文|姚建法

推理與概念、判斷都是思維的重要形式。邏輯推理主要包括演繹推理（從一般到特殊）、歸納推理（從特殊到一般）和類(lèi)比推理（從特殊到特殊或從一般到一般）。蘇教版教材例題承載著豐富的邏輯推理元素，通過(guò)例題培育邏輯推理能力需要多元而適合的學(xué)習(xí)方式得以護(hù)持，而數(shù)學(xué)多元表征學(xué)習(xí)正是其中一種重要的學(xué)習(xí)方式與行為路徑。

數(shù)學(xué)多元表征是指同一個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對(duì)象（如教材例題）可以用本質(zhì)不同的多種表征形式進(jìn)行數(shù)學(xué)化呈現(xiàn)，其本質(zhì)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對(duì)象的替代。不同的例題背景、不同的年齡階段，有著不盡相同的多元表征教學(xué)的應(yīng)對(duì)，從而有助于小學(xué)生系統(tǒng)觀察、有向猜想、結(jié)構(gòu)論證、規(guī)范結(jié)論，進(jìn)而培育小學(xué)生數(shù)學(xué)邏輯推理能力，發(fā)展數(shù)學(xué)思維。

一、基于多元表征學(xué)習(xí)的系統(tǒng)觀察，是培育小學(xué)生數(shù)學(xué)邏輯推理能力的前提

自古以來(lái)，觀察是人類(lèi)認(rèn)知自然、分析世界最直接、也是最為常用的方式。在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，如何對(duì)觀察對(duì)象（即邏輯推理對(duì)象）進(jìn)行有理、有序、有向、有聯(lián)的系統(tǒng)化整體觀察？

【案例1】蘇教版二年級(jí)下冊(cè)《有余數(shù)的除法》。

圖1

學(xué)生通過(guò)動(dòng)作表征操作小棒或借助圖像表征畫(huà)圖求解，完成了算式、填寫(xiě)了表格。

師：觀察算式和表格，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：有4個(gè)算式商是一樣的，中間3個(gè)算式有余數(shù)。

生：除數(shù)都是4，被除數(shù)每次加1，前4個(gè)算式商不變，最后一個(gè)商大了1。

生：余數(shù)都是相差1。

……

顯然，教師的一句寬泛的“你有什么發(fā)現(xiàn)”使得學(xué)生的觀察方向不聚焦，觀察結(jié)果形成偏差，無(wú)意中增加了學(xué)生的認(rèn)知負(fù)荷，未能達(dá)成認(rèn)知目標(biāo)。事實(shí)上，這是由于許多教師誤認(rèn)為青菜大卡通的問(wèn)題“比較除法算式中的余數(shù)和除數(shù)，你有什么發(fā)現(xiàn)”過(guò)于聚焦不“開(kāi)放”，限制了學(xué)生的思維。孰不知，此問(wèn)緊扣余數(shù)和除法的大小關(guān)系，圖表表征的因果邏輯清晰，十分有利于清晰地有向觀察，展開(kāi)邏輯推理：除數(shù)都是4，余數(shù)都比4小，降低了認(rèn)知負(fù)荷。這樣的定向系統(tǒng)觀察，既節(jié)省了觀察時(shí)間，減少了無(wú)意消耗，又提升了觀察效能，為邏輯推理的有序進(jìn)行與能力培育提供了前提可能。

二、基于多元表征學(xué)習(xí)的有向猜想，是培育小學(xué)生數(shù)學(xué)邏輯推理能力的關(guān)鍵

猜想，是人類(lèi)發(fā)現(xiàn)并形成特定結(jié)論的常見(jiàn)起源。根據(jù)一組存在某種邏輯規(guī)律的事實(shí)，提出某種數(shù)學(xué)化的猜想，從而展開(kāi)邏輯推理，獲得新的命題，是培育數(shù)學(xué)邏輯推理能力的有效歷程。而形成數(shù)學(xué)化的、有方向的猜想，才有助于進(jìn)一步展開(kāi)有效的驗(yàn)證，提高效能。所以，有向猜想是通過(guò)例題培育小學(xué)生數(shù)學(xué)邏輯推理能力的關(guān)鍵所在，是指向推理結(jié)論的“前奏”，其結(jié)論可能被證實(shí)、亦可能被證偽。

