杜嘉儀， 明 森， 韓 偉， 蘇業(yè)芹

(1. 中北大學 理學院， 山西 太原 030051； 2. 西南財經(jīng)大學 證券與期貨學院， 四川 成都 611130)

0 引 言

本文研究如下變系數(shù)波動方程的初邊值問題

(1)

非線性波動方程解的破裂和生命跨度估計的研究受到學者們越來越廣泛的關(guān)注[1-13].文獻[1]研究了波動方程utt-Δu=|u|p， 得到其解滿足Strauss臨界指數(shù)pS(n).當n=1時，pS(1)=∞； 當n≥2時，pS(n)是二次方程r(p,n)=-(n-1)p2+(n+1)p+2=0的正根.文獻[2]研究了波動方程utt-Δu=|ut|p的Cauchy問題， 得到其解具有Glassey臨界指數(shù)pG(n)=1+2/(n-1).文獻[3]研究了外區(qū)域上變系數(shù)波動方程utt-?i(aij(x)?ju)=f(u,ut)的初邊值問題， 其中f(u,ut)=|u|p， |ut|p.利用檢驗函數(shù)方法與Kato引理， 得到解會在有限時間內(nèi)破裂以及生命跨度的上界估計.文獻[4]運用Kato引理證明了帶組合非線性項的波動方程utt-Δu=|ut|p+|u|q解的破裂性態(tài)， 并給出解的生命跨度的上界估計.文獻[5]在Rn中研究了帶散射阻尼項與冪次非線性項的波動方程utt-Δu+μ(1+t)-βut=|u|p.利用迭代方法建立了解的生命跨度的上界估計.文獻[6]研究了帶導數(shù)非線性項的波動方程utt-Δu+μ(1+t)-βut=|ut|p， 利用檢驗函數(shù)方法并構(gòu)造常微分不等式得到次臨界及臨界情形解的生命跨度估計.文獻[7]研究了關(guān)于帶組合非線性項的波動方程utt-Δu+μ(1+t)-βut=|ut|p+|u|q解的破裂性態(tài)及生命跨度估計， 但未涉及外區(qū)域與變系數(shù)的情形.其它相關(guān)研究見文獻[8-13].因此， 本文擬利用檢驗函數(shù)方法和迭代方法來研究問題(1)解的破裂與生命跨度的上界估計.主要結(jié)果如下：

定理1設(shè)n≥1， 1

其中,C是與ε無關(guān)的正常數(shù).

定理2設(shè)n≥1，f(u,ut)=|ut|p.若問題(1)的解u滿足suppu?{(x,t)||x|≤t+R}， 則解的生命跨度估計為

定理3設(shè)f(u,ut)=|ut|p+|u|q.當n=1時， 1

定理4設(shè)n≥2，f(u,ut)=|ut|p+|u|q.假設(shè)問題(1)的解u滿足suppu?{(x,t)||x|≤t+R}.如果p>2n/(n-1)， 1

T(ε)≤Cε-(q-1)/(q+1-n(q-1)).

注1本文將文獻[3-4]中利用Kato引理證明的問題推廣為帶散射阻尼項的變系數(shù)問題， 并且利用檢驗函數(shù)方法和迭代方法給出解的生命跨度的上界估計. 將文獻[5-7]在Rn中研究的Cauchy問題推廣為外區(qū)域上的變系數(shù)問題， 并且當n≥3，n=2，n=1時分別選取不同的檢驗函數(shù)φ0(x)， 得到解的破裂性態(tài)并建立其生命跨度的上界估計.另外， 本文在f(u,ut)=|u|p，n=1時得到的解的生命跨度估計結(jié)果優(yōu)于文獻[9]中得到的結(jié)果.

下面給出定理證明過程中需用到的一些引理以及問題(1)弱解的定義.

引理1[3,8-9]設(shè)常數(shù)C，C1，C2>0.存在函數(shù)φ0(x)∈C2(Ωc)， 滿足

當n≥3時，φ0(x)→1(|x|→∞)， 且0<φ0(x)<1， ?x∈Ωc.

當n=2時，φ0(x)→+∞(|x|→∞)， 且0<φ0(x)

當n=1時，φ0(x)→+∞(|x|→∞)， 且C1x<φ0(x)

引理2[3]存在函數(shù)φ1(x)∈C2(Ωc)， 滿足

并且0<φ1(x)

令ψ1(x,t)=e-tφ1(x)， 則有

(ψ1(x,t))t=-ψ1(x,t)，

(ψ1(x,t))tt=ψ1(x,t)=?j(aij(x)?iψ1(x,t)).(2)

引理3[3]令n≥1，p>1， 常數(shù)C>0.對于?t≥0， 有

C(t+R)n-1-(n-1)p/(2(p-1))，

下面給出問題(1)弱解的定義.

