安徽省太湖中學(xué)(246400)李昭平 王 芳

數(shù)列求和,是高考考查數(shù)列的重點(diǎn),正所謂?？汲Ｐ?備考復(fù)習(xí)中,針對(duì)性地梳理數(shù)列求和,既能重現(xiàn)數(shù)列中的知識(shí),又能突出數(shù)列中的思想方法,更能與相關(guān)知識(shí)溝通聯(lián)系,起到舉一反三、融會(huì)貫通的作用.下面結(jié)合典型試題,介紹高考中數(shù)列求和的七大模型,供參考.

模型1 公式求和法

對(duì)于一個(gè)整體是等差或等比數(shù)列的和式,直接運(yùn)用等差數(shù)列與等比數(shù)列的求和公式或它們的性質(zhì)求和,往往稱為公式求和法.解題關(guān)鍵點(diǎn)是:

①確定求和公式中的元素.根據(jù)條件確定等差數(shù)列求和公式Sn=na1+和等比數(shù)列三個(gè)求和公式Sn=(q /= 1),Sn=(q /=1),Sn=na1(q=1)中的相關(guān)元素,代入公式求和.

②活用等差或等比數(shù)列的相關(guān)性質(zhì).往往已知等差或等比數(shù)列中的某些和,要求另外的和,常常運(yùn)用“Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,S4m-S3m,···,也成等差數(shù)列”(對(duì)等差數(shù)列來說)和“當(dāng)Sm /= 0 時(shí),Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,S4m-S3m,··· ,也成等比數(shù)列”(對(duì)等比數(shù)列來說),同時(shí)也活用am+an=ap+aq或am·an=ap·aq(m+n=p+q).

例1(2021年高考全國甲卷題)記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.若S2=4,S4=6,則S6=( )

A.7 B.8 C.9 D.10

思路由“S2,S4-S2,S6-S4成等比數(shù)列”構(gòu)建方程求公差t,再求S6,或由S2= 4,S4= 6,利用求和公式構(gòu)建方程組.

解法1(性質(zhì)求和)因?yàn)镾n為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,所以S2,S4-S2,S6-S4成等比數(shù)列,所以S2=4,S4-S2=6-4=2,所以S6-S4=1,所以S6=1+S4=1+6=7.故選A.

解法2(求和公式)顯然公比q /= 1,由求和公式Sn=得故故選A.

例2(2020年山東青島模擬考試)若Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,S3=-30,S8=-40,則S11的值是____.

思路利用Sn=An2+Bn(A,B為常數(shù)),或Sn=na1+或Sn=和am+an=ap+aq(m+n=p+q)處理.

解法1(性質(zhì)求和)因?yàn)閧an}是等差數(shù)列,所以可設(shè)Sn=An2+Bn.由S3=-30,S8=-40 得,故S11= 112-13×11=-22..

解法2(公式求和)由求和公式Sn=na1+得,故S11=11×(-12)+55×2=-22.

解法3(性質(zhì)求和)因?yàn)镾8=-40 =a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8=-30+5a6,所以a6=-2.故S11==11a6=-22.

模型2 分組求和法

一般地,分組求和法是指對(duì)于一個(gè)整體是非等差且非等比數(shù)列的和式,首先觀察它是否能通過適當(dāng)分組,轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列或常見數(shù)列求和.解題關(guān)鍵點(diǎn)是: ①觀察結(jié)構(gòu).觀察和式結(jié)構(gòu)特點(diǎn),看是否能夠分成多組數(shù)列求和.②實(shí)施求和.對(duì)每個(gè)組分別求和,然后相加,實(shí)現(xiàn)整體求和.

例3(2021年福建漳州聯(lián)考題)在①Sn=n2+n;②a3+a5= 16 且S3+S5= 42;且S7= 56 這三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在下面的問題中,并加以解答.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,{bn}是等比數(shù)列,____,b1=a1,b2=求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn.

思路先確定an,再確定bn,最后分組求和得到Tn.

解析若選填條件Sn=n2+n,則等差數(shù)列{an}的公差d= 2,a1= 2.于是b1=a1= 2,b2== 4,則其公比q= 2,bn= 2n.因此+2n=+ 2n.故Tn= 1-2n+1--1.若選填條件a3+a5=16 且S3+S5=42,則a1+3d=8 且8a1+13d=42,解得d=2,a1=2.以下過程同上.

注意: 本題屬于條件開放性問題,是新課程的亮點(diǎn).其實(shí)質(zhì)是要確定數(shù)列{an},能有效考查思維的批判性、流暢性和深刻性.條件③中的顯然與{bn}是等比數(shù)列矛盾,不予考慮.只要思考①②即可.

