王根艷， 李世龑， 朱愛東

( 延邊大學(xué) 理學(xué)院， 吉林 延吉 133002 )

0 引言

近年來隨著對(duì)腔光力學(xué)研究的深入[1-5]，一些學(xué)者將相關(guān)研究擴(kuò)展到了腔磁力學(xué)[6].腔磁系統(tǒng)是一種利用鐵磁晶體中的集體自旋激發(fā)作為量子比特的混合量子系統(tǒng)[7].釔鐵石榴石具有極高的自旋密度和較高的居里溫度(約559 K)，可以在室溫下保持良好的鐵磁性質(zhì)，而且在外加磁場(chǎng)的作用下釔鐵石榴石的自旋會(huì)被集體激發(fā)而形成磁振子模式.研究顯示，磁子模(Kittel模)具有相干時(shí)間長(zhǎng)和低阻尼率以及易使腔磁系統(tǒng)達(dá)到強(qiáng)耦合機(jī)制或超強(qiáng)耦合機(jī)制的優(yōu)點(diǎn)[8-11].由于釔鐵石榴石球的尺寸較大，因此它在研究磁子 - 光子系統(tǒng)的宏觀量子態(tài)方面具有天然的優(yōu)勢(shì)[12].壓縮態(tài)在連續(xù)變量信息處理中的作用大，它不僅可以提高測(cè)量靈敏度，而且也可以用于退相干理論的研究[1].目前，已有學(xué)者利用釔鐵石榴石球中的克爾非線性制備了單個(gè)磁子壓縮態(tài)，但該方法需要很強(qiáng)的驅(qū)動(dòng)場(chǎng)來增強(qiáng)克爾非線性，實(shí)驗(yàn)難度較大.因此，本文提出了一種利用弱壓縮真空?qǐng)鲵?qū)動(dòng)微波腔產(chǎn)生磁子壓縮態(tài)的方法.該方法不僅可以在耦合腔磁系統(tǒng)中實(shí)現(xiàn)磁子壓縮，而且可以避免由克爾非線性較弱而需要使用強(qiáng)驅(qū)動(dòng)的問題.

1 系統(tǒng)模型與哈密頓量

圖1為兩個(gè)相互耦合的腔磁系統(tǒng)示意圖，其中兩個(gè)釔鐵石榴石球被分別放置在腔模的最大磁場(chǎng)處，且兩個(gè)釔鐵石榴石球同時(shí)處于外加的均勻偏置磁場(chǎng)H中.圖中，腔模的磁場(chǎng)沿x方向，偏置磁場(chǎng)沿z方向，兩個(gè)釔鐵石榴石球均由y方向的微波場(chǎng)驅(qū)動(dòng)(圖1中未畫出).在均勻的偏置磁場(chǎng)激發(fā)下，兩個(gè)釔鐵石榴石球中的自旋被集體激發(fā)，盡而使得由此產(chǎn)生的磁子模與腔模之間存在磁偶極耦合.圖中J是兩個(gè)微波腔的耦合強(qiáng)度，κj和κmj分別是腔模j和磁子模j的耗散率(j=1，2).

圖1 耦合腔磁系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)示意圖

由于釔鐵石榴石球的尺寸遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于微波波長(zhǎng)，因此微波場(chǎng)對(duì)釔鐵石榴石球的輻射壓力可以忽略不計(jì).為了方便計(jì)算，設(shè)?=1， 則腔磁系統(tǒng)總的哈密頓量為：

(1)

(2)

其中Δj=ωaj-ω0和Δmj=ωmj-ω0分別是腔模j和磁子模j的頻率失諧.

由于系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性不可避免地會(huì)受到輸入噪聲和耗散的影響，因此系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)演化可以用量子朗之萬方程描述：

(3)

(4)

(5)

2 制備磁子壓縮態(tài)

為了產(chǎn)生磁子壓縮態(tài)，需要研究系統(tǒng)的量子漲落動(dòng)力學(xué).由于外部驅(qū)動(dòng)場(chǎng)會(huì)導(dǎo)致腔模和磁子模的振幅增強(qiáng)，因此可將標(biāo)準(zhǔn)線性化技術(shù)應(yīng)用于式(3)中的量子朗之萬方程.因此，本文將腔模和磁子模寫成經(jīng)典平均值和量子漲落算符的和，即O=〈O〉+δO(O=aj,mj).在此基礎(chǔ)上忽略二階小量后，量子漲落滿足的朗之萬方程為：

(6)

