呂 博, 譚曉蘭, 劉勝強

(北方工業(yè)大學 機械與材料工程學院,北京 100144)

0 引 言

隨著電子科技、集成電路技術(shù)以及微機電系統(tǒng)(micro-electro-mechanical system,MEMS)器件制造工藝的不斷發(fā)展,MEMS傳感器依靠其諸多優(yōu)點得到了迅速發(fā)展,如,體積小、質(zhì)量輕、能耗低以及適應惡劣工作環(huán)境能力強等。電容式MEMS壓力傳感器具備良好的重復性和長期穩(wěn)定性,雖然電容式壓力傳感器由于其工作原理,導致其輸出為非線性的,但是通過傳感器的信號處理功能,對傳感器線性特性的要求已不必要,而較高的靈敏度則是必需的[1～5]。

由于傳感器在制造過程中有很多不可控因素,如制備環(huán)境、工藝誤差、設備誤差等,尤其是對于MEMS器件來說,微小的變差將造成更加顯著的影響[6],所以,對整個MEMS壓力傳感器進行穩(wěn)健優(yōu)化設計就顯得極為重要。穩(wěn)健設計是指影響產(chǎn)品性能的可控因素和不可控因素(即噪聲因素)在一定范圍內(nèi)產(chǎn)生波動時,仍能保持產(chǎn)品質(zhì)量特性穩(wěn)定的一種工程設計方法[7,8]。

基于隨機模型,本文對一種電容式MEMS壓力傳感器進行了穩(wěn)健設計研究。結(jié)果表明:該穩(wěn)健設計方法不僅可以保證傳感器具有較高的靈敏度,還能保證設計解的穩(wěn)健性,從而提高傳感器的可制造性,降低生產(chǎn)成本。

1 電容式壓力傳感器的理論分析

電容式MEMS壓力傳感器的結(jié)構(gòu)如圖1所示[9]。此傳感器主要由三個元件組成：感壓膜片、電容器以及機械耦合元件(中心柱)。當外部壓強P作用在感壓膜片上時,感壓膜片發(fā)生彎曲變形,且中心處變形最大,通過機械耦合元件,將感壓膜片中心處的變形傳遞給移動板,此處中心柱的尺寸足夠小,故可以忽略對感壓膜片變形產(chǎn)生的影響。

移動板在中心柱的驅(qū)動下向上移動,電容間距變小,電容量發(fā)生改變。通過外接電路測得電容變化量ΔC,再經(jīng)公式推導,便可以求出作用在感壓膜片上的壓強P,從而實現(xiàn)傳感器測量壓力的功能。

當外部壓強作用在感壓膜片上時,感壓膜片發(fā)生彎曲變形,根據(jù)經(jīng)典的薄板小撓度彎曲理論[10],可得薄板的撓曲線方程為

(1)

式中D=Eδ3/12(1-μ2)。

由于圓形薄板周邊為固定邊,所以邊界條件為

ωρ=a=0,dω/dρ=0

(2)

故可以得到

(3)

圓形薄板中心處變形最大,ρ=0,故

(4)

平行板電容器的電容表達式為

(5)

當移動板由于感壓膜片變形而向上移動距離ωmax時,電容變?yōu)?/p>

(6)

故電容變化量為

(7)

由此,便可以得到電容式壓力傳感器的靈敏度表達式為

(8)

2 電容式壓力傳感器的穩(wěn)健設計

2.1 設計變量

通過對電容式MEMS壓力傳感器工作原理的分析[11],得知影響傳感器性能的主要參數(shù)有：感壓膜片半徑r1,感壓膜片厚度δ,動膜半徑r2,平行板間距d以及它們各自的變差,即r1,δ,r2,d,Δr1,Δδ,Δr2,Δd,故設計變量為

X=(r1,δ,r2,d,Δr1,Δδ,Δr2,Δd)T

=(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8)T

(9)

2.2 噪聲因素

在實際問題中的隨機因素通常分為以下兩種基本形式：第一種是在測量或試驗某個物理或力學性能時所得到的數(shù)據(jù)的不確定性；第二種則是由隨機過程和偶然因素造成的不確定性。這兩種隨機性都可以用服從某種特定概率分布的隨機變量來表示[12]。