模型3 錯(cuò)位相減求和法

若數(shù)列{an}和{bn}分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列,則求其積數(shù)列{an·bn}的前n項(xiàng)和,可以運(yùn)用錯(cuò)位相減法.解題關(guān)鍵點(diǎn)是: ①特殊情形.判斷等比數(shù)列{bn}的公比是否為1,若為1,直接利用等差數(shù)列求和公式求和即可.②一般情形.當(dāng)?shù)缺葦?shù)列{bn}的公比不為1 時(shí),將和式兩邊同時(shí)乘以這個(gè)公比,并跟原和式錯(cuò)位列式、整體相減,轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和,化簡整理得到原和式.

例4(2021年高考全國乙卷題)設(shè){an}是首項(xiàng)為1 的等比數(shù)列,數(shù)列{bn}滿足bn=已知a1,3a2,9a3成等差數(shù)列.

(1)求{an}和{bn}的通項(xiàng)公式;

(2)記Sn和Tn分別為{an}和{bn}的前n項(xiàng)和.證明:

思路對(duì)(1)利用等差數(shù)列的性質(zhì)及a1得到9q2-6q+1 =0,解方程即可;對(duì)(2)利用公式法、錯(cuò)位相減法分別求出Sn,Tn,再作差比較即可.

解析(1)因?yàn)閧an}是首項(xiàng)為1 的等比數(shù)列,且a1,3a2,9a3成等差數(shù)列,所以6a2=a1+9a3,即6a1q=a1+9a1q2,9q2-6q+ 1 = 0,解得q=所以an=故

(2)由(1)可得Sn=

①-②得

例5(2021年高考全國甲卷題)某校學(xué)生在研究民間剪紙藝術(shù)時(shí),發(fā)現(xiàn)剪紙時(shí)經(jīng)常會(huì)沿紙的某條對(duì)稱軸把紙對(duì)折,規(guī)格為20dm×12dm 的長方形紙,對(duì)折1 次共可以得到10dm×12dm,20dm×6dm 兩種規(guī)格的圖形,它們的面積之和S1= 240dm2,對(duì)折2 次共可以得到5dm×12dm,10dm×6dm,20dm×3dm 三種規(guī)格的圖形,它們的面積之和S2=180dm2,以此類推,則對(duì)折4 次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為____;如果對(duì)折n次,那么=____dm2.

思路對(duì)空1,按對(duì)折列舉即可; 對(duì)空2,根據(jù)規(guī)律可得Sn,再由錯(cuò)位相減法得出結(jié)果,注意乘以分?jǐn)?shù)公比

解析(1)由對(duì)折2 次共可以得到5dm×12dm,10dm×6dm,20dm×3dm 三種規(guī)格的圖形,所以對(duì)折三次的結(jié)果有:×12,5×6,10×3,20×共4 種不同規(guī)格(單位dm2).故對(duì)折4 次可得到如下規(guī)格:共5 種不同規(guī)格.

(2)由于每次對(duì)折后的圖形的面積都減小為原來的一半,故各次對(duì)折后的圖形,不論規(guī)格如何,其面積成公比為的等比數(shù)列,首項(xiàng)為120dm2,第n次對(duì)折后的圖形面積為120×對(duì)于第n次對(duì)折后的圖形的規(guī)格形狀種數(shù),根據(jù)(1)的過程和結(jié)論,猜想為n+1 種(證明從略),故得猜想Sn=

設(shè)S=兩式作差得,

模型4 裂項(xiàng)相消求和法

無法用公式求和法、分組求和法或錯(cuò)位相減求和法求和的,可以根據(jù)和式通項(xiàng)的特點(diǎn),考慮將其裂項(xiàng),使得和式中許多項(xiàng)能相消.解題關(guān)鍵點(diǎn)是: ①判斷結(jié)構(gòu).觀察一般項(xiàng)的結(jié)構(gòu),看看它是否可以裂項(xiàng),能裂項(xiàng)就寫出一般項(xiàng)的裂項(xiàng)表達(dá)式.②寫出和式.按裂項(xiàng)表達(dá)式寫出和式,看哪些項(xiàng)能相互抵消.③化簡整理.計(jì)算整理和式,得到和式的最簡結(jié)果.

例6(2021年安徽合肥六校聯(lián)考)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;(2)若bn=求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.

思路對(duì)(1),只要利用公式an=Sn - Sn-1處理,注意條件n≥2,并對(duì)a1進(jìn)行檢驗(yàn).對(duì)(2),由于一般項(xiàng)打破常規(guī),同學(xué)們往往不知道對(duì)其怎樣裂項(xiàng): 裂成三項(xiàng)沒做過,該如何下手未知; 分母是三項(xiàng)積裂成兩項(xiàng)也沒做過,該怎么湊配未知.絕大部分學(xué)生因找不到思路,使解題陷入困境.其實(shí),如果對(duì)和)比較熟悉,則能想到視anan+1和an+1an+2為兩個(gè)整體,即朝的方向裂項(xiàng).

