趙春然，尹新國，朱孟正

(淮北師范大學 物理與電子信息學院，安徽 淮北 235000)

在經(jīng)典和量子物理中，大量的基本現(xiàn)象都是源于束縛在勢阱中的運動，其典型特征呈現(xiàn)為周期性運動，例如鐘擺的往復運動、琴弦的振動、行星的軌道運動以及微觀原子中的電子運動等，人們把這種物體在平衡位置附近往返運動叫做振動或機械振動；只要勢能曲線有極小值，就會有振動.物理學中的振動，不僅僅指的是直觀上感覺到的位置做周期性的往復運動，而是泛指物理量做周期性變化的運動形式[1].例如在RC電路中的電流和電壓都做周期性變化，這種被稱為電磁振動；振動并不限制在機械運動范圍.

1 簡諧振動基本概念

利用質(zhì)點和剛體運動規(guī)律研究這種特殊的而又具有普遍意義的運動形式——振動，是切實可行的.然而，簡諧振動是最簡單、最基本的振動；研究簡諧振動是分析、理解更復雜振動現(xiàn)象的基礎.質(zhì)點在線性回復力作用下圍繞平衡位置的運動，叫做簡諧振動.在理想的物理系統(tǒng)中無耗散力作用下，若質(zhì)點相對于平衡位置的位移為x，則質(zhì)點所受的回復力為

F=-kx.

(1)

在這里結(jié)合具體例子談簡諧運動的動力學特征，以彈簧振子為例[2-3]，水平的彈簧自由伸展時質(zhì)點的位置是平衡位置(忽略彈簧的質(zhì)量)，以該位置為原點建立坐標系Ox，坐標x表示振子，也就是質(zhì)點偏離平衡位置的位移.并且x也表示彈簧的伸長(壓縮)量，當x的絕對值很小時，由庫克定律可知彈性力F與x之間成線性關(guān)系.若振子的質(zhì)量為m，根據(jù)牛頓第二定律可得

(2)

位移x對時間t的二階微分，用在x上面加兩個點表示，即加速度.上式也可以表示為

(3)

(4)

位移x對時間t的一階微分，用在x上面加一個點表示，即速度.顯然，運動方程(3)式為二階的常系數(shù)齊次微分方程，它的解可以表示為位置坐標x關(guān)于時間t的正弦或余弦函數(shù)：

x=Acos(ω0t+φ)，

(5)

其中A、φ為該二階微分方程的通解中兩個待定的積分常數(shù)，可以根據(jù)簡諧振子的初始條件確定，設初始時刻t=0時振子的位置坐標、速度分別為x0、v0，則振幅、初相位角分別為

(6)

(7)

三角函數(shù)正切值在0～2π范圍間有兩個角度與之對應，因此初相位角具體數(shù)值確定應須代回式(5)中或是從式(5)計算出的速度根據(jù)方向以判定取舍[1].

2 例析微振動問題

例一個質(zhì)量均勻分布的半球體置于水平桌面上，平衡時半球上的平面朝上并與桌面平行，該半球體的半徑為R，質(zhì)量為m，若在半球體的圓平面邊緣處微小幅度按下隨即松開，則半球體在桌面上做小范圍運動，假設運動中半球相對做桌面無滑滾動，證明該半球是做簡諧振動.

解析1半球在水平桌面上做小幅度往復無滑滾動，質(zhì)量均勻分布的半球作為剛體，做剛體的平面運動.為了清晰的表達運動中的半球所具有的動能，假想把半球補足成一個完整的球體，如圖1所示，完整球體的動能分為隨質(zhì)心的平動動能和繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動動能：

圖1 置于水平桌面的勻質(zhì)半球體Fig.1 Homogeneous hemisphere placed on a horizontal table

(8)

(9)

其中：vc是完整球體的質(zhì)心平動速度；Ic是完整實心球體繞過球心O并垂直于紙面水平軸的轉(zhuǎn)動慣量，可表示為

(10)

因為是無滑滾動，所以vc=ωR；對于完整實心勻質(zhì)球體的質(zhì)心和其球心是重合的.當剛體的質(zhì)心速度以及繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動角速度一定的情況下，平動動能是與剛體的質(zhì)量成正比，轉(zhuǎn)動動能與該剛體繞固定軸轉(zhuǎn)動慣量成正比的[4-6]，所以半球體的平動動能為

(11)

截取半個球體的截面若是與當前的轉(zhuǎn)動軸垂直，則半球體相對于該軸的轉(zhuǎn)動慣量[7]為式(10)的一半.然而，如圖1所示，并不是垂直于當前的轉(zhuǎn)動軸，根據(jù)反映轉(zhuǎn)動慣量性質(zhì)的兩個定理中的一個——垂直軸定理，質(zhì)量均勻分布的半球體繞通過球心O并垂直于紙面的水平軸的轉(zhuǎn)動慣量為

