王永慶， 趙詩(shī)琪， 申宇瑤， 馬志峰

(北京理工大學(xué) 信息與電子學(xué)院，北京 100081)

信噪比是一種有效的通信質(zhì)量評(píng)價(jià)指標(biāo).作為先驗(yàn)信息，它可以作為信道分配、功率控制、指導(dǎo)編解碼和解調(diào)算法選擇的重要依據(jù)[1]. 經(jīng)典的信噪比估計(jì)算法可分為兩類：數(shù)據(jù)輔助(data aided，DA)[2]和非數(shù)據(jù)輔助(non data aided ，NDA)[3]. NDA估計(jì)器由于不需要同步、應(yīng)用場(chǎng)景廣而被廣泛研究，包括基于同相/正交(inphase/quadrature，I/Q)和基于包絡(luò)(envelope based，EVB)的估計(jì)器. I/Q估計(jì)器[4]基于載波同步，估計(jì)性能在寬信噪比范圍內(nèi)接近克拉美羅下限(Cramér-Rao lower bound，CRLB). 然而，相較于 I/Q估計(jì)器，EVB信噪比估計(jì)器不需要嚴(yán)格的恢復(fù)載波，信噪比可以作為先驗(yàn)信息輔助載波同步環(huán)路，對(duì)于多電平星座信號(hào)更加適用. 因此，本文主要研究EVB估計(jì)器.

矩量法(method of moment，MoM)是一種常用的EVB估計(jì)方法，它利用信號(hào)與噪聲之間的不相關(guān)性來(lái)計(jì)算信號(hào)和噪聲的功率. M2M4估計(jì)器[5]具有簡(jiǎn)單的優(yōu)點(diǎn)，然而，對(duì)于非恒模星座，隨著信噪比的增加，其估計(jì)性能會(huì)顯著下降. 因此，文獻(xiàn)[6]中使用了建立在矩商線性組合基礎(chǔ)上的高階統(tǒng)計(jì)量(最高為8階統(tǒng)計(jì)量)進(jìn)行信噪比估計(jì)，性能得到了改善，特別是針對(duì)2級(jí)和3級(jí)星座. 然而，它對(duì)高信噪比條件下的正交幅度調(diào)制(quadrature amplitude modulation，QAM)信號(hào)的估計(jì)性能急劇下降. 基于經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)(cumulative distribution functions，CDF)的方法是另一種EVB估計(jì)器，使用Kolmogorov-Smirnov(KS)算法[7]，該算法在寬的信噪比范圍內(nèi)對(duì)各種多級(jí)星座估計(jì)都是有效的. KS估計(jì)器的實(shí)質(zhì)是在一系列確定的信噪比下比較接收信號(hào)(通常選擇包絡(luò))的EDF與CDF. 與接收信號(hào)EDF最近的CDF相對(duì)應(yīng)的信噪比就作為接收信號(hào)的估計(jì)值. 為了獲得最佳匹配的CDF，需要遍歷整個(gè)本地存儲(chǔ)的信噪比區(qū)間. 因此，KS估計(jì)器的計(jì)算量大，在大規(guī)模待匹配信噪比區(qū)間的實(shí)際應(yīng)用中受到限制. KS-BS估計(jì)器[8]通過(guò)二分法極大加快了匹配過(guò)程，雖然匹配復(fù)雜度較低，但在中、高信噪比時(shí)估計(jì)性能下降. WANG等[9]將匹配維數(shù)減少為1，但仍有許多加法運(yùn)算.

為了在保證估計(jì)性能的前提下降低EDF估計(jì)器匹配復(fù)雜度，本文提出了一種改進(jìn)的EDF估計(jì)器，通過(guò)線性多項(xiàng)式的重復(fù)迭代來(lái)加速匹配過(guò)程. 然后分析了該估計(jì)器的迭代過(guò)程和收斂速度，并通過(guò)仿真進(jìn)行了驗(yàn)證.

1 EDF信噪比估計(jì)器概述

1.1 系統(tǒng)模型

在準(zhǔn)靜態(tài)頻率衰落信道上的數(shù)字通信系統(tǒng)中，位同步后的符號(hào)速率采樣點(diǎn)可以表示為

(1)

1.2 基本原理

對(duì)于EDF信噪比估計(jì)器，首先需要計(jì)算接收信號(hào)包絡(luò)|rm|的經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)(EDF)

(2)

式中：U(·)為階躍函數(shù)，如果輸入為非負(fù)，則等于1，否則等于0；{zn}為本地儲(chǔ)存信噪比下信號(hào)包絡(luò)理論累計(jì)分布函數(shù)(CDF)的Nref個(gè)離散采樣點(diǎn).