解析(1)由知,數(shù)列{an}是等差數(shù)列,所以解得a1= 2,d= 3,故an=3n-1,n ∈N*.

(2)由(1)知,

因?yàn)?3n+5)-(3n-1)=6,所以

于是

注意: 裂項(xiàng)相消求和法是數(shù)列求和的一種重要方法.常見的裂項(xiàng)有:

這給我們很大啟發(fā),進(jìn)一步有

等等,大大拓寬了我們的思維空間和知識(shí)視野.正如北大田剛院士所說: 解數(shù)學(xué)題既要講原則性和規(guī)律性,又要講靈活性和變通性.這種新的裂項(xiàng)方式就應(yīng)該是數(shù)學(xué)方法的靈活性和變通性的體現(xiàn).

模型5 分類討論求和法

有些和式中,含有絕對(duì)值符號(hào),要分類討論數(shù)列項(xiàng)的正負(fù)才能去掉絕對(duì)值符號(hào),實(shí)現(xiàn)求和.解題關(guān)鍵點(diǎn)是: ①判斷項(xiàng)的正負(fù).通過解不等式得到哪些項(xiàng)是正的,哪些項(xiàng)是負(fù)的.②去掉絕對(duì)值.按項(xiàng)的正負(fù)去掉絕對(duì)值,分別處理項(xiàng)全正或全負(fù)的求和.③討論項(xiàng)數(shù)n的范圍.分類討論項(xiàng)數(shù)n的范圍,實(shí)施整體求和,

例7(2021年湖北武漢段考題)設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a1=1,S3=13.

(1)求通項(xiàng)公式an; (2)若{an}是遞增數(shù)列,求數(shù)列{|an-n-2|}的前n項(xiàng)和.

思路先確定數(shù)列{an}的通項(xiàng),然后考察an-n-2 的正負(fù).

解析(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q.由題意得a1+a1q+a1q2=13,即1+q+q2=13,解得q=3 或q=-4.故通項(xiàng)公式an=3n-1,n ∈N*,或an=(-4)n-1,n ∈N*.

(2)由(1)知,an= 3n-1,n ∈N*.令bn=|an-n-2|=3n-1-n-2.由3n-1-n-2 ≥0 知,3n-1≥n+2,所以n≥ 3.由3n-1- n -2＜0 知,n≤ 2 即n= 1,2.設(shè)數(shù)列{|an-n-2|}的前n項(xiàng)和為Tn=b1+b2+b3+· · ·+bn.當(dāng)n= 1 時(shí),T1=b1= 2;當(dāng)n= 2 時(shí),T2=b1+b2= 3; 當(dāng)n≥ 3 時(shí),Tn=故Tn=

注意: 本題第(2)問,需要去掉絕對(duì)值符號(hào)來求和,這勢必涉及數(shù)列{an-n-2}中哪些項(xiàng)是非負(fù)的,哪些項(xiàng)是負(fù)的.在確定了第3 項(xiàng)開始是非負(fù)的條件下,對(duì)n= 1,n= 2和n≥3 分類去掉絕對(duì)值求和,并涉及到分組求和,最后整合成分段函數(shù)的形式.

模型6 并項(xiàng)求和法

有些數(shù)列的項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)的奇偶有關(guān),與正余弦函數(shù)的值有關(guān),與數(shù)列的周期性有關(guān)等等,且其和式無法用熟悉的方法處理,可以考慮恰當(dāng)并項(xiàng),使其整體可以轉(zhuǎn)化為熟悉的形式和方法求和,稱之為并項(xiàng)求和法.解題關(guān)鍵點(diǎn)是: ①觀察結(jié)構(gòu).觀察數(shù)列通項(xiàng)與和式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),選擇并項(xiàng)的策略.②審視可能的并項(xiàng).判斷是相鄰項(xiàng)并一起,還是間隔項(xiàng)并一起,以整體能求和為標(biāo)準(zhǔn).③實(shí)施整體求和.利用已有的方法,求出和式的最簡結(jié)果.

例8(2021年四川成都?？碱})已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,且2Sn=an+n2,其中n ∈N*.

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)bn=(-1)nan+2n,求數(shù)列{bn}的前2n項(xiàng)的和T2n.

思路對(duì)(1),利用函數(shù)觀點(diǎn)賦值處理即可; 對(duì)(2),對(duì)bn=(-1)nan+2n實(shí)施并項(xiàng)求和.

