趙 明, 李 云

(哈爾濱商業(yè)大學(xué) 計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院,黑龍江 哈爾濱 150028)

0 引 言

從輸入數(shù)據(jù)中過濾掉噪聲和干擾信息,獲取實(shí)用信息的操作稱為濾波,使用的設(shè)備稱為濾波器。按照濾波器的輸出和輸入之間如果存在線性關(guān)系,則稱為非線性濾波器,否則為線性濾波器[1,2]。非線性濾波[3,4]的輸入與輸出之間存在邏輯運(yùn)算,如最大值濾波器、最小值濾波器和中值濾波器等。非線性濾波沒有固定的模板,也沒有特定的傳遞函數(shù)。

現(xiàn)在的非線性濾波算法中,都是假定系統(tǒng)噪聲與觀測(cè)噪聲互相獨(dú)立的。但是實(shí)際應(yīng)用中,由于受表內(nèi)環(huán)境的影響和離散化觀測(cè)信息,噪聲相互獨(dú)立的條件有時(shí)很難得到滿足,當(dāng)系統(tǒng)噪聲相關(guān)時(shí),現(xiàn)有的非線性濾波算法誤差很大,甚至發(fā)散。文獻(xiàn)[5～7]給出的是帶相關(guān)噪聲的線性系統(tǒng)的估值器。文獻(xiàn)[8～12]給出的是帶相關(guān)噪聲的非線性系統(tǒng)的單個(gè)傳感器估值器,但是沒有給出多個(gè)傳感器系統(tǒng)的融合估計(jì)算法。因此,噪聲相關(guān)情形的非線性濾波問題是具有理論和現(xiàn)實(shí)意義的[13,14]。基于貝葉斯估計(jì)框架,解決相關(guān)噪聲估計(jì)問題有兩個(gè)基本的方法。一種是去相關(guān)方法[15，16],通過變換將相關(guān)噪聲變換為不相關(guān)的；另一種是Gauss近似遞歸(Gauss approximation recursion,GAR)濾波器框架[17,18]。

有文獻(xiàn)[19]基于Taylor級(jí)數(shù)逼近方法,提出了加權(quán)觀測(cè)融合(weighted measurement fusion,WMF)非線性濾波器。文獻(xiàn)中給出的算法可以統(tǒng)一處理非線性系統(tǒng)融合估計(jì)問題,但該算法的缺點(diǎn)是需要在線計(jì)算Taylor級(jí)數(shù)展開項(xiàng)系數(shù),在線計(jì)算負(fù)擔(dān)重。Gauss-Hermite(G-H)逼近方法是通過固定點(diǎn)采樣、Gauss函數(shù)和Hermite多項(xiàng)式逼近任意初等函數(shù),該逼近方法具有很好的擬合效果。

為了解決系統(tǒng)噪聲和觀測(cè)噪聲相關(guān)的問題,本文基于Gauss-Hermite逼近方法和加權(quán)最小二乘法,提出了噪聲相關(guān)非線性系統(tǒng)WMF容積卡爾曼濾波器(cubature Kalman filter,CKF)。為了降低計(jì)算負(fù)擔(dān),改進(jìn)了Gauss-Hermite近似方法,采用分段求解方法,離線計(jì)算分段的加權(quán)系數(shù)矩陣。與最優(yōu)集中式融合算法相比,本文給出的加權(quán)觀測(cè)融合算法精度略低,但是可以顯著減少計(jì)算量。該算法可以處理非線性多傳感器系統(tǒng)融合估計(jì)問題。

1 問題闡述

考慮非線性多傳感器系統(tǒng)

xk+1=fk(xk)+Γwk

(1)

(2)

(3)

式中 E為均值號(hào),上標(biāo)T為轉(zhuǎn)置號(hào),δtt=1,δtk=0(t≠k)。

2 帶相關(guān)噪聲系統(tǒng)的去相關(guān)

對(duì)于式(1)和式(2),考慮了系統(tǒng)噪聲與觀測(cè)噪聲相關(guān)的情形,本文采用去相關(guān)方法,將相關(guān)噪聲轉(zhuǎn)換為不相關(guān)噪聲,進(jìn)而集中融合算法得到了廣泛的應(yīng)用。

定理1對(duì)于式(1)和式(2),噪聲不相關(guān)的集中式觀測(cè)融合系統(tǒng)(centralized measurement fusion system,CMFS)可以重寫為

(4)

(5)

其中

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

噪聲獨(dú)立系統(tǒng)的系統(tǒng)噪聲統(tǒng)計(jì)特性為

(14)

(15)

