姜 雄，叢 靜

(遼寧科技學院 基礎部，遼寧 本溪 117004)

1 問題的提出

對于自然科學和工程技術來說，高等數(shù)學是其理論研究的重要工具，它在工程技術、信息科學、經(jīng)濟管理等各個領域都有著廣泛的應用。高等數(shù)學是學習自然科學的基礎，該課程所教授的基本概念、基本理論和基本方法是構成學生科學素養(yǎng)的重要組成部分，所以熟悉高等數(shù)學知識間的內在聯(lián)系，有助于提高學生的邏輯思維能力，更有助于提高學生用數(shù)學方法分析問題和解決問題的能力，為進一步學習各專業(yè)課程打下基礎。

在高等數(shù)學教學過程中，常常用到許多教學方法，諸如聯(lián)想法、比較法、構造法等，在指數(shù)函數(shù)不等式的講解過程當中，靈活性教學方法顯得尤為重要。下面以指數(shù)函數(shù)不等式為例，來展示高等數(shù)學教學過程中的教學方法。

指數(shù)函數(shù)不等式，在學生的專業(yè)課程和生產實踐中有非常廣泛的應用，通過研究它的產生過程，探究它的證明過程和應用條件，從高等數(shù)學教學角度來揭示它們的內在聯(lián)系，對于培養(yǎng)學生對科學的探索精神，有著十分重要的意義。

xε<1+ε(x-1)〔1〕

(1)

式(1)中：x為任意正數(shù)，0<ε<1為任意真分數(shù)。

化成：

(2)

化成：

(3)

(4)

2 指數(shù)函數(shù)不等式的來源

3 指數(shù)函數(shù)不等式的應用

通過上述對指數(shù)不等式的了解，在高等數(shù)學教學過程中，可以對指數(shù)不等式進行進一步地運用。

3.1 指數(shù)函數(shù)的極限形式

3.2 將ex展開成x的冪級數(shù)

關于ex的展開，高等數(shù)學教材一般采用泰勒展開，這里不妨變換另一種形式，運用指數(shù)不等式進行展開。

定理：f(x),g(x)在(0,x)上恒正，且M=max(g(x))，則有：

對于ex<1+xex，兩邊同時求均值，并且運用定理得：

對上式兩邊繼續(xù)按上面方法求值，得：

因此，當x>0時，有：

當x<0時，可以得到：

如果寫成：

(5)

當x無限增大時，式子(5)引起的誤差因此消失，所以對于任意x：

3.3 在復變函數(shù)下的展開與應用

指數(shù)不等式不僅運用在高等數(shù)學教學中，也可以直接應用在復變函數(shù)的教學中。

3.3.1ez的展開

由z代替x：

∴En+m(z)-En(z)=Rm(z)。

令|z|=ξ，則：

3.3.2eα·eβ=eα+β的證明

令α與β是兩個任意復數(shù)，且|α|+|β|=γ。

所以，En(α)En(β)=En(α+β)+εδ(|ε|<1)。

當n→∞時，δ→0，則有：

eα·eβ=eα+β。

3.3.3 歐拉公式的證明

令z=x+iy(x,y為實數(shù))，因為eα+β=eα·eβ,有：

=ex(cosy+isiny)，這就是歐拉公式。

高等數(shù)學課程是工科各專業(yè)的基礎課程，為了培養(yǎng)高素質、創(chuàng)新性的工科人才，需要教師不斷地深化教學內容、改進教學方法，引導學生更好地思考和探索數(shù)學知識之間的聯(lián)系，提高學生運用數(shù)學方法分析問題和解決問題的能力，使之成為符合新時代要求的高素質人才。