李志新，張 星，楊名超

(河北科技師范學(xué)院物理系，河北，秦皇島，066004)

量子點(diǎn)中的電子結(jié)構(gòu)并不是像分子或者體材料那樣是一個(gè)簡(jiǎn)單的內(nèi)部極化，對(duì)于半導(dǎo)體量子點(diǎn)，量子限制本質(zhì)上導(dǎo)致了離散能級(jí)結(jié)構(gòu)。由于量子點(diǎn)的尺寸分布和形狀變化，光譜的不均勻帶寬掩蓋了其能量狀態(tài)下的精細(xì)結(jié)構(gòu)。隨著量子光學(xué)器件的廣泛應(yīng)用，發(fā)現(xiàn)許多新的效應(yīng)，而溫度對(duì)極化子效應(yīng)的影響已成為低維量子系統(tǒng)中的研究熱點(diǎn)。特別是在量子系統(tǒng)中，量子限制增強(qiáng)了電子-聲子相互作用。因此，人們對(duì)低維量子點(diǎn)系統(tǒng)進(jìn)行了大量的理論和實(shí)驗(yàn)研究[1～3]。同時(shí)，隨著量子信息和量子計(jì)算的發(fā)展，許多研究者通過各種理論方法對(duì)量子點(diǎn)的性質(zhì)進(jìn)行了深入的研究[4～6]。這些研究主要集中在量子點(diǎn)中極化子的性質(zhì)[7～10]。Sun等[11]利用Pekar類型的變分方法從理論上研究了CsI量子Pseudodot中電場(chǎng)和溫度對(duì)強(qiáng)耦合極化子第一激發(fā)態(tài)能量的影響。Sun等[12]利用Pekar類型變分方法、量子統(tǒng)計(jì)理論和費(fèi)米黃金法則，研究了磁場(chǎng)和溫度對(duì)RbCl拋物型量子點(diǎn)消相干時(shí)間的影響，結(jié)果表明，極化子消相干時(shí)間隨著溫度的增大而減小。通過求解薛定諤方程的方法，Khordad等[13]研究了GaAs雙環(huán)類型量子點(diǎn)中熱動(dòng)力學(xué)的性質(zhì)。在外加磁場(chǎng)和電場(chǎng)的情況下，Xiao[14]通過使用Pekar類型的變分方法和量子統(tǒng)計(jì)理論，系統(tǒng)的研究了溫度對(duì)類氫雜質(zhì)中強(qiáng)耦合RbCl量子Pseudodot極化子基態(tài)能量的影響。Khordad[15]利用Lee-Low-Pines幺正變換方法研究了Rashba效應(yīng)對(duì)量子Pseudodot中受限極化子基態(tài)能量的影響。Yu等[16]使用Pekar類型的變分方法系統(tǒng)的研究了拋物型量子點(diǎn)中極化子的基態(tài)躍遷性質(zhì)，研究發(fā)現(xiàn)極化子基態(tài)壽命隨著極化子基態(tài)能量的增大而增大，隨著電子-聲子耦合強(qiáng)度、溫度和量子點(diǎn)受限長(zhǎng)度的增大而減小。額爾敦朝魯?shù)萚17]基于LLP幺正變換，采用Pekar型變分法得到了二維量子點(diǎn)中雙極化子的基態(tài)和第一激發(fā)態(tài)的能量和波函數(shù)，進(jìn)而構(gòu)造了一個(gè)雙極化子的量子比特。Cai等[18]利用Lee-Low-Pines幺正變換方法討論了溫度對(duì)RbCl拋物型量子點(diǎn)中磁極化子基態(tài)能量的影響。Tiotsop等[19]利用Lee-Low-Pines-Huybrechts變分技術(shù)，三角形束縛勢(shì)和庫侖受限勢(shì)對(duì)極化子基態(tài)和第一激發(fā)態(tài)本征能級(jí)的影響。Han[20]通過使用Lee-Low-Pines-Huybrechts變分方法計(jì)算了外磁場(chǎng)、體縱光學(xué)聲子和量子盤厚度對(duì)電子-LO聲子強(qiáng)耦合磁極化子和量子比特的影響。劉佳麗[21]和米廣龍等[22]采用LLP幺正變換、線性組合算符和變分相結(jié)合的方法，分別對(duì)不同基底上單層黑磷烯中束縛極化子的基態(tài)性質(zhì)和有限深勢(shì)阱中球型量子點(diǎn)中極化子的基態(tài)性質(zhì)進(jìn)行了深入研究，然而，采用Pekar類型變分方法研究外加電場(chǎng)下溫度對(duì)極化子基態(tài)能量的影響的研究非常少。為此，筆者擬采用Pekar類型變分方法探討電場(chǎng)、量子點(diǎn)的受限長(zhǎng)度、溫度參量、三角勢(shì)極角對(duì)三角形量子點(diǎn)中強(qiáng)耦合極化子基態(tài)能量的影響。主要探討了量子點(diǎn)的電子性質(zhì)隨外加電場(chǎng)、溫度和受限長(zhǎng)度的變化，期望為新材料和功能量子器件的設(shè)計(jì)提供理論依據(jù)。