證明：由式,合并L個(gè)觀測(cè)方程,得到式(5)和式(9)～式(13)。由系統(tǒng)式(1)和式(2),式(1)可以寫為

(16)

由此可以得到式(4)、式(6)和式(8)。新系統(tǒng)的系統(tǒng)噪聲和觀測(cè)噪聲是不相關(guān)的,即

(17)

3 基于Gauss-Hermite逼近的非線性系統(tǒng)WMF算法

3.1 標(biāo)量Gauss-Hermite逼近

fp[(x-xi)/γμ]

(18)

3.2 基于Gauss-Hermite逼近的非線性系統(tǒng)WMF算法

對(duì)于噪聲獨(dú)立的新系統(tǒng)式(4)和式(5)。但是對(duì)于多傳感器系統(tǒng),尤其是針對(duì)傳感器網(wǎng)絡(luò),集中式融合算法由于擴(kuò)維會(huì)帶來巨大的計(jì)算負(fù)擔(dān)。而且對(duì)于噪聲相關(guān)的非線性系統(tǒng),在去相關(guān)的過程中需要將所有觀測(cè)方程擴(kuò)維,這使得計(jì)算量明顯增加。

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

引理2[19]對(duì)于噪聲相關(guān)系統(tǒng)式(1)和式(2),基于Gauss-Hermite逼近的近似加權(quán)觀測(cè)融合方程為

(24)

(25)

(26)

(27)

4 基于Gauss-Hermite逼近的噪聲相關(guān)非線性系統(tǒng)WMF-CKF算法

對(duì)于非線性Gauss濾波遞推公式,需要各種近似策略,將遞推公式轉(zhuǎn)換成可實(shí)現(xiàn)的濾波公式,本文采用的是基于3階球面—相徑容積規(guī)則的CKF算法的實(shí)現(xiàn)[22]。系統(tǒng)式(1)和式(2),當(dāng)系統(tǒng)噪聲和觀測(cè)噪聲相關(guān)時(shí),本文提出的WMF-CKF算法如下:

1)初始化

2)計(jì)算基本容積點(diǎn)和其對(duì)應(yīng)的權(quán)值

3)計(jì)算狀態(tài)預(yù)測(cè)值和誤差協(xié)方差矩陣

4)觀測(cè)更新

5)狀態(tài)更新

轉(zhuǎn)到第2步迭代計(jì)算。該算法可處理噪聲相關(guān)的非線性多傳感器系統(tǒng)的融合估計(jì)問題。噪聲相關(guān)的WMF-CKF算法框架如圖1所示。

圖1 噪聲相關(guān)的WMF-CKF算法框架

5 仿真實(shí)例

考慮一個(gè)帶有4傳感器的非線性系統(tǒng)

xk=fk-1(xk-1)+wk

=0.4xk-1+xk-1/(1+(xk-1)2)+cos(0.1(k-1))+wk

(28)

(29)

(30)

觀測(cè)方程

(31)

由去相關(guān)定理1有

(32)

其中

(33)

(34)

仿真結(jié)果如圖2,圖3所示。從圖中可以看到估計(jì)效果良好。

圖2 WMF-CKF估計(jì)曲線

圖3 CMF-CKF估計(jì)曲線

本例采用累積均方誤差(AMSE)[20],作為衡量系統(tǒng)準(zhǔn)確性的指標(biāo)函數(shù)如式所示,得到的AMSE曲線如圖4所示。

圖4 局部CKF、WMF-CKF及CMF-CKF的AMSE曲線

(35)

由圖4可以看出,集中式融合CKF估計(jì)精度最高,接著是基于Gauss-Hermite逼近的加權(quán)觀測(cè)融合CKF算法,4個(gè)局部CKF估計(jì)算法(LF1～LF4)估計(jì)精度最低。

由圖2～圖4可以看出,本文提出的去相關(guān)加權(quán)觀測(cè)融合CKF濾波算法的有效性。

6 結(jié) 論

1)考慮系統(tǒng)噪聲和觀測(cè)噪聲相關(guān)的非線性系統(tǒng),利用去除相關(guān)的方法,得到噪聲獨(dú)立的新系統(tǒng)；

2)基于Gauss-Hermite逼近方法為了減小計(jì)算負(fù)擔(dān),采用分段的Gauss-Hermite逼近方法分段計(jì)算；

3)在結(jié)論(1)和結(jié)論(2)的基礎(chǔ)上,提出了WMF算法,壓縮降維,降低計(jì)算負(fù)擔(dān)．

4)結(jié)合CKF濾波算法,提出了非線性WMF-CKF算法。與CMF-CKF算法相比,WMF-CKF估計(jì)精度相當(dāng),但大大的減小了計(jì)算量。