張 侖, 張曉明,2, 馬喜宏,2, 陶 威, 楊曉蕾

(1.中北大學 電子測試技術(shù)國家重點實驗室,山西 太原 030051；2.中北大學 儀器科學與動態(tài)測試教育部重點實驗室,山西 太原 030051)

0 引 言

磁性目標產(chǎn)生的磁場疊加在地球磁場之上,會引起周圍局部區(qū)域地磁場畸變即磁異常。相比于其他物理勘探法,磁異常探測法成本低速度快等優(yōu)點,目前成為國內(nèi)外磁目標探測的首選方法[1]。磁場張量測量相對于總磁場強度、磁場矢量測量,可以提供更多的信息,不易受到區(qū)間環(huán)境的磁干擾影響。因此成為了目前研究的熱點問題[2,3]。

磁場梯度張量目前多采用多個矢量傳感器組成測量陣列,得到空間范圍內(nèi)磁場的張量信息[4]。由于制造工藝,矢量磁傳感器通常會存在零偏、靈敏度和軸間不正交等系統(tǒng)制造誤差。各個傳感器在組成磁張量測量系統(tǒng)的安裝過程中也會出現(xiàn)偏移、旋轉(zhuǎn)等安裝誤差,偏移誤差可以通過工藝消除,但是由旋轉(zhuǎn)引起的非對準誤差通常難以消除,會導致張量分量幾百到幾千納特(nT)的誤差,嚴重影響張量測量系統(tǒng)的精度,所以,有必要對磁張量測量系統(tǒng)的非對準誤差進行標定及校正[5,6]。

傳統(tǒng)針對矢量傳感器的校準方法往往需要磁屏蔽筒、三軸非磁標定平臺、亥姆霍茲線圈等設備,但存在設備體積大,無法攜帶且成本較高等問題[7]。于振濤等人[8]利用差分測量法融合了磁力儀的制造誤差及安裝誤差,但其并未進行實際應用。張光等人[9]基于標量校正提出了磁張量測量系統(tǒng)的線性模型,但忽視了誤差模型中轉(zhuǎn)換過程的高階小量,一定程度上影響到最終校正的效果。杜昱辰等人[10]提出了基于線性模型的校正方法,但未考慮到線性模型中系數(shù)矩陣的誤差。

考慮到上述問題,本文針對陣列中多個傳感器的非對準誤差,嘗試構(gòu)建線性方程組并采用整體最小二乘法求解,計算各傳感器相對于陣列系統(tǒng)正交系的非對準誤差進行校正,為張量測量系統(tǒng)非對準誤差的快速標定提供新思路。

1 磁場張量測量理論與陣列建立

磁場全張量就是磁矢量三分量在三個相互正交的方向上的分量組成的,若某點磁感應強度為

B=[BxByBz]T

(1)

其磁場梯度張量可表示為

(2)

磁場張量測量系統(tǒng)通常工作在無源場環(huán)境下,由麥克斯韋方程可知,在無源空間中磁場旋度和散度為0,由式(2)可得Byx=Bxy,Bzx=Bxz,Byz=Bzy,Bxx+Byy+Bzz=0,則磁梯度張量矩陣可表示為

(3)

利用測量系統(tǒng)測量Bxx,Bxy,Bxz,Byy,Byz五個分量就可求出磁梯度張量矩陣G[11]。

2 非對準誤差參數(shù)建模及校正

在實際中,磁通門傳感器安裝在陣列結(jié)構(gòu)上時各個傳感器正交坐標系間會存在非對準誤差,如圖1所示,傳感器1坐標系O1-X1Y1Z1與傳感器2坐標系O2-X2Y2Z2之間存在旋轉(zhuǎn)誤差，即非對準誤差,經(jīng)過非對準誤差校正后的系統(tǒng)中各傳感器輸出均為理想正交。

圖1 傳感器間非對準誤差示意

在XYZ三軸上旋轉(zhuǎn)傳感器可將坐標系Oi-XiYiZi(i=2,3,4)轉(zhuǎn)換到O1-X1Y1Z1上,定義繞X軸旋轉(zhuǎn)為橫傾角α,繞Y軸旋轉(zhuǎn)為俯仰角β,繞Z軸旋轉(zhuǎn)為方位角γ,單個傳感器三軸正交輸出為Bi=[Bix,Biy,Biz]T,傳感器1為參考標準坐標系,輸出為B1=[B1x,B1y,B1z]T,以傳感器2為例,與傳感器1坐標系關(guān)系如圖2。

