路峻嶺，顧 晨，任乃敬，馬泊一

(清華大學(xué) 物理系，北京 100084)

大學(xué)物理演示實(shí)驗(yàn)，由于裝置簡(jiǎn)單、現(xiàn)象新奇，且可用大學(xué)物理知識(shí)進(jìn)行解釋，故備受大家關(guān)注，可促使學(xué)生思考，也對(duì)學(xué)生的幫助較大.本實(shí)驗(yàn)就是具有這些特點(diǎn)的實(shí)驗(yàn)之一.

1 實(shí)驗(yàn)裝置及實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象簡(jiǎn)介

本實(shí)驗(yàn)裝置如圖1所示，主要包括兩條水平平行導(dǎo)軌，導(dǎo)軌寬度分別為6.5mm、23.0mm；和兩個(gè)完全相同的鋼球，鋼球直徑為25.0mm.球騎在導(dǎo)軌上，滾動(dòng)半徑分別為r=4.899mm和12.070mm.

圖1 實(shí)驗(yàn)裝置照片

本實(shí)驗(yàn)是要研究導(dǎo)軌的寬窄對(duì)碰撞實(shí)驗(yàn)結(jié)果的影響.實(shí)驗(yàn)結(jié)果是：在窄導(dǎo)軌上進(jìn)行純滾動(dòng)雙鋼球碰撞實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象和滑動(dòng)運(yùn)動(dòng)中的雙鋼球碰撞實(shí)驗(yàn)類似；而在寬導(dǎo)軌上進(jìn)行純滾動(dòng)雙鋼球碰撞實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象與滑動(dòng)運(yùn)動(dòng)中的雙鋼球碰撞實(shí)驗(yàn)明顯不同，表現(xiàn)在能耗很大，而且都有二次碰撞發(fā)生.為什么會(huì)是這樣，以下對(duì)此作具體分析.

2 碰撞過(guò)程中兩鋼球的受力簡(jiǎn)析以及過(guò)程階段的劃分[1-3]

碰撞過(guò)程中，兩球在接觸點(diǎn)將發(fā)生強(qiáng)烈的相互作用，見圖2(a).設(shè)球1受到的法向沖量為I1n，切向沖量為I1t，I1t=αI1n，α為鋼球之間靜摩擦系數(shù)(α≈0.13)，很小，故通常I1t比I1n小得多；外力：球1與導(dǎo)軌接觸點(diǎn)N1處的摩擦力沖量為Ix1=m1gα1Δt-I1tα1≈0，其中α1(α1≈0.13)為鋼球與軌道之間的靜摩擦系數(shù).由于碰撞過(guò)程時(shí)間Δt極短，含時(shí)間Δt的項(xiàng)可被忽略，又由于I1t的作用會(huì)使球1對(duì)導(dǎo)軌的壓力大大減小，從而摩擦力沖量Ix1被忽略.

設(shè)球2受到的法向沖量為I2n，切向沖量為I2t，I2t=αI2n，α為鋼球之間靜摩擦系數(shù)(α≈0.13)，很小，通常I2t比I2n小得多；外力：球2與導(dǎo)軌接觸點(diǎn)N2處的摩擦力沖量為

Ix2=(m2gα2Δt+I2tα2)≈I2tα2=I2nαα2≈0

其中α2(α2≈0.13)為鋼球2與軌道之間的靜摩擦系數(shù).由于碰撞過(guò)程時(shí)間Δt極短，含時(shí)間Δt的項(xiàng)被忽略；又有αα2<<1，故Ix2也被忽略.所以，軌道對(duì)球2的靜摩擦力沖量亦被忽略.

圖2 碰撞過(guò)程中兩球的動(dòng)量分析

由牛頓第三定律知

I2n=I1n=In，I2t=I1t=It<

(1)

這樣，本實(shí)驗(yàn)所討論的問(wèn)題可以簡(jiǎn)化為純滾動(dòng)兩鋼球的自由碰撞問(wèn)題，即完全忽略了外力(導(dǎo)軌摩擦力)的影響.

導(dǎo)軌上純滾動(dòng)雙鋼球的碰撞過(guò)程可分為3個(gè)階段：1) 初始階段，兩球都在作純滾動(dòng)運(yùn)動(dòng)(碰撞前)；2) 碰撞過(guò)程階段，兩球在接觸點(diǎn)的正碰(碰撞力在碰撞點(diǎn)與球面垂直)和切向碰撞(碰撞力在碰撞點(diǎn)與球面相切)同時(shí)進(jìn)行，各自按照自身的動(dòng)力學(xué)規(guī)律進(jìn)行，因?yàn)檎龊颓邢蚺鲎沧駨牡囊?guī)律不同，因此，在碰撞結(jié)束時(shí)刻兩球的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)都不再是純滾動(dòng)運(yùn)動(dòng)；3) 自調(diào)整階段，由于碰撞后兩球不再是純滾動(dòng)狀態(tài)，每一個(gè)鋼球都要通過(guò)自身與導(dǎo)軌的相互作用變?yōu)榧儩L動(dòng).下面給出各階段的定量分析.

