原 方 方

(河北科技師范學(xué)院物理系，河北 秦皇島，066004)

為了統(tǒng)一廣義相對(duì)論與量子理論，可以將引力作為一種突現(xiàn)的現(xiàn)象，而不是基本相互作用之一。這種思想的實(shí)現(xiàn)方式有很多，最著名的理論方案是由Jacobson[1]提出的，即從熱力學(xué)關(guān)系出發(fā)得到引力場(chǎng)方程。在宇宙學(xué)方面，Padmanabhan從全息原理出發(fā)提出假設(shè)，認(rèn)為宇宙空間的膨脹可以看作趨向能量均分的過(guò)程，并給出了相應(yīng)的膨脹定律。經(jīng)過(guò)改進(jìn)，這一方法可以適用于非平坦宇宙的情形[2]。

有一些修改引力理論具有能量不守恒的性質(zhì)，這可以用來(lái)解釋宇宙演化中的粒子產(chǎn)生等現(xiàn)象。相關(guān)研究使得Rastall引力被重新發(fā)現(xiàn)并得到重視[3,4]。Padmanabhan的突現(xiàn)宇宙學(xué)方法也可以應(yīng)用到這種能量不守恒的引力理論中[5]。鑒于近年來(lái)這種理論有了許多推廣，筆者以一種廣義Rastall引力為基礎(chǔ)，從修正的膨脹定律出發(fā)，推導(dǎo)出描述宇宙演化的Friedmann方程。作為這一方法的基礎(chǔ)，需要首先得到修正的Komar能量、Friedmann方程，以及表觀視界的熵公式。

1 Rastall引力及其推廣

在廣義相對(duì)論中，能量動(dòng)量張量的協(xié)變守恒方程是一個(gè)基本和重要的組成部分。但Rastall認(rèn)為，在彎曲時(shí)空中，有可能需要對(duì)此進(jìn)行修改，并給出如下的假定：

(1)

近年來(lái)，有多種模型都被稱(chēng)為廣義Rastall引力，均具有下面形式的能量動(dòng)量不守恒方程：

(2)

其中，T=gμvTμv是能量動(dòng)量張量的跡。

作為一種完全獨(dú)立和不同的理論，f(R,T)引力已經(jīng)得到了深入和廣泛的研究。為與這些討論相聯(lián)系，并能更簡(jiǎn)便地回到Rastall最初的模型[6]，本次研究考慮如下的形式：

(3)

其中，α為常數(shù)。相應(yīng)的廣義Rastall引力場(chǎng)方程為

Gμv+kλgμv(R+αT)=kTμv

(4)

如約定Newton引力常數(shù)G=1，則在λ=0=α?xí)r，有k=8π，即為廣義相對(duì)論的情形。參數(shù)k一般稱(chēng)為Rastall引力常數(shù)。

對(duì)場(chǎng)方程(式(4))取跡后，可得

(5)

由于R與T成正比，可以將式(3)改寫(xiě)為類(lèi)似最初理論(式(1))的形式。但這里引入了一個(gè)新的參數(shù)α，另外由于改變了場(chǎng)方程的物質(zhì)部分，其物理解釋在一般情況下也有不同。由此，可得前述引力場(chǎng)方程的等價(jià)形式為

(6)

基于上式，即可仿照Rastall引力的情形，得到與理想流體對(duì)應(yīng)的修正Komar能量密度如下：

(7)

2 Friedmann方程與表觀視界的熵

考慮Friedmann-Robertson-Walker度規(guī)，將引力場(chǎng)方程(式(6))的00和ij分量經(jīng)過(guò)整理后，可以得到描述尺度因子演化的Friedmann方程如下：

(8)

(9)

表觀視界的半徑和溫度的表達(dá)式保持不變，即有

根據(jù)Clausius關(guān)系，可得熵的增量為

(10)

對(duì)于這里的廣義Rastall引力，連續(xù)性方程(即0分量的不守恒方程)具有下列形式：

(11)

考慮理想流體，并利用場(chǎng)方程，推導(dǎo)可得

(12)

將這一連續(xù)性方程代入式(10)，即可得到熵的時(shí)間導(dǎo)數(shù)為

(13)

再利用Friedmann方程(式(8)(9))，化簡(jiǎn)可得

(14)

所以，表觀視界的熵為

(15)

其形式與廣義相對(duì)論的結(jié)果完全類(lèi)似，但一般情況下，Rastall引力常數(shù)不為8π。另外，如果考慮Newton極限，可得k與參數(shù)λ，α的關(guān)系式，因此，也不能簡(jiǎn)單地認(rèn)為熵與參數(shù)λ無(wú)關(guān)。

在以上的廣義Rastall引力中，由式(8)(9)可以得到描述Hubble參數(shù)時(shí)間演化的一個(gè)等價(jià)的Friedmann方程如下：

當(dāng)α=0時(shí)，即可發(fā)現(xiàn)，對(duì)于原始的Rastall引力(式(1))，上述方程與廣義相對(duì)論的結(jié)果完全相同。這也是論證Rastall引力與具有變化宇宙學(xué)常數(shù)的廣義相對(duì)論等價(jià)的原因之一。

3 由修正膨脹定律導(dǎo)出Friedmann方程

Padmanabhan的突現(xiàn)宇宙學(xué)思想可以推廣到曲率因子不為零的情形，即可由如下的修正膨脹定律出發(fā)，得到含有熵修正情況下的Friedmann方程：

(16)

根據(jù)表觀視界的熵公式(式(15))，可定義有效自由度數(shù)目為

(17)

另一方面，由修正的Komar能量密度(式(7)),可定義體空間的有效自由度數(shù)目為

(18)

將式(17)和式(18)代入修正膨脹定律(式(16))，化簡(jiǎn)之后可得

(19)

再根據(jù)表觀視界的半徑公式，即可發(fā)現(xiàn)，在這里考慮的廣義Rastall引力中，仍然有下述關(guān)系成立：

(20)

將上式代入修正的Komar能量密度公式(式(7))，可得

(21)

由此，連續(xù)性方程(式(12))變?yōu)?/p>

(22)

經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)，上式可改寫(xiě)為如下形式：

(23)

每項(xiàng)均乘以尺度因子的平方之后，可得

(24)

去掉積分號(hào)后，上式即為曲率因子為零情況下的Friedmann方程(式(8))。

4 結(jié)論與討論

與Rastall最初的模型不同，本次研究考慮協(xié)變不守恒方程中含有一項(xiàng)正比于能量動(dòng)量張量的跡的情況。首先，得到了修正的引力場(chǎng)方程和Komar能量密度。其次，推導(dǎo)出了Friedmann方程、連續(xù)性方程和表觀視界的熵公式。最后，從修正膨脹定律出發(fā)，根據(jù)突現(xiàn)宇宙學(xué)的思想，重新得到了Friedmann方程。

作為進(jìn)一步研究的方向，可以考慮這里的廣義Rastall引力與f(R,T)引力在宇宙學(xué)演化、黑洞解等方面的聯(lián)系。此外，值得考察的是最一般的廣義Rastall引力(式(2))對(duì)熱力學(xué)定律的影響，以及在宇宙學(xué)觀測(cè)和致密天體性質(zhì)上的具體預(yù)言等。最后，廣義Rastall引力中的能量定義、Newton極限等也是值得研究的理論課題。