(12)

故此，半球體繞通過球心O并垂直于紙面的水平軸的轉(zhuǎn)動動能為

(13)

根據(jù)質(zhì)心的計算公式，可以求得質(zhì)量均勻分布的半球體的質(zhì)心[8]到球心的距離為

(14)

因在桌面上發(fā)生了小范圍移動，造成了半球體的對稱軸，也就是半球質(zhì)心所在的虛線，與豎直軸間形成了一個夾角θ，見圖1.假定半球上的平面朝上并與桌面平行時(如圖1中淺色線條所示)，半球體的重力勢能為零，則當前時刻半球體的重力勢能為

Ep=mglO′C′(1-cosθ).

(15)

因相對桌面做無滑滾動，摩擦力不做功，故系統(tǒng)的機械能守恒，即有

(16)

(17)

從(17)式可以看出半球體在水平桌面上的小幅度往復運動，確實是做簡諧振動，其振動的固有周期為

(18)

圖2 從半球體的質(zhì)心出發(fā)分析其微振動Fig.2 Analyze the micro-vibration from the center of the hemisphere mass

(19)

(20)

(21)

因此可算出半球體的動能為

(22)

半球上的平面朝上并與桌面平行時，半球體的質(zhì)心C′位置最低，假定此時體系重力勢能為零，則當前時刻半球體的重力勢能為

Ep=mglO′C′(1-cosθ)，

(23)

因系統(tǒng)做無滑純滾動，耗散力不做功，故可以采用機械能守恒，即有

(24)

因E不隨時間改變，對上式關(guān)于時間做微分處理，變化量就是角度θ，可得

(25)

考慮到系統(tǒng)是在做微振動，即θ很小，則sinθ≈θ、cosθ≈1，所以得

(26)

(27)

圖3 半球體在水平桌面做無滑滾動時勢能隨角度的變化Fig.3 The change of potential energy with angle when a hemisphere rolls on the horizontal table without sliding

(28)

其周期為

(29)

延伸比較：假設這里的半球體不是置于水平桌面，而是繞通過球心并與紙面垂直的水平軸線做無摩擦的擺動，這個軸線是固定的.根據(jù)定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理：

(30)

若做小幅度擺動，則

(31)

其中

(32)

做簡諧振動的固有周期為

(33)

從上面的兩種解析結(jié)果可以看出：雖然兩種分析都得到了半球體的微振動是簡諧振動，但是振動的頻率、周期不一樣，說明有一個解析肯定是有問題的，問題出現(xiàn)在解析1里面.解析1中有一處明顯的錯誤：在于對轉(zhuǎn)動慣量的理論知識的掌握不夠深入，知道垂直軸定理，但對運用垂直軸定理的先決條件是什么不清楚；垂直軸定理只適用于剛體的厚度為無窮小的薄板.因而，在解析2中，直接根據(jù)轉(zhuǎn)動慣量的定義，計算出半球體以過球心沿切面軸線轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動慣量.第二處錯誤比較隱蔽或者說是迷惑性比較大，那就是在計算半球體總的機械能時，采用了所謂的“補償法”補全半球體，解析中體系的動能分解成平動動能和轉(zhuǎn)動動能，均是以完整球體的質(zhì)心(球心)來計算出球體的平動動能和轉(zhuǎn)動動能，對平動動能減半處理、對轉(zhuǎn)動動能根據(jù)半球體繞過圓心軸的轉(zhuǎn)動慣量多少而定，然而在計算體系勢能的時候又采用半球體的質(zhì)心來考慮，得出的結(jié)果也反映出體系微振動會引起系統(tǒng)勢能起伏，所以說迷惑性比較大.實際上，問題的重點就在于計算動能采用完整球體的球心作為質(zhì)心，然后動能適當減半處理，而計算體系勢能時，采用半球體質(zhì)心.計算動能和勢能的標準不統(tǒng)一，造成動能對真實結(jié)果的偏差.比如說，采用“補償法”，以球心作為質(zhì)心，完整的球體在運動過程中勢能不會變化，就不會有勢能極小值，因此不會具有形成往復運動的條件，這樣解釋就比較好理解解析1中用“補償法”的不妥之處.

3 結(jié)論

首先對簡諧振動基本理論進行了梳理，再通過舉例詳細分析了系統(tǒng)偏離平衡位置的微振動，并剖析了錯誤解答的癥結(jié)所在，使我們更加深刻的理解剛體做平面運動的動能計算和微振動問題處理的要點.在求解中運用了反映轉(zhuǎn)動慣量性質(zhì)的兩個定理：平行軸定理、垂直軸定理，在熟知這兩個定理后計算一些特定的剛體針對某個軸的轉(zhuǎn)動慣量將會比較簡單，但也要注意垂直軸定理的適用范圍.