實(shí)現(xiàn)磁子壓縮態(tài)的過程為：首先利用弱壓縮真空?qǐng)鲵?qū)動(dòng)共振腔模1， 以此對(duì)磁子模1進(jìn)行壓縮；然后通過超導(dǎo)傳輸線的耦合作用將壓縮轉(zhuǎn)移到腔模2上；最后通過磁偶極子作用將壓縮轉(zhuǎn)移到磁子模2上，以此實(shí)現(xiàn)磁子模2的壓縮.為方便起見，本文引入腔模和磁子模的振幅正交分量算符及其相應(yīng)的輸入噪聲算符：

(7)

(8)

利用式(7)和式(8)可將方程(6)簡(jiǎn)化為：

(9)

其中u(t)是漲落算符的列矩陣，n(t)是輸入噪聲算符的列矢量，A(t)是漂移矩陣，并且

(10)

由于本文使用的是非線性化的量子朗之萬方程，因此系統(tǒng)在時(shí)間演化過程中其輸入態(tài)的高斯性質(zhì)保持不變，且系統(tǒng)的量子漲落為四模高斯態(tài)；因此，可用8×8協(xié)方差矩陣的矩陣元定義量子漲落的時(shí)間演化，即Vk,l(t)=〈Uk(t)Ul(t)+Ul(t)Uk(t)〉/2 (k,l=1,2,…,8).當(dāng)系統(tǒng)處于穩(wěn)態(tài)時(shí),矩陣V(t)滿足李雅普諾夫方程[15]：

A(t)V(t)+V(t)AT(t)=-D,

(11)

其中與噪聲相關(guān)的擴(kuò)散矩陣D是由〈nk(t)nl(t′)+nl(t′)nk(t)〉=2Dk lδ(t-t′)定義的，D=D1⊕D2，

(12)

D2=diag[κm1(2Nm1+1),κm1(2Nm1+1),κm2(2Nm2+1),κm2(2Nm2+1)].

(13)

由勞斯 - 霍爾維茨判據(jù)[16]可知，如果漂移矩陣A(t)的所有特征值都有負(fù)實(shí)部，則系統(tǒng)將達(dá)到穩(wěn)態(tài).

3 數(shù)值模擬分析和討論

從式(11)可以看出，V(t)的對(duì)角線元素是腔和磁子的振幅正交分量的方差，其方差為〈δZ2(t)〉 (Z=Y1,X2,x1,y2).當(dāng)〈δZ2(t)〉<〈δZ2(t)〉ZPF(〈δZ2(t)〉ZPF= 0.5是零點(diǎn)漲落)時(shí)，腔和磁子可以產(chǎn)生壓縮態(tài)，并且方差越小量子漲落越小.腔和磁子壓縮程度用分貝(dB)表示，即-10 lg(〈δZ2(t)〉/0.5)， 由此可知壓縮度的值越大壓縮態(tài)的噪聲越小.

圖和隨腔失諧的變化情況

圖4 腔和磁子的振幅正交分量的方差S隨光子耦合強(qiáng)度J的變化情況

為了驗(yàn)證腔壓縮態(tài)和磁子壓縮態(tài)對(duì)環(huán)境溫度具有魯棒性，繪制腔和磁子的振幅正交分量的方差S隨溫度T的變化關(guān)系圖，如圖5所示.圖中Δ1=Δ2=0， Δm1=Δm2=0， 其他參數(shù)見圖2.由圖5可以看出，當(dāng)溫度達(dá)到0.196 K時(shí)磁子2仍然處于壓縮態(tài)，這表明磁子2的振幅正交分量的方差S對(duì)環(huán)境溫度具有很好的魯棒性，且腔壓縮態(tài)和磁子1壓縮態(tài)對(duì)環(huán)境溫度也具有很好的魯棒性.

圖5 腔和磁子的振幅正交分量的方差S隨溫度T的變化情況

4 結(jié)論

本文采用一個(gè)弱壓縮真空?qǐng)鲵?qū)動(dòng)微波腔產(chǎn)生了兩個(gè)磁子的壓縮態(tài).數(shù)值模擬結(jié)果表明：選擇合適的模間相互作用，可以制備兩個(gè)磁子壓縮態(tài)，并且在失諧量滿足Δ1=Δm1=Δ2=Δm2=0時(shí)，磁子1和磁子2的振幅正交分量的方差分別達(dá)到0.287和0.338.同時(shí)，腔壓縮態(tài)和磁子壓縮態(tài)對(duì)環(huán)境溫度具有很好的魯棒性.本文結(jié)果可對(duì)宏觀量子態(tài)的研究提供參考.