(3)

式中Q1(a,b)為一階Marcum-Q函數(shù).

將接收信號(hào)的EDF與本地儲(chǔ)存所有信噪比下的CDF作比較，得到每一信噪比下EDF與CDF的最大距離(Φk)為

(4)

遍歷ρk，選擇具有最小最大距離相對(duì)應(yīng)的信噪比作為接收信號(hào)的信噪比估計(jì)結(jié)果.

2 改進(jìn)的EDF信噪比估計(jì)器

基于經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)的信噪比估計(jì)器需要遍歷本地存儲(chǔ)所有的信噪比來(lái)獲得最小最大距離. 在相同的信噪比估計(jì)范圍內(nèi)，估計(jì)精度Δρ決定了所需匹配的信噪比數(shù)目K. 較高的信噪比估計(jì)精度會(huì)帶來(lái)較多的匹配次數(shù)和加法運(yùn)算，因此，實(shí)際應(yīng)用中需要在估計(jì)精度和匹配計(jì)算的復(fù)雜性兩者中進(jìn)行折中考慮. 基于這個(gè)問(wèn)題，本文提出了一種改進(jìn)的EDF估計(jì)器，不需要遍歷本地所有存儲(chǔ)的信噪比，采用“以直代曲”的思想，通過(guò)線性多項(xiàng)式的重復(fù)迭代來(lái)加速匹配過(guò)程，可以降低EDF估計(jì)器的匹配復(fù)雜度，并且具有比較高的估計(jì)性能.

如果接收信號(hào)信噪比的估計(jì)值與真值接近，則EDF曲線與CDF曲線就很接近，兩者的最大距離就很小. 相反，如果估計(jì)的信噪比偏離真實(shí)值，則最大距離會(huì)很大. 最大距離曲線(Φ-曲線)隨本地存儲(chǔ)所有信噪比的變化呈“對(duì)勾”形狀，如圖1所示.Φ-曲線的零點(diǎn)對(duì)應(yīng)于最小-最大距離. 因此，找到Φ-曲線零點(diǎn)的過(guò)程就相當(dāng)于EDF與本地存儲(chǔ)所有信噪比下CDF曲線的匹配過(guò)程，快速找到Φ-曲線的零點(diǎn)就可以代替大量的匹配過(guò)程，從而不需要遍歷整個(gè)信噪比區(qū)間. 整個(gè)匹配過(guò)程就可以轉(zhuǎn)換為在參考定義域?yàn)楸镜卮鎯?chǔ)所有信噪比的情況下，求解式(4)的根.

圖1 16-APSK/QAM的Φ-曲線Fig.1 Φ-curve of 16-APSK/QAM

KS -BS估計(jì)器實(shí)質(zhì)是利用二分法求解式(4)的根，二分法操作簡(jiǎn)單，且必然是收斂的，是一種可靠的算法. 但在二分法中，每迭代一次，搜索區(qū)間縮小1/2，也就是說(shuō)，解的不定范圍每次只能縮小1/2. 因此二分法是一種是收斂速度非常緩慢的算法，估計(jì)精度受限于迭代次數(shù)，估計(jì)精度越高所需的迭代次數(shù)就越多. 本文使用“以直代曲”的思想，用2個(gè)迭代點(diǎn)構(gòu)建一個(gè)線性多項(xiàng)式來(lái)反復(fù)代替Φ-曲線，用2個(gè)迭代點(diǎn)的斜率近似代替Φ-曲線的切線斜率，并用線性多項(xiàng)式與橫軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)作為Φ-曲線的根的近似. 通過(guò)連續(xù)迭代，用線性多項(xiàng)式的根不斷逼近Φ-曲線的零點(diǎn)，找到近似解，并將其作為估計(jì)結(jié)果.

2.1 迭代過(guò)程

假設(shè)k1=1,k2=K是第一次迭代區(qū)間的初始值，利用Φk1,Φk2構(gòu)造線性多項(xiàng)式 ：

(5)

式(5)可以作為Φ-曲線的直線替代，并令其為0，得到其與橫軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，如式(6)所示為

(6)

式中k3為式(5)的零點(diǎn)，并將k3作為第一次迭代過(guò)程中Φ-曲線零點(diǎn)的近似解. 在第二次迭代中，用函數(shù)值Φk3替換max{Φk1,Φk2}，作為下一次迭代的初始值之一. 同時(shí)，k3被相應(yīng)地替換為k1或k2，再次根據(jù)式(5)構(gòu)建線性多項(xiàng)式，求解下一次迭代過(guò)程Φ-曲線零點(diǎn)的近似解. 當(dāng)搜索區(qū)間小于1，搜索結(jié)束，并將搜索區(qū)間端點(diǎn)對(duì)應(yīng)的信噪比的均值作為對(duì)接收信號(hào)的信噪比估計(jì)，否則不斷重復(fù)上述步驟.

