楊曉紅，連高社

(太原工業(yè)學(xué)院理學(xué)系,山西太原 030008)

玻色-愛因斯坦凝聚是近些年來物理學(xué)領(lǐng)域中的一個(gè)研究熱點(diǎn)[1-4],具有非常重要的研究意義和應(yīng)用價(jià)值。當(dāng)原子被冷卻到一個(gè)臨界溫度以下時(shí),理想Bose 子氣體將會(huì)發(fā)生相變,導(dǎo)致一種新的物質(zhì)狀態(tài),這種變相稱為玻色-愛因斯坦凝聚(Bose-Einstein condensate,簡(jiǎn)寫B(tài)EC)。而處于這種新狀態(tài)的物質(zhì)被稱為玻色-愛因斯坦凝聚體(Bose-Einstein condensates,縮寫為BECs)。

用平均場(chǎng)理論處理非均勻玻色-愛因斯坦凝聚系統(tǒng)的基本方程為[5]:

這就是著名的GP方程。其中φ()表示宏觀波函數(shù),是m玻色原子質(zhì)量,g為耦合常數(shù),與s波散射長(zhǎng)度as相關(guān)。as可正可負(fù),正代表兩體相互作用為排斥,負(fù)表示兩體相互作用為吸引。在實(shí)驗(yàn)中s波散射長(zhǎng)度的大小和正負(fù)都可以利用費(fèi)施巴赫共振(Feshbach)技術(shù)來調(diào)節(jié)。

對(duì)于兩個(gè)相互作用的凝聚體使用零溫的平均場(chǎng)理論,因此可忽略凝聚態(tài)原子間的碰撞和熱云,則這個(gè)凝聚態(tài)系統(tǒng)的宏觀動(dòng)力學(xué)由兩個(gè)耦合的GP方程來描述?？紤](1+1)維的情況,對(duì)方程進(jìn)行無量綱處理,耦合方程可以寫為[5]:

此時(shí)外部簡(jiǎn)諧勢(shì)為:

gij為非線性相互作用系數(shù)。

已經(jīng)有很多方法被提出來求解(2),比如F展開法、函數(shù)展開法、相似變換法以及Hirota方法等等。

當(dāng)允許散射長(zhǎng)度和外部勢(shì)阱為隨時(shí)間變化的函數(shù),不忽略原子間的熱云時(shí),則必然導(dǎo)致凝聚體中原子的增益或損耗。因此當(dāng)處理雙組分的玻色-愛因斯坦凝聚體時(shí),應(yīng)在二耦合的GP方程中包含兩個(gè)不同的增益或損耗項(xiàng)。則上述方程(2)寫成如下形式[6]:

G1(t)、G2(t)分別代表波函數(shù)ψ1、ψ2的增益或損耗。當(dāng)Gi(t)＞0,表示凝聚體波函數(shù)中熱云的損耗;反之當(dāng)Gi(t)＜0,則表示為增益。gij(t)表示相互作用強(qiáng)度,vi(t) 表示外部簡(jiǎn)勢(shì)。當(dāng)g11(t)=g21(t),g12(t)=g22(t),g11(t)=-g12(t),時(shí),用Lax 對(duì)和規(guī)范變換可求出方程的孤子解。

當(dāng)自旋自由度被釋放,這種帶有自旋自由度的玻色氣體,被稱為旋量玻色氣體。首先,通過雙線性方法求得二耦合變系數(shù)薛定諤方程的孤子解,并利用Maple[7]對(duì)孤子解作圖。最后,發(fā)現(xiàn)調(diào)節(jié)凝聚體穩(wěn)定性的各種方法。

1 模型

考慮87Rb原子由兩種超精細(xì)態(tài)組成的旋量玻色-愛因斯坦凝聚,這種凝聚體通過拋物勢(shì)阱被限制,同時(shí)被隨時(shí)間變化的耦合場(chǎng)耦合。假設(shè)凝聚體是一維的,在平均場(chǎng)近似理論下,這個(gè)系統(tǒng)可以被變系數(shù)二耦合非線性薛定諤方程描述[8]

在方程(4)中ψ1,ψ2分別是旋量凝聚體的波函數(shù),a(t)表示短暫的散射長(zhǎng)度,λ(t)和v(t)分別表示兩個(gè)凝聚體之間的阱頻率和耦合,G(t)表示凝聚體熱云的增益或(損耗)。

2 分析

根據(jù)可積條件[8]:

根據(jù)Hirota雙線性變換[9-12]構(gòu)造變換:

式中,g(x,t)，h(x,t) 都是復(fù)函數(shù),而是f(x,t)實(shí)函數(shù)。對(duì)構(gòu)造變換的(5)式分別求出ψ1t,ψ1xx,ψ2t,ψ2xx,代入方程(4)式并根據(jù)可積條件進(jìn)行整理,分析得出如下雙線性形式:

其中Dt,Dx是雙線性算子,有如下形式的微分算子:

其中，p(x,t)是變量x與t的可微函數(shù),是b(x′,t′)變量x′與t′的可微函數(shù),m和n是非負(fù)整數(shù);式(7)稱為函數(shù)p與b對(duì)施行m次Dx,又對(duì)t施行n次的雙線性導(dǎo)數(shù)?；诒磉_(dá)式(6),方程組(4)的孤子解可由以下展開式得到:

ε是參量,gi和hi(i=1,3,5,…)是x和t的復(fù)函數(shù),fj(j=2,4,6,…)是x和t的實(shí)函數(shù)。把(8)式代入雙線性形式(6)式中,令ε的同冪次項(xiàng)系數(shù)為零,得到如下雙線性形式:

其中，θ(x,t)=k(t)x+w(t)，A，B為復(fù)數(shù),k(t)為實(shí)函數(shù),w(t)為復(fù)函數(shù)。

當(dāng)ε=1 時(shí),(10a),(10b),(10c)代入(9a),(9b),(9c)中可知:

則耦合非線性薛定諤方程的孤子解為:

圖1 孤子解ψ1,2的演化圖像

圖2 孤子解ψ1,2的演化圖像

圖3 孤子解ψ1,2的演化圖像

凝聚體的穩(wěn)定特性跟凝聚體中的原子間相互作用以及外部囚禁勢(shì)阱對(duì)原子的作用直接相關(guān)。所以,可以通過控制特征參量的值來控制孤子的傳輸特性與穩(wěn)定性。經(jīng)作圖發(fā)現(xiàn)克服不穩(wěn)定性既可以通過改變?nèi)我夂瘮?shù)F(t)(與圖1相比較)如圖2;也可以通過改變耦合系數(shù)v(t)(與圖1 相比較)如圖3;或者可以調(diào)節(jié)散射長(zhǎng)度a(t)(與圖1 相比較)如圖4;研究克服凝聚體不穩(wěn)定性的各種方法為實(shí)現(xiàn)量子信息傳輸提供一定的理論依據(jù)同時(shí)增大了其作為量子信息載體的可能性。

圖4 孤子解ψ1,2的演化圖像

3 結(jié)語

還可進(jìn)一步研究得出耦合方程的二孤子解、三孤子解等并分析二、三孤子的傳輸特性和穩(wěn)定性。