解析(1)當(dāng)n≥2 時(shí),2Sn-1=an-1+(n-1)2.與2Sn=an+n2相減得,2an=an -an-1+n2-(n-1)2,即an+an-1=2n-1,因此an+1+an=2n+1.兩式相減得an+1-an-1=2,所以an=n,n ∈N*.

(2)bn= (-1)nan+ 2n= (-1)n · n+ 2n=于是

模型7 放縮求和法

證明數(shù)列中的不等式,是近年來高考中出現(xiàn)的新熱點(diǎn).其中常常要涉及到求和問題,而這些和又無法用上述6 種模型計(jì)算,必須實(shí)施放縮變形,轉(zhuǎn)化為熟悉的模型處理,往往稱為放縮求和法.解題關(guān)鍵點(diǎn)是: ①觀察結(jié)構(gòu).觀察和式的結(jié)構(gòu)特征,確定如何放縮.②恰當(dāng)放縮求和.對(duì)一般項(xiàng)進(jìn)行放縮,轉(zhuǎn)化為熟悉的模型(等差、等比,可以分組,可以裂項(xiàng),可以錯(cuò)位相減)求和.③往證不等式.研究新和式中的不等關(guān)系,實(shí)現(xiàn)證明數(shù)列中不等式的目標(biāo).

例9(2019年浙江高考題)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a3= 4,a4=S3,數(shù)列{bn}滿足: 對(duì)每個(gè)n ∈N*,Sn+bn,Sn+1+bn,Sn+2+bn成等比數(shù)列.

(1)求數(shù)列{an},{bn}的通項(xiàng)公式;

(2)記cn=n ∈N*.證明:c1+c2+c3+···+cn ＜

思路對(duì)(1),利用a3=4 和a4=S3構(gòu)建方程組求解等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)和公差,進(jìn)一步得到Sn,求出bn;對(duì)(2),將一般項(xiàng)cn=進(jìn)行放縮求和,實(shí)現(xiàn)目標(biāo).

解析(1)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d,由題意得a1+2d=4,a1+ 3d= 3a1+ 3d,解得a1= 0,d= 2.從而an= 2n -2,n ∈N*.由Sn+bn,Sn+1+bn,Sn+2+bn成等比數(shù)列得,(Sn+1+bn)2= (Sn+bn)(Sn+2+bn).解得bn=所以bn=n2+n,n ∈N*.

(2)因?yàn)?/p>

所以

例10(2020年皖西南聯(lián)盟聯(lián)考題)在正項(xiàng)數(shù)列{an}中,已知a2=

(1)確定數(shù)列{an}的單調(diào)性,并求{an}中項(xiàng)的最小值;

(2)證明: 對(duì)任意n ∈N*,都有an≤成立.

思路對(duì)(1),利用數(shù)列的單調(diào)性即可;對(duì)(2),利用放縮求和法處理.

解析(1)因?yàn)閍n+1=an+所以an+1-an=＞0,即數(shù)列{an}單調(diào)遞增.因此{(lán)an}中項(xiàng)的最小值是a1.在遞推式中,令n=1,則a2=a1+,即解得a1=或a1=(舍去).故a1=

(2)由(1)知,an+1＞an,所以an+1-an=＜,即于是,當(dāng)n≥2 時(shí),即當(dāng)n=1時(shí),an=故對(duì)任意n ∈N*,都有an≤成立.

注意: 例9 中的cn=無法直接求和式c1+c2+c3+···+cn.先將其放縮成cn ＜利用裂項(xiàng)相消求和法處理.但若放縮成cn ＜則無 法證出c1+c2+c3+· · ·+cn ＜因此如何放縮,需要看待證不等式進(jìn)行嘗試.例10 中的遞推式an+1=an+以 常 見 的an+1=an+f(n)為背景,但又跳出了原有模式而設(shè)置,給人耳目一新之感.對(duì)(2),顯然無法求出通項(xiàng)公式{an},只能從遞推式中考慮.

由于遞推式an+1=an+與以往形式不同,學(xué)生往往不知道利用放縮變形解題,知道的也難以對(duì)其正確地放縮變形.其實(shí),如果對(duì)于和比較熟悉,就可能利用“放縮、裂項(xiàng)、累加”破題.要素是“看目標(biāo)、看條件、看關(guān)系”.

由上可見,解數(shù)列求和問題,其關(guān)鍵在于將和式朝著我們熟悉的、已知的模型轉(zhuǎn)化.到底選擇哪一種模型,必須根據(jù)和式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),靈活處理,有時(shí)候需要多種模型融為一體,共同發(fā)揮作用.