【案例2】蘇教版五年級(jí)上冊(cè)《釘子板上的多邊形》。

圖2

師：你們覺(jué)得它的面積可能和什么有關(guān)？

生：可能會(huì)和釘子的個(gè)數(shù)有關(guān)。

師：和哪里的釘子個(gè)數(shù)有關(guān)呢？先獨(dú)自想一想，再和同桌輕聲地說(shuō)一說(shuō)。

生：圖形邊上的釘子數(shù)和圖形里面的釘子數(shù)。

師：釘子板上多邊形的面積與它邊上釘子數(shù)和里面釘子數(shù)又有怎樣的關(guān)系呢？你們打算怎么來(lái)研究？

……

題組式平面圖形面積的圖像表征，學(xué)生隱約地直觀感受到“數(shù)方格”“算面積”之外的“另一種方法可能”。此時(shí)“你們覺(jué)得它的面積可能和什么有關(guān)”的猜想，暗示了推理的方向。“和哪里的釘子個(gè)數(shù)有關(guān)呢”的追問(wèn)則引領(lǐng)學(xué)生形成“有向”猜想：與多邊形邊上釘子數(shù)和里面釘子數(shù)有關(guān)。“又有怎樣的關(guān)系呢？你們打算怎么來(lái)研究”更是敲打在數(shù)學(xué)內(nèi)容的核心本質(zhì)上，讓學(xué)生的思維從“看得見(jiàn)的釘子”過(guò)渡到“尋找看不見(jiàn)的關(guān)系”以及“打算怎么來(lái)研究”的知識(shí)結(jié)構(gòu)與方法結(jié)構(gòu)上來(lái)，讓邏輯猜想帶有很強(qiáng)的數(shù)學(xué)方向與行動(dòng)路徑。于是，“透過(guò)數(shù)學(xué)本身的知識(shí)結(jié)構(gòu)和教與學(xué)的結(jié)構(gòu)化，數(shù)學(xué)的理性精神會(huì)根植于學(xué)生的頭腦和血脈中。它雖然無(wú)形，卻具有強(qiáng)大的力量，推動(dòng)著學(xué)生以科學(xué)的方法不斷探究新的世界、尋求新的發(fā)現(xiàn)、進(jìn)行新的創(chuàng)造?！?/p>

三、基于多元表征學(xué)習(xí)的結(jié)構(gòu)論證，是培育小學(xué)生數(shù)學(xué)邏輯推理能力的核心

在小學(xué)數(shù)學(xué)教材例題中，系統(tǒng)觀察有一定規(guī)律的數(shù)學(xué)現(xiàn)象所提出的有向猜想，還需開(kāi)展進(jìn)一步的驗(yàn)證活動(dòng)，而通過(guò)多元表征的證明或歸納的路徑具有豐富性、邏輯性和多元性，存在形式化、格式化和結(jié)構(gòu)化。學(xué)會(huì)結(jié)構(gòu)論證，正是數(shù)學(xué)邏輯推理能力培育的核心所在。論證的路徑豐富多元，如不完全歸納法的驗(yàn)證方式一般為舉例驗(yàn)證，涉及特例與反例，具備論證的結(jié)構(gòu)化模式；有一些猜想可以通過(guò)演繹證明、數(shù)形結(jié)合等方式展開(kāi)，形成相互印證的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)。

【案例3】蘇教版四年級(jí)下冊(cè)《乘法分配律》。

圖3

路徑一：符號(hào)表征。用不完全歸納的形式驗(yàn)證乘法分配律的猜想?！皩?xiě)幾組這樣的算式，算一算，再和同桌說(shuō)說(shuō)有什么發(fā)現(xiàn)”，既關(guān)注了算式等號(hào)兩邊的結(jié)構(gòu)特征，更要真算、真比，判斷是否真正兩邊相等，同時(shí)還需突出特例和嘗試尋找反例。

路徑二：情境表征。用數(shù)量關(guān)系論證乘法分配律的合理性（青椒與蘑菇小卡通的話(huà)語(yǔ)），引導(dǎo)學(xué)生講好相似的“數(shù)學(xué)故事”。

路徑三：言語(yǔ)表征。用乘法的意義論證乘法分配律的正確性，6個(gè)24加4個(gè)24，等于（6+4）個(gè)24，獲得意義建構(gòu)。

路徑四：圖像表征。應(yīng)用兩個(gè)等寬長(zhǎng)方形的面積組合圖直觀感知與體驗(yàn)乘法分配律的必然性，實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合。