由于上文提出的迭代過(guò)程本質(zhì)上是一種線性化方法，因此當(dāng)曲線近似為直線時(shí)，就可以保證迭代策略的收斂性. 如果搜索區(qū)間兩個(gè)迭代端點(diǎn)分別位于Φ-曲線零點(diǎn)兩側(cè)，則可以將其中一個(gè)迭代點(diǎn)的函數(shù)值取反，使零點(diǎn)一側(cè)的曲線對(duì)稱于x軸，將曲線轉(zhuǎn)換為近似直線，以保證迭代過(guò)程的收斂性，并加速收斂過(guò)程. 可以根據(jù)以下兩種情況判斷是否需要將其中一個(gè)迭代點(diǎn)的函數(shù)值取反:①由于有限定義的本地存儲(chǔ)信噪比區(qū)間，根據(jù)式(6)所求的根k3可能在定義域[1,K]之外，如圖2(a)所示，這種情況就需要將其中一個(gè)迭代點(diǎn)的函數(shù)值取反，將Φ-曲線零點(diǎn)一側(cè)的曲線翻折，將Φ-曲線轉(zhuǎn)化為近似直線;②函數(shù)值Φk3大于迭代區(qū)間端點(diǎn)最大函數(shù)值max{Φk1,Φk2}，如圖2(c)所示，也需要將其中一個(gè)迭代點(diǎn)的函數(shù)值取反.

綜合上述分析，本文將式(6)改寫為

(7)

圖2給出了本文改進(jìn)EDF估計(jì)器尋找最佳匹配CDF曲線的整個(gè)迭代過(guò)程. 如圖2(a)所示，第一次迭代以[1,K]為首次搜索區(qū)間，作直線得到Φ-曲線零點(diǎn)的近似替代值k3. 由于k3?[1,K]，根據(jù)式(7)將函數(shù)值Φk3取反. 重新以經(jīng)過(guò)(k1,-Φk1),(k2,Φk2)的直線代替Φ-曲線，得到近似解k3，Φk1<Φk2，因此k3替代k2作為第二次迭代過(guò)程的端點(diǎn)值. 如圖2(b)所示，再次“以直代曲”，得到第二次迭代過(guò)程的近似解k3，由于Φk1>Φk2，用k3替代k1，作為第三次迭代過(guò)程的端點(diǎn)值. 如圖2(c)所示，

圖2 迭代過(guò)程Fig.2 Iterative process

在第三次迭代中，由于Φk3>max{Φk1,Φk2}，根據(jù)式(7)將Φk2取反，進(jìn)而求得k3. 經(jīng)過(guò)三次迭代，k3已經(jīng)非常靠近原始Φ-曲線的零點(diǎn)，所對(duì)應(yīng)的信噪比ρk3可以作為接收信號(hào)信噪比的最佳估計(jì)值.

2.2 收斂速度

收斂速度是指迭代序列逼近局部最優(yōu)值的速度，是評(píng)價(jià)迭代算法性能的重要指標(biāo). 收斂階p用來(lái)衡量序列的收斂速度：

(8)

本文改進(jìn)的EDF估計(jì)器收斂階p≈1.618[10]，具有超線性收斂速度，這意味著本次迭代的信噪比估計(jì)誤差與上一次迭代誤差的1.618次方成正比. 當(dāng)k1迅速逼近接近k2時(shí)，兩個(gè)迭代端點(diǎn)k1、k2所在直線的斜率將接近其中一個(gè)迭代點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)Φ′(k). 零點(diǎn)k3的計(jì)算實(shí)質(zhì)上可如式(9)表示. 在這種情況下，p=2[11]. 也就是說(shuō)，迭代過(guò)程在根附近近似平方收斂.

(9)

3 仿真結(jié)果

本節(jié)首先通過(guò)蒙特卡羅模擬的方法對(duì)各信噪比估計(jì)器對(duì)接收信號(hào)的性能進(jìn)行了仿真驗(yàn)證，針對(duì)每個(gè)仿真點(diǎn)，均進(jìn)行了104次蒙特卡羅仿真[13]. APSK、QAM信號(hào)是常用的多電平星座，因此針對(duì)16-APSK信號(hào)(常用的兩電平星座)和16-QAM信號(hào)(常用的三電平星座)進(jìn)行了仿真. 本地存儲(chǔ)信噪比的CDF是在理論連續(xù)CDF曲線上采樣的1 000個(gè)離散點(diǎn)，即Nref=1 000.

