張 索

（浙江機電職業(yè)技術學院 電氣電子工程學院，浙江 杭州 310053)

0 引言

在信道帶寬資源受限的情況下，信道帶寬無法承受系統(tǒng)所有數(shù)據(jù)的傳輸。若在某一固定時刻，需要同時傳輸?shù)臄?shù)據(jù)數(shù)量遠遠大于信道帶寬所能傳輸?shù)臄?shù)據(jù)最大值時，就出現(xiàn)了通信訪問約束的問題。在訪問約束情況下，由于無法同時傳輸所有數(shù)據(jù)，故要在合理的通信策略下，決定所要傳輸?shù)臄?shù)據(jù)。而通信策略的選擇會對系統(tǒng)的性質和性能產生影響，因此，有必要在通信受限的情況下，對系統(tǒng)的性能進行研究。

本文主要研究的是在輸入約束情況下，線性隨機系統(tǒng)的可調節(jié)性問題。本文通過該對偶關系，考察輸入約束系統(tǒng)的可調節(jié)性問題。關于可估計性的定義，章輝等[1]從信息論的角度，提出了系統(tǒng)在最小最大誤差熵（MMEE）意義下的可估計性定義，即狀態(tài)的實際值和估計值的互信息大于零。本文也進一步證明了系統(tǒng)在MMEE意義下可估計性和可調節(jié)性之間的關系。理論分析和仿真結果表明，存在一個合理的靜態(tài)通信策略，使得訪問約束系統(tǒng)是可調節(jié)的。

1 問題描述

我們現(xiàn)要考察的是在輸入約束條件下的線性時不變隨機系統(tǒng)，如圖1所示。

圖1 輸入約束條件下的線性時不變隨機系統(tǒng)

2 輸入約束系統(tǒng)的可調節(jié)性判別陣

Yoram Baram證明了系統(tǒng)在最小均方估計（LMSE）意義下可估計性和可調節(jié)性的對偶關系，提出線性系統(tǒng)的可估計性與可調節(jié)性是線性系統(tǒng)的兩個對偶屬性。該對偶性質可通過與系統(tǒng)的可估計性條件和可調節(jié)性條件，分別對應的Lyapunov方程和Riccati方程體現(xiàn)出來。Baram等[2]還證明了，系統(tǒng)的可調節(jié)性格萊姆矩陣和可估計性格萊姆矩陣具有對偶關系[2]。

因此，若系統(tǒng)∑是可調節(jié)的，即可調節(jié)性格萊姆矩陣WR滿秩，則對偶系統(tǒng)∑'是可估計的（rankWR=rankWE=n）。我們把可估計性和可調節(jié)性的對偶關系用于輸入約束系統(tǒng)∑ρ。只要找到輸入約束系統(tǒng)（2）的對偶系統(tǒng)的可估計性判別矩陣，就可以找到它的可調節(jié)性判別矩陣。

3 MMEE意義下（最小最大誤差熵）可估計性和可調節(jié)性的關系

這一部分要考慮在MMEE意義下，即在最小最大熵準則下，線性隨機系統(tǒng)可估計性和可調節(jié)性的關系。

章輝等[1]給出了在最小最大誤差熵（MMEE）準則下系統(tǒng)可估計性的定義：系統(tǒng)狀態(tài)的實際值和估計值之間的互信息()大于零。章輝等[1]已經證明，對于線性高斯系統(tǒng)，MMEE意義下的最優(yōu)估計等價于最小均方意義（LMSE）下的最優(yōu)估計，如下式所示：

4 輸入約束系統(tǒng)的可調節(jié)性分析

輸入約束情況下的可調節(jié)性矩陣Λk'(i(n+1)+n,i(n+1))的值，相當于通信約束序列MρT(k)要從 Φkf,kTΠ'(k )B中挑選出wρ列。由于原系統(tǒng)的可調節(jié)性矩陣Λk(i(n+1)+n,i(n+1))是滿秩的，故一定可從該可調節(jié)性矩陣中取出n個線性無關的列向量，設其為當i=0時，Λk(n，0)的n個線性無關向量集合為：

5 系統(tǒng)仿真

在輸入約束條件wρ=1時，表示任意時刻從控制器到被控對象只能傳輸1個數(shù)據(jù)。其通信序列Mρ（k）表示為一個周期為3的通信序列：

在輸入約束條件wρ=2時，表示任意時刻從控制器到被控對象能傳輸2個數(shù)據(jù)。其通信序列Mρ（k）表示為：

在這里，通過對偶系統(tǒng)的可估計性來考察該系統(tǒng)的可調節(jié)性問題。若對偶系統(tǒng)是可估計的，則原系統(tǒng)一定是可調節(jié)的。這里使用了Kalman濾波器估計出對偶系統(tǒng)的狀態(tài)趨勢。圖1—2顯示了系統(tǒng)的3個狀態(tài)變量分別在通信約束條件wρ=1的情況下和wρ=2的情況下，狀態(tài)變量的真實值和估計值之間的關系。其中，實線表示系統(tǒng)狀態(tài)的實際值，點線表示系統(tǒng)狀態(tài)的估計值。

圖1 輸入約束條件1情況下系統(tǒng)狀態(tài)的真實值與估計值

圖2 輸入約束條件2情況下系統(tǒng)狀態(tài)的真實值與估計值

從圖1—2可以看出，對偶系統(tǒng)的系統(tǒng)狀態(tài)在有輸出約束的情況下，仍然可以通過找到合適的通信策略，使得系統(tǒng)是可估計的。因此，也一定能通過合理的輸出通信策略，使得原系統(tǒng)是可調節(jié)的。

以上仿真結果說明，對于輸入約束系統(tǒng)，存在合理的通信策略，使得原系統(tǒng)是可調節(jié)的。

6 結語

本文針對輸入約束情況下線性隨機系統(tǒng)，研究了線性離散隨機系統(tǒng)的可調節(jié)性問題以及系統(tǒng)的可估計性和可調節(jié)性之間的關系。仿真結果表明，在輸入約束情況下，存在合理的通信策略，使得線性離散隨機系統(tǒng)保持可調節(jié)性。