圖2 傳感器坐標系轉(zhuǎn)換關(guān)系

定義Kα,Kβ,Kγ分別為橫傾、俯仰和方位旋轉(zhuǎn)矩陣。兩坐標系任意姿態(tài)均能通過繞三軸依次旋轉(zhuǎn)進行轉(zhuǎn)換[12]。旋轉(zhuǎn)矩陣相乘順序與旋轉(zhuǎn)順序相對應,這里選擇繞X,Y,Z軸旋轉(zhuǎn)的順序,則傳感器2空間任意姿態(tài)正交系O2-X2Y2Z2與參考正交系O1-X1Y1Z1間輸出磁場三分量轉(zhuǎn)換可以表示為

(4)

式中Kα,Kβ,Kγ分別橫傾、俯仰和方位旋轉(zhuǎn)矩陣。X,Y,Z軸改寫為向量乘積形式

(5)

定義R為各傳感器測量值,Vx,Vy,Vz為旋轉(zhuǎn)向量。假設實驗中使測量系統(tǒng)繞三軸旋轉(zhuǎn),共采集到N組空間姿態(tài)數(shù)據(jù),則式(5)可增廣為線性方程組

(6)

對于線性方程組RV=B,普通的最小二乘思想是在殘差平方和極小的約束下求解最佳參數(shù),是建立在R沒有誤差的前提下,可表示為

RV=B+EB

(7)

式中EB為標準傳感器輸出B的噪聲,但是絕大多數(shù)情況下系數(shù)矩陣R和觀測矩陣B同時存在誤差[13],同時考慮二者誤差時,線性方程組可表示為

(R+ER)V=B+EB

(8)

式中ER為各傳感器測量噪聲,與EB為相互獨立的白噪聲誤差,解決這類問題采用整體最小二乘法,對于線性方程組RV=B在以下準則約束下

(9)

式中 ‖M‖F(xiàn)為Frobenius范數(shù),簡稱F范數(shù),將線性方程組RV=B改寫為

[RB][VT-1]T=0

(10)

記增廣矩陣C=[RB],對其進行奇異值分解

C=UΣVT

(11)

其中

Σ=diag[σ1,σ2,…,σn,σn+1]

(12)

根據(jù)矩陣奇異值(SVD)分解定義,對于增廣矩陣CN×4,當N≥4時可進行奇異值分解,即姿態(tài)數(shù)據(jù)應至少滿足4組。此時有整體最小二乘解[13]Vx,Vy,Vz

(13)

式中In為n維單位向量。聯(lián)立式(5)、式(13)可解出α,β,γ角為

(14)

正交系校正順序與旋轉(zhuǎn)順序相對應,由式(4)可得校正順序依次為γ,β,α,即可實現(xiàn)非對準誤差的校正。校正后各只傳感器將沿著參考傳感器1正交系O1-X1Y1Z1輸出。

3 仿真分析

通過MATLAB仿真驗證提出的線性對準方法。設地磁總場強為54 000 nT,測量系統(tǒng)基線距離為0.45 m。依次繞傳感器三軸旋轉(zhuǎn),繞Z軸開始旋轉(zhuǎn),間隔為30°,Z軸每轉(zhuǎn)滿一周繞Y軸轉(zhuǎn)動一次,Y軸每轉(zhuǎn)滿一周繞X軸轉(zhuǎn)動一次,得到1 782組姿態(tài)傳感器的理想輸出B1～4。加入均值為0 nT,方差為1 nT的高斯隨機噪聲模擬真實磁場環(huán)境。在理想均勻磁場中,若傳感器之間完全對準則任意姿態(tài)下張量分量恒為0,使用RMSE來量化校正效果,以張量分量Bxx為例,如式(15)

(15)

式中N為姿態(tài)數(shù),Bxxi為第i個姿態(tài)下的張量分量輸出,Bxx為參考輸出,理想磁場下為0。ERMS理論值為0,ERMS越小,校準效果越好。