引入乘子m(t)=exp(μ(1+t)1-β/(1-β))， 則

0

m′(t)=μ(1+t)-βm(t).(4)

記

下面建立F1(t)的下界估計.

在式(3)中令φ(x,t)=ψ1(x,t)， 結(jié)合式(2)， 可知

計算得到

類似于文獻[5]中的分析， 可知F1(t)>0， ?t≥0. 所以

e2tF1(t)≥F1(0)+1/2m(0)Cu0,u1ε(e2t-1)，

F1(t)≥1/2m(0)Cu0,0ε>0， ?t≥0.(5)

1 定理1的證明

在式(3)中令φ(x,t)=φ0(x)， 利用引理1， 其中f(u,ut)=|u|p， 得到

所以

運用Holder不等式、引理3及式(5)可得

C3εp(t+R)(n-1)(1-p/2)， (7)

式中：C3=C-(p-1)(1/2m(0)Cu0,0)p>0.結(jié)合式(6) 和式(7)， 則有

F0(t)≥C4εp(t+R)-(n-1)p/2tn+1， (8)

式中：C4=m(0)C3/(n(n+1))>0.

另一方面， 利用Holder不等式， 可得

1)n≥3情形. 由引理1知0<φ0(x)<1， 于是

將式(10)代入式(6)， 得到

式中：C6=C5m(0)>0. 下面運用迭代方法計算.

假設(shè)

F0(t)≥Dj(t+R)-ajtbj， ?t≥0，j∈N*，(12)

式中：D1=C4εp，a1=(n-1)p/2，b1=n+1.將式(12) 代入式(11)得到

F0(t)≥Dj+1(t+R)-aj+1tbj+1，

aj=pj-1((n-1)p/2+n)-n，

bj=pj-1(n+1+2/(p-1))-2/(p-1)，

F0(t)≥(t+R)nt-2/(p-1)exp(pj-1J(t)).(13)

當t>R時，J(t)≥log(D1tr(p,n)/2(p-1))-C8.所以，t>C9ε-2p(p-1)/r(p,n)時，J(t)>1.從而得到解的生命跨度估計為T(ε)≤Cε-2p(p-1)/r(p,n).

2)n=2情形.由引理1知0<φ0(x)

式中：C10=C-(p-1)[ln(T+R)]-(p-1)>0.將式(14)代入式(6)， 可得

類似于n≥3情形的證明， 從而得到解的生命跨度估計T(ε)≤Cε-2p(p-1)/r(p,2).

F0(t)≥C12εt.(16)

將式(16)代入式(15)， 則有F0(t)≥C13·εp(t+R)-(p-1)t3.

3)n=1情形.由引理1知C1x<φ0(x)

(C2/2)-(p-1)(t+R)-2(p-1)|F0(t)|p.(17)

將式(17)代入式(6)， 得到

式中：C14=(C2/2)-(p-1)m(0)>0.類似于n≥3情形的證明過程， 可得T(ε)≤Cε-p(p-1)/2.結(jié)合n=2 情形的證明過程可知T(ε)≤Cε-(p-1)/(3-p).注意到1

2 定理2的證明

在式(3)中令φ(x,t)=ψ1(x,t)， 結(jié)合式(2)， 此處f(u,ut)=|ut|p， 則有

計算得到

積分并利用式(5)， 可得

另一方面， 式(19)兩邊同乘以m(t)， 得到

結(jié)合式(20)和式(21)， 可知

運用Holder不等式、引理3、 式(4)和式(22)， 可得

根據(jù)Riccati方程的性質(zhì)可知， 當(n-1)(p-1)/2≤1， 即1

3 定理3的證明

首先建立F2(t)的下界估計.

類似于定理2的證明， 將|ut|p替換為|ut|p+|u|q， 計算可得

令

F2(t)≥m(0)ε/2C0,u1>0.(25)

類似于定理1的證明， 將|u|p替換為|ut|p+|u|q， 計算可得

利用Holder不等式、引理3及式(25)， 得到

C16εp(t+R)(n-1)(1-p/2).(27)

結(jié)合式(26)和式(27)， 則有

F0(t)≥C17εp(t+R)-(n-1)p/2tn+1.(28)

另一方面， 利用Holder不等式， 可得

類似于定理1的證明， 通過選取不同的φ0(x)可知， 當n≥2時， 生命跨度估計為T(ε)≤Cε-p(q-1)/(2q+2-(n-1)p(q-1))； 當n=1時，T(ε)≤Cε-p(q-1)/2.

4 定理4的證明