1 理論模型與計(jì)算

考慮電子在z方向上比在x和y方向受限更強(qiáng)，電子被受限在xy平面上運(yùn)動(dòng)。假設(shè)量子點(diǎn)中的受限勢(shì)為三角形束縛勢(shì)

(1)

式中m*是電子的有效質(zhì)量，ρ為電子在xy平面上的坐標(biāo)，ω0和θ分別是量子點(diǎn)受限強(qiáng)度和角參量。在有效質(zhì)量近似下，沿x方向外加電場(chǎng)的情況下，電子-LO光學(xué)聲子系統(tǒng)的哈密頓量為

(2)

(3)

上式中

(4)

(5)

這里α是電子-LO體縱光學(xué)聲子耦合常數(shù)。對(duì)方程(3)引進(jìn)Lee-Low-Pines變換，得到

(6)

上式中fq為變分參量，方程(6)代入方程(3)，得到

H′=U-1HU

(7)

假設(shè)高斯波函數(shù)對(duì)基態(tài)波函數(shù)一直是有效的，電子-LO體縱光學(xué)聲子系統(tǒng)的波函數(shù)被選擇為

(8)

(9)

(10)

2 結(jié)果與分析

為了更清楚的說明三角勢(shì)量子點(diǎn)基態(tài)能量對(duì)量子點(diǎn)受限長(zhǎng)度、三角勢(shì)角參數(shù)、外加電場(chǎng)強(qiáng)度和溫度參數(shù)的依賴關(guān)系，進(jìn)行了數(shù)值模擬計(jì)算。結(jié)果表明，在α=6,γ=0.01，和θ=20°時(shí)，對(duì)于不同的電場(chǎng)強(qiáng)度F=10,15,20情況下，三角勢(shì)量子點(diǎn)中極化子基態(tài)能量E0隨著量子點(diǎn)受限長(zhǎng)度l0的增大而減小(圖1)。這是因?yàn)槭芟迍?shì)限制了電子的運(yùn)動(dòng)，當(dāng)受限勢(shì)減小(ω0降低)時(shí)，三角勢(shì)對(duì)電子的束縛減弱，導(dǎo)致極化子能量降低。此外，隨著量子點(diǎn)受限長(zhǎng)度的減小，量子點(diǎn)受限長(zhǎng)度l0對(duì)基態(tài)能量E0的影響是非常顯著的，然而，隨著量子點(diǎn)受限長(zhǎng)度的增大，電場(chǎng)強(qiáng)度對(duì)基態(tài)能量的影響逐漸變大，這說明隨著三角勢(shì)束縛的減弱，外電場(chǎng)的影響增強(qiáng)。

圖1 不同電場(chǎng)強(qiáng)度下，量子點(diǎn)受限長(zhǎng)度l0與 圖2 不同溫度參數(shù)下，量子點(diǎn)受限長(zhǎng)度l0與極化子基態(tài)能量E0的變化關(guān)系曲線 極化子基態(tài)能量E0的變化關(guān)系曲線

