬爾可夫不等式,式(21)以及(24),對(duì)?ε>0,有

P{γ1(|x(t)|)≥

P{V(t,x(t))≥

(25)

即

(26)

(27)

即系統(tǒng)(1)是NSS-P的。

由式(27),有

進(jìn)一步地,又由于supt0≤s≤tE|ξ(s)|r1,K>0),所以對(duì)?t≥t0,

(28)

由此可知系統(tǒng)(1)的狀態(tài)是UB-P的。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文研究了一類(lèi)帶有變時(shí)滯的隨機(jī)非線(xiàn)性系統(tǒng),其中它的隨機(jī)擾動(dòng)的r階矩是有限的。首先,利用UASF給出新的充分條件來(lái)保證該系統(tǒng)的解存在唯一性;然后在此基礎(chǔ)上,再次利用UASF分別給出新的在m階矩意義下和依概率意義下的噪聲到狀態(tài)穩(wěn)定性和系統(tǒng)狀態(tài)的極限有界性定理,所得結(jié)果放寬了現(xiàn)有的關(guān)于Lyapunov泛函V(t,x(t))的導(dǎo)數(shù)的限制條件。另外,在定理2中,若μ2(t)=-c3(c3>0),則定理2與文獻(xiàn)[8]中的定理1是相一致的,所以本文的定理2可以看作是文獻(xiàn)[8]中定理1的一種推廣。在接下來(lái)的研究中,將考慮運(yùn)用UASF給出該系統(tǒng)的噪聲到狀態(tài)不穩(wěn)定性的判定定理。