將4只矢量磁傳感器視為已完成理想正交化即系統(tǒng)誤差標定,取X,Y,Z軸旋轉(zhuǎn)角度分別為[0,30°,60°],[30°,90°,120°],[60°,120°,150°],[90°,150°,180°]的4組姿態(tài)數(shù)據(jù),用于張量測量系統(tǒng)非對準誤差的標定。9個參數(shù)的預設值與估計值如表1,對應RMSE列于表2。

表1 非對準誤差角預設值與估計值

表2 校正前后張量分量RMSE值 nT/m

仿真結(jié)果表明,僅使用4組測量數(shù)據(jù)估計的非對準誤差預測精度均高于99.7 %,經(jīng)對準后系統(tǒng)張量分量輸出RMSE值均小于2 nT/m,根據(jù)式(3)可知在預設測量噪聲范圍內(nèi)。故提出的非對準誤差校正方法對準性能良好,可用于張量測量系統(tǒng)補償校準。

4 實驗驗證

目前,常用的磁場張量測量陣列有平面十字形、正方形、三角形、空間直角四面體等結(jié)構(gòu),其中平面十字形陣列結(jié)構(gòu)安裝方便,帶來的結(jié)構(gòu)誤差較小[14],故采用平面十字形陣列結(jié)構(gòu)。用4只三軸磁通門傳感器搭建如圖3所示的平面十字磁張量測量系統(tǒng),十字架結(jié)構(gòu)選用無磁結(jié)構(gòu),基線距離為0.45 m。選取平坦空曠、磁干擾小的環(huán)境進行實驗。

圖3 平面十字磁張量測量系統(tǒng)校正實驗

測量系統(tǒng)共采集76組姿態(tài)信息,分成兩部分:單軸組與隨機組。單軸組繞系統(tǒng)Z軸旋轉(zhuǎn)一周,采集4組姿態(tài)數(shù)據(jù)(間隔90°),用于估計非對準誤差參數(shù)；隨機組繞任意軸旋轉(zhuǎn),采集72組姿態(tài)數(shù)據(jù),用于增加姿態(tài)數(shù)據(jù)量以驗證標定效果。以標量磁強計測得系統(tǒng)空間范圍內(nèi)總場強均值Bc作為標準,將4組傳感器進行系統(tǒng)誤差校正得到理想正交系,以傳感器1為參考進行非對準誤差角度解算出非對準誤差。對比最小二乘法,計算所有姿態(tài)數(shù)據(jù)對準后的測量系統(tǒng)各張量分量Bxx,Bxy,Bxz,Byy,Byz,如圖4所示。以0 nT/m為標準的RMSE結(jié)果列于表3。

圖4 實驗對準前后各空間姿態(tài)張量分量對比

表3 校正前后張量分量RMSE值 nT/m

結(jié)果可以看出:繞單軸旋轉(zhuǎn)1周采集4組姿態(tài)數(shù)據(jù)即可得到較精確估計?；谡w最小二乘法對比最小二乘法估計,考慮到各傳感器存在測量噪聲誤差的問題,對準校正后張量測量系統(tǒng)輸出更加穩(wěn)定、精確,校正后張量分量RMSE值由上千nT/m降低到65 nT/m以下,考慮到實際測量環(huán)境中并非均勻磁場,會受到多磁源、局部磁異常、傳感器自身磁滯等因素綜合影響,可認為非對準誤差得到了有效校正。

5 結(jié) 論

本文提出磁場張量測量系統(tǒng)的非對準誤差校正法,對非對準誤差產(chǎn)生機理分析并進行數(shù)學建模?；谄矫媸謴埩繙y量系統(tǒng),只需測量系統(tǒng)采集4組姿態(tài)數(shù)據(jù),即可得到較精確的系統(tǒng)非對準誤差參數(shù)。仿真校準后的非對準誤差角預測精度高于99.7 %,實際系統(tǒng)測量環(huán)境中并非理想均勻磁場,會受到多磁源、局部磁異常、傳感器自身磁滯等因素影響,實測校正后張量分量RMSE由校正前上千nT/m降至65 nT/m以內(nèi),相對于最小二乘法降低了一個數(shù)量級,對準后張量系統(tǒng)輸出均方根小而穩(wěn)定,且無結(jié)構(gòu)要求,故還可以應用于任意三軸磁傳感器及與加速度計組合的測量系統(tǒng)內(nèi)。具有一定的科研、工程應用價值。