3.1 估計(jì)性能

圖3 不同觀測(cè)長(zhǎng)度下的歸一化均方誤差Fig.3 Normalized mean square error under different observation lengths

上面的仿真驗(yàn)證了當(dāng)觀測(cè)符號(hào)長(zhǎng)度M>700時(shí)，矩估計(jì)器和EDF估計(jì)器的估計(jì)性能都趨于穩(wěn)定，因此選擇觀測(cè)符號(hào)長(zhǎng)度M=700作為對(duì)不同信噪比下偏差(Bias)和歸一化均方誤差(NMSE)的仿真參數(shù). 本節(jié)仿真將本地存儲(chǔ)的信噪比設(shè)置為Ω={0,0.5，1.0，…,24.5，25.0}(dB)，對(duì)偏差和歸一化均方誤差進(jìn)行性能評(píng)估. 仿真結(jié)果如圖4所示. 此處提供的CRLB來(lái)自參考文獻(xiàn)[14].

圖4 估計(jì)性能Fig.4 Estimated performance

圖4(a)和4(b)顯示了各信噪比估計(jì)器對(duì)16-APSK的結(jié)果. M2M4在中、高信噪比下存在明顯的偏差，但M8幾乎是無(wú)偏估計(jì). 在低、中等信噪比下，由于噪聲較大，且處于整個(gè)搜索區(qū)間的邊緣，用直線代替Φ-曲線存在較大的偏差，本文改進(jìn)的信噪比估計(jì)器估計(jì)偏差和NMSE略高于KS估計(jì)器. 在10～18 dB，搜索區(qū)間處于整個(gè)搜索區(qū)間的中部，用直線代替Φ-曲線較精確，本文改進(jìn)的信噪比估計(jì)器估計(jì)性能優(yōu)于原KS算法估計(jì)器，但同樣在高信噪比區(qū)間邊緣20～25 dB出現(xiàn)性能損失. 然而，在測(cè)試的所有信噪比下，本文改進(jìn)的信噪比估計(jì)器優(yōu)于KS-BS估計(jì)器. 圖4(c)和4(d)顯示了各信噪比估計(jì)器對(duì)16-QAM的結(jié)果. M2M4和M8在中、高信噪比下都有較高的偏差和NMSE，估計(jì)性能惡化. 本文改進(jìn)的信噪比估計(jì)器性能介于原KS估計(jì)器和KS-BS估計(jì)器之間，劣于原KS算法估計(jì)器，優(yōu)于KS-BS算法估計(jì)器. 本文改進(jìn)的信噪比估計(jì)器和KS-BS估計(jì)器的性能損失都是由于搜索造成的. 然而，與KS-BS估計(jì)器相比，本文改進(jìn)的信噪比估計(jì)器具有更高的精度.

3.2 收斂速度

表1 基于EDF的信噪比估計(jì)器所占資源比較

4 結(jié) 論

基于經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)的信噪比估計(jì)器在實(shí)際應(yīng)用中需要在估計(jì)精度和匹配計(jì)算的復(fù)雜性兩者中進(jìn)行折中考慮.基于此問(wèn)題，在保證信噪比估計(jì)精度的前提下，本文使用“以直代曲”的思想，用線性多項(xiàng)式的根不斷迭代逼近最大距離曲線的零點(diǎn)，找到最佳匹配的CDF曲線.本文改進(jìn)的EDF估計(jì)器避免了遍歷所有的信噪比去找EDF曲線與CDF曲線的最小最大距離，僅需要幾次匹配迭代就可以找到最佳匹配的CDF曲線.仿真結(jié)果表明，與矩估計(jì)器相比，本文改進(jìn)的EDF估計(jì)器在寬信噪比范圍內(nèi)對(duì)多電平星座信號(hào)的信噪比估計(jì)都是有效的；與KS算法EDF估計(jì)器相比，本文改進(jìn)的EDF估計(jì)器極大減少匹配次數(shù)和加法運(yùn)算的次數(shù)，但是估計(jì)性能在信噪比區(qū)間邊緣有輕微的性能損失；與KS-BS算法EDF估計(jì)器相比，本文改進(jìn)的EDF估計(jì)器有更快的收斂速度，進(jìn)一步減小了EDF和CDF的匹配次數(shù)，在中、高信噪比具有更小的估計(jì)偏差和歸一化均方誤差.對(duì)于需要高估計(jì)精度的系統(tǒng)，所提改進(jìn)的EDF估計(jì)器收斂速度快，比KS估計(jì)器和KS-BS估計(jì)器更具實(shí)用性.