事實(shí)上，學(xué)生已積累了加法交換律和結(jié)合律、乘法交換律和結(jié)合律的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，對(duì)于不完全歸納法的推理論證應(yīng)然熟悉：根據(jù)幾個(gè)有規(guī)律的數(shù)學(xué)算式，提出猜想，而后舉例驗(yàn)證并嘗試尋找反例，最后得出結(jié)論并用字母符號(hào)表征運(yùn)算律。而本課時(shí)，既關(guān)注了等號(hào)兩邊算式的結(jié)構(gòu)形式，并以此經(jīng)歷結(jié)構(gòu)化舉例驗(yàn)證的不完全歸納推理過(guò)程，又開(kāi)闊了學(xué)生的論證視角，拓展了教材的邏輯推理內(nèi)涵與外延，分別展開(kāi)情境表征突出數(shù)量關(guān)系、借助乘法意義進(jìn)行言語(yǔ)表征、通過(guò)數(shù)形結(jié)合實(shí)施圖像表征與符號(hào)表征，豐富了學(xué)生對(duì)于猜想驗(yàn)證的路徑設(shè)想。

四、基于多元表征學(xué)習(xí)的規(guī)范結(jié)論，是培育小學(xué)生數(shù)學(xué)邏輯推理能力的保障

蘇教版數(shù)學(xué)教材的例題，許多都具備豐富的背景性知識(shí)和過(guò)程性結(jié)構(gòu)，體現(xiàn)出清晰而明確的邏輯推理樣態(tài)。推理結(jié)論的表征樣態(tài)可以是言語(yǔ)或文字的，也可以是圖像的或符號(hào)的。然而，基于學(xué)生認(rèn)知能力與年齡特點(diǎn)，通過(guò)邏輯推理形成的推理結(jié)論在數(shù)學(xué)表達(dá)上卻又常常不夠嚴(yán)謹(jǐn)與規(guī)范，導(dǎo)致一定程度上的思維脫節(jié)與思維弱化，需要教師適時(shí)引領(lǐng)，從而保證數(shù)學(xué)邏輯推理結(jié)論的有效確立。

【案例4】蘇教版五年級(jí)下冊(cè)《認(rèn)識(shí)扇形》。

師：同一個(gè)圓中，扇形的大小與什么有關(guān)？

生：半徑越大，扇形越大。

生：弧越大，扇形越大。

生：圓心角越大，扇形越大。

……

圖4

此案例中，教師“無(wú)意識(shí)”地“應(yīng)用”了教材中玉米大卡通的語(yǔ)言，對(duì)“同一個(gè)圓”這一大前提形成自我遮蔽，從而面對(duì)學(xué)生的回答中的思維漏洞視而不見(jiàn)。一定程度上，例題中三個(gè)同樣大的圓在學(xué)生腦海中形成圖像表征，導(dǎo)致學(xué)生潛意識(shí)里“默認(rèn)為”扇形所在的圓同樣大，從而這個(gè)“不變”的要素被忽視。由此，教師一方面需加強(qiáng)對(duì)學(xué)生邏輯推理思維過(guò)程嚴(yán)謹(jǐn)性的充分警覺(jué)，另一方面可以有意識(shí)地提供具備反例特性的圖像表征，呈現(xiàn)一個(gè)半徑特別大或特別小的扇形，組建圖像表征組，直觀對(duì)比中形成“反差萌”，明確同一個(gè)圓中影響扇形大小的要素有半徑、弧、圓心角，它們“同大同小”，從而嚴(yán)謹(jǐn)推理思維，并用言語(yǔ)表征“不變+自變量+因變量”的范式規(guī)范表達(dá)：在同一個(gè)圓（或同樣大的圓）中，弧（或圓心角）越大，扇形越大。

回歸課堂主陣地，優(yōu)化數(shù)學(xué)多元表征學(xué)習(xí)方式，充分將動(dòng)作表征、圖像表征、言語(yǔ)表征、符號(hào)表征等多元表征系統(tǒng)作用于蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材例題教學(xué)，能夠較好地促進(jìn)數(shù)學(xué)理解，護(hù)持?jǐn)?shù)學(xué)邏輯推理的理性認(rèn)知與思維水平，提升學(xué)科關(guān)鍵能力。