通過對模型的理論分析,可得知影響電容式MEMS壓力傳感器的噪聲因素有：真空介電常數(shù)ε0,相對介電常數(shù)εr,感應膜片的彈性模量E,感應膜片的泊松比μ,外界壓強P以及許用彎曲應力[σ],故噪聲因素可表示為

Z=(ε0,εr,E,μ,P,[σ])T

=(z1,z2,z3,z4,z5,z6)T

(10)

2.3 質(zhì)量特性

質(zhì)量特性是用來評價一個工業(yè)產(chǎn)品質(zhì)量好壞的性能指標。本文將電容式MEMS壓力傳感器因受到外部壓強而產(chǎn)生的電容變化量ΔC作為MEMS傳感器的設計特性,為了提高產(chǎn)品的質(zhì)量性能,并且使其波動盡可能地小,因此,以電容變化量負值的均值及方差的望小特性作為產(chǎn)品的質(zhì)量特性[13],并求解最小值,即

(11)

式中w1和w2為加權(quán)系數(shù)。

(12)

2.4 約束條件

由于感壓膜片的材料為多晶硅,具有較大的彎曲剛度,因此感壓膜片的撓度將遠小于它的厚度,故本文采用小撓度彎曲理論來分析感壓膜片的彎曲變形[14],因此

ωmax≤0.2x2

(13)

由于圓形薄板受均布載荷作用,邊界固定,故其最大彎矩和最大彎曲應力發(fā)生在板邊處,其值分別為

(14)

最大彎曲應力應小于許用彎曲應力,即σmax≤[σ]。

綜上所述,此穩(wěn)健設計數(shù)學模型的約束函數(shù)為

(15)

2.5 隨機穩(wěn)健設計模型

綜上,建立隨機穩(wěn)健設計模型

(16)

式中 (Ω,F,P)為概率空間,gj為約束條件,βj為事件發(fā)生的概率,此處將βj設為1,即滿足約束條件的概率為100 %。

3 隨機穩(wěn)健設計模型求解

3.1 穩(wěn)健設計算法程序

根據(jù)上述所建立的穩(wěn)健設計數(shù)學模型,編寫相應的算法程序,將其目標函數(shù)和約束條件編寫到模塊文件的算法程序中,并將設計變量和噪聲因素等其他參數(shù)編寫到數(shù)據(jù)文件中,運行隨機模型算法程序進行求解,其程序模塊結(jié)構(gòu)示意圖如圖2所示。

圖2 程序模塊結(jié)構(gòu)示意

3.2 設計變量及噪聲因素

設計變量的初值以及上下界值如表1所示。

表1 設計變量的初值與上、下界值 μm

經(jīng)查閱文獻[15]可知,本文所考慮的噪聲因素遵循的概率分布類型和參數(shù)如表2所示。

表2 噪聲因素所遵循的概率分布類型和參數(shù)

3.3 結(jié)果分析

運行相應的算法程序,并調(diào)試有關(guān)參數(shù),便得到了隨機模型穩(wěn)健設計解,將其與原方案進行比較,結(jié)果如表3所示。

表3 原方案與隨機模型穩(wěn)健解對比

基于隨機模型的穩(wěn)健設計方案考慮了現(xiàn)有的MEMS加工制造誤差,設計合理容差,使得當設計變量產(chǎn)生變差時其設計解依舊可行,保證了傳感器的穩(wěn)健性；同時穩(wěn)健設計優(yōu)化后的電容變化量ΔC明顯增大,由原方案的27 fF增加到了47 fF,提高了傳感器的靈敏度。

4 結(jié) 論

1)將穩(wěn)健設計方法理論應用于MEMS傳感器的研究具有一定的可行性。

2)提出的穩(wěn)健設計方法提高了傳感器的靈敏度。根據(jù)穩(wěn)健設計解和式(8)可得到，靈敏度由原方案的2.7 aF/Pa增長到4.7 aF/Pa,提高了大約74 %。

3)由于考慮了傳感器尺寸的變差以及噪聲因素的影響,使得穩(wěn)健設計解可以保證產(chǎn)品的質(zhì)量性能對尺寸參數(shù)在生產(chǎn)過程中發(fā)生變差不敏感,從而提高了MEMS傳感器制造的成品率。

4)將依據(jù)穩(wěn)健設計解制作電容式MEMS壓力傳感器樣品,并對其輸出特性進行測試,為其提供了理論依據(jù)。