在α=6,F=10和θ=20°，對(duì)于不同的溫度參數(shù)γ=0.01,0.03,0.09時(shí)，極化子基態(tài)能量E0與受限長(zhǎng)度l0之間的變化關(guān)系(圖2)。結(jié)果發(fā)現(xiàn)，極化子基態(tài)能量E0隨量子點(diǎn)受限長(zhǎng)度l0的增大而減小。其原因與圖(1)相同，同時(shí)發(fā)現(xiàn)當(dāng)受限長(zhǎng)度足夠大時(shí)，其影響愈來愈小，最后趨于不變。另外，還發(fā)現(xiàn)當(dāng)量子點(diǎn)受限長(zhǎng)度l0保持不變時(shí)，極化子基態(tài)能量E0隨著溫度參數(shù)γ的減小而增大，這是因?yàn)闇囟壬?，更多的聲子被激發(fā)，聲子系的能量增大，進(jìn)而導(dǎo)致基態(tài)能量增大。特別是受限長(zhǎng)度足夠大時(shí)，溫度起主要作用。

在α=6,l0=0.16和θ=20°和時(shí)，對(duì)于不同的溫度參數(shù)γ=0.2,0.25,0.29,極化子基態(tài)能量E0隨著外加電場(chǎng)強(qiáng)度F之間的變化關(guān)系曲線(圖3)。結(jié)果表明，隨著電場(chǎng)強(qiáng)度F的逐漸增大，極化子基態(tài)能量E0將逐漸減小。同時(shí)，還可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)外加電場(chǎng)強(qiáng)度保持不變時(shí)，極化子基態(tài)能量E0隨著溫度參數(shù)的減小(溫度增大)而逐漸增大(圖3)。

圖3 不同溫度參數(shù)下，外加電場(chǎng)強(qiáng)度F與 圖4 不同電子-聲子耦合強(qiáng)度下，溫度參數(shù)γ與極化子基態(tài)能量E0的變化關(guān)系曲線 極化子基態(tài)能量E0的變化關(guān)系曲線

在F=10,l0=0.16和θ=20°時(shí)，對(duì)于不同的電子-聲子耦合強(qiáng)度α=6,7,8，極化子基態(tài)能量E0隨著溫度參數(shù)γ的變化關(guān)系曲線(圖4)。結(jié)果發(fā)現(xiàn)，隨著溫度參數(shù)γ的升高，極化子基態(tài)能量E0幾乎保持不變。換句話說，當(dāng)溫度參數(shù)變大時(shí)，溫度對(duì)極化子基態(tài)能量E0的影響是非常弱的，而電子-聲子之間的耦合強(qiáng)度α對(duì)極化子基態(tài)能量E0的影響非常顯著。但是當(dāng)溫度參數(shù)迅速減小時(shí)，電子-聲子之間的耦合強(qiáng)度對(duì)極化子基態(tài)能量的影響不顯著，而溫度對(duì)其影響較大。

對(duì)于不同的溫度參數(shù)γ=0.02,0.09和不同的電場(chǎng)強(qiáng)度F=10,20時(shí)，極化子基態(tài)能量E0隨著角參量θ的變化關(guān)系(圖5(a)和(b))。結(jié)果表明，極化子基態(tài)能量E0周期性的隨著角參量θ變化。當(dāng)角參量取值在36°～45°,56°～67°和79°～86°之間時(shí)，極化子基態(tài)能量E0周期性的隨著角參量的增大而增大。然而，當(dāng)角參量取值在45°～55°和67°～79°之間時(shí)，極化子基態(tài)能量E0周期性隨著角參量θ的增大而減小。這種現(xiàn)象來源于三角形受限勢(shì)。

圖5 不同溫度參數(shù)(a)和不同電場(chǎng)強(qiáng)度下(b)，極角θ與極化子基態(tài)能量E0的變化關(guān)系曲線

3 結(jié)論與討論

對(duì)于電子-LO-聲子強(qiáng)耦合的情形，本次使用Pekar類型的變分方法研究了三角勢(shì)量子點(diǎn)中極化子的基態(tài)能量。從而得到了極化子基態(tài)能量與量子點(diǎn)受限長(zhǎng)度、外加電場(chǎng)強(qiáng)度、角參量和溫度參數(shù)之間的變化關(guān)系。數(shù)值結(jié)果表明：在低溫情況下，電場(chǎng)強(qiáng)度和量子點(diǎn)受限長(zhǎng)度對(duì)極化子基態(tài)能量的影響起主要作用，而在高溫和受限長(zhǎng)度足夠大時(shí)，溫度對(duì)極化子基態(tài)能量的影響起主要作用。