3 關(guān)于切向碰撞的討論

3.1 兩鋼球運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的表示

在一個(gè)導(dǎo)軌上，純滾動(dòng)雙球碰撞實(shí)驗(yàn)裝置的結(jié)構(gòu)如圖3所示.后球(球1)和前球(球2)都在同一水平導(dǎo)軌上作純滾動(dòng).

圖3 碰撞前后兩球的狀態(tài)圖示

設(shè)它們的半徑相等：R1=R2=R；它們的滾動(dòng)半徑(由導(dǎo)軌的寬窄所決定)也相等，即r1=r2=r(0v2)；同時(shí)它們各自繞其過(guò)質(zhì)心的水平軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度分別為ω1、ω2.由于兩鋼球都是在作純滾動(dòng)，且滾動(dòng)半徑相等，故知ω1>ω2；約定碰撞后，它們的運(yùn)動(dòng)參量都用帶一撇的相應(yīng)的字母來(lái)表示.碰撞后鋼球與導(dǎo)軌相互作用，自調(diào)整至再次純滾動(dòng)時(shí)，其參量都用帶兩撇的相應(yīng)的字母來(lái)表示.即

(2)

3.2 碰撞造成兩鋼球的動(dòng)能損耗[4，5]

根據(jù)克尼希定理，鋼球的動(dòng)能等于其質(zhì)心平動(dòng)能與繞過(guò)質(zhì)心的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能之和.故正碰和切向碰撞的能耗可以分別進(jìn)行計(jì)算.球1、球2碰撞后的平動(dòng)動(dòng)能為

(3)

(4)

球1、球2碰撞后繞其過(guò)質(zhì)心的水平軸的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能為

(5)

(6)

碰撞引起的動(dòng)能損耗

(7)

(8)

其中，μ為折合質(zhì)量，v為相對(duì)速度，j為折合轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，ω為相對(duì)角速度.

正碰時(shí)，標(biāo)志沖量(完全非彈性碰撞時(shí)的沖量)為μv=μ(v1-v2)，實(shí)際碰撞(非完全彈性碰撞)時(shí)的沖量In=(1+en)μv>μv，其中

(9)

為正碰恢復(fù)系數(shù).由于兩球心距有漸小至極小再離開的過(guò)程，在質(zhì)心系中相對(duì)速度總是過(guò)零的，因此，0μv.

3.3 切向碰撞總是伴隨碰撞[5]

(10)

為切向碰撞恢復(fù)系數(shù).-1

4 碰撞過(guò)程分析[4，6-8]

參考圖2列出碰撞過(guò)程的動(dòng)力學(xué)方程.由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理(只看水平方向)

(11)

(12)

(13)

(14)

結(jié)果，質(zhì)心速度為

(15)

轉(zhuǎn)動(dòng)角速度為

(16)

5 自調(diào)整過(guò)程

(17)

式(17)是關(guān)于FΔt、v″、ω″的三元一次方程，可解出自調(diào)節(jié)結(jié)束時(shí)鋼球的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)和摩擦力沖量為

(18)

自調(diào)整過(guò)程的機(jī)械能損失為

(19)

這就是經(jīng)歷一次碰撞后球1或球2由非純滾動(dòng)變?yōu)榧儩L動(dòng)(自調(diào)整過(guò)程)時(shí)的機(jī)械能損失.

具體到本實(shí)驗(yàn)，由式(19)，分析鋼球在寬窄導(dǎo)軌上自調(diào)整階段的能耗，可得

(20)

可見，寬導(dǎo)軌時(shí)比窄導(dǎo)軌時(shí)自調(diào)整過(guò)程的機(jī)械能損失增大了數(shù)倍.

6 自調(diào)整過(guò)后兩鋼球質(zhì)心速度的比較

將式(15)和式(16)，代入式(18)，可得調(diào)整過(guò)程結(jié)束時(shí)刻兩球的運(yùn)動(dòng)狀態(tài).

球1

(21)

球2

(22)

由此可得質(zhì)心的相對(duì)速度v″：

(23)

在本實(shí)驗(yàn)中，兩個(gè)鋼球完全相同，它們的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量相等.最后得兩球質(zhì)心的相對(duì)速度為

(24)

圖4 寬窄導(dǎo)軌上純滾動(dòng)雙鋼球碰撞實(shí)驗(yàn)中鋼球速度變化

7 小結(jié)

在水平導(dǎo)軌上純滾動(dòng)的雙鋼球的碰撞，是在碰向點(diǎn)的正向和切向碰撞同時(shí)發(fā)生的復(fù)合碰撞，切向碰撞總是伴隨碰撞.由于正碰和切向碰撞遵從不同的動(dòng)力學(xué)規(guī)律，碰撞后兩鋼球?qū)⒍疾辉偈羌儩L動(dòng)狀態(tài)，于是，都要通過(guò)自身與導(dǎo)軌的相互作用使自己變?yōu)榧儩L動(dòng)狀態(tài)，這一過(guò)程稱為自調(diào)整過(guò)程.自調(diào)整過(guò)程的能量損耗，與鋼球的滾動(dòng)半徑和它的即時(shí)狀態(tài)與純滾動(dòng)的偏離有關(guān)，寬導(dǎo)軌上的實(shí)驗(yàn)比窄導(dǎo)軌上的實(shí)驗(yàn)的能量損耗大得多，因此出現(xiàn)上文所列的實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象.