張海濤 （江漢大學(xué)城市地下空間工程系，湖北 武漢 430056）

0 引言

土方調(diào)配就是指在土方施工中對挖土的利用、堆棄和填土這三者之間的關(guān)系進(jìn)行綜合協(xié)調(diào)處理，以確定填、挖區(qū)土方調(diào)配的數(shù)量和方向，力圖使土方總運輸量最小或土方施工成本最少。土方調(diào)配是土方規(guī)劃設(shè)計的一項重要內(nèi)容，其求解一般按劃分土方調(diào)配區(qū)、計算各調(diào)配區(qū)的土方量、計算各挖填方調(diào)配區(qū)的平均運距、求解土方最優(yōu)調(diào)配方案和繪制土方調(diào)配圖等步驟進(jìn)行。

求解土方最優(yōu)調(diào)配方案的理論基礎(chǔ)是運籌學(xué)中的線性規(guī)劃模型，即研究在一組線性約束之下，某個線性函數(shù)的最小值或最大值問題。在求解線性規(guī)劃問題的算法中，應(yīng)用最廣泛的是單純形法，其基本思想是先找到一個基本可行解，檢驗是否為最優(yōu)解，否則再找一個使目標(biāo)函數(shù)值有所改進(jìn)的基本可行解，進(jìn)行檢驗。如此反復(fù)進(jìn)行迭代，直至找到最優(yōu)解，或判斷問題無界（即無有限最優(yōu)值）。

以單純形法的表格形式即單純形表形成的“表上作業(yè)法”是目前國內(nèi)土木施工類教材中集中介紹的土方最優(yōu)調(diào)配方案的求解方法?！氨砩献鳂I(yè)法”大致可分為兩個步驟進(jìn)行，一是采用如“最小元素法”確定初步可行解；二是采用如“位勢法”或“閉回路法”判別最優(yōu)解。在工程應(yīng)用實踐中，“表上作業(yè)法”需要進(jìn)行多次閉回路調(diào)整，因此其方法存在求解過程繁瑣、計算量大、手工計算困難等缺陷。

隨著計算機硬件性能的提高和軟件技術(shù)的發(fā)展，求解線性規(guī)劃問題在目前已經(jīng)變得十分容易和快捷，本文探討分別利用LINGO與MATLAB軟件解決土方最優(yōu)調(diào)配方案求解問題，從而使工程技術(shù)人員能夠從復(fù)雜的數(shù)學(xué)計算中解脫出來，使土方最優(yōu)調(diào)配方案問題的求解變得簡單、高效。

1 土方最優(yōu)調(diào)配方案的線性規(guī)劃模型

如表1所示的土方調(diào)配平衡表，假設(shè)有m個挖方區(qū)，用W(i＝1，2，…，m)表示，挖方量為a；有n個填方區(qū)，用T(j＝1，2，…，n)表示，填方量為 b。挖方區(qū)W將土運輸至填方區(qū)T的平均運距為C，X為從 a挖方區(qū)調(diào)配給 b填方區(qū)的土方量。

土方調(diào)配平衡表 表1

X

Z

2 土方最優(yōu)調(diào)配方案的LINGO與MATLAB求解

以文獻(xiàn)[1]中的“表上作業(yè)法”案例為例，分別采用LINGO與MATLAB軟件求解。案例問題可形成如表2所示的挖、填方量和平均運距表，要求確定土方最優(yōu)調(diào)配方案，即求解出一組各挖方區(qū)調(diào)配給各填方區(qū)的土方量，使得總土方運輸量為最小值。

挖、填方量（m3）和平均運距（m）表 表2

2.1 LINGO軟件解法

LINGO模型的基本組成包括定義集合、數(shù)據(jù)段、目標(biāo)函數(shù)和約束條件。依據(jù)表2和公式（1）、（2），對案例建立LINGO模型如下：

即目標(biāo)函數(shù)值為94000.00，完整的變量X求解結(jié)果總結(jié)如表3所示，與文獻(xiàn)[1]中的“表上作業(yè)法”結(jié)果完全一致。

變量XIJ的求解結(jié)果表 表3

2.2 MATLAB軟件解法

在MATLAB的優(yōu)化工具箱中，用于求解線性規(guī)劃問題的函數(shù)是linprog，其調(diào)用格式[x,fval]=linprog(C,[],[],A,b,lb)可求解如下問題：

其中，C為價值向量，A為等式約束矩陣，b為等式資源向量，lb為決策向量X的下界。[x,fval]表示計算返回結(jié)果向量X和最優(yōu)目標(biāo)值的計算結(jié)果。

結(jié)合公式（3）、（4）與表1，這里令:

為了方便將模型數(shù)據(jù)輸入到MATLAB軟件中，這里按表2數(shù)據(jù)在Excel電子表格中建立算例的模型數(shù)據(jù)，如對矩陣A在Excel中的錄入格式如圖1所示，類似地可錄入C、b、lb。

圖1 案例矩陣A的Excel數(shù)據(jù)格式

將建立的Excel文件導(dǎo)入到MATLAB后，在MATLAB的命令窗口中使用命令：

[x,fval]=linprog(C,[],[],A,b,lb)

則計算得到的結(jié)果為

3 結(jié)語

土木工程中遇到的許多優(yōu)化問題都可以歸結(jié)為規(guī)劃問題，當(dāng)遇到變量比較多或者約束條件表達(dá)式比較復(fù)雜的實際工程情況時，試圖用手工計算來求解這類問題幾乎是難以實現(xiàn)的，編程計算雖然能夠代替手工計算快速得出結(jié)果，但編程工作量大、較為繁瑣且難以被工程技術(shù)人員掌握。因此，工程應(yīng)用中較為可行的方法是通過軟件求解。LINGO作為專門用來求解各種規(guī)劃問題的軟件包，具有功能強大、模型輸入簡練直觀、能夠以較少的語句描述較大規(guī)模的優(yōu)化模型等特點，其被認(rèn)為是求解優(yōu)化模型的最佳選擇。MATLAB軟件則具有強大的科學(xué)計算與可視化功能，并且已經(jīng)形成了一套涵蓋領(lǐng)域廣泛的工具箱，如其優(yōu)化工具箱可以求解線性規(guī)劃、非線性規(guī)劃和多目標(biāo)規(guī)劃問題，這些特點使其已經(jīng)成為科研和工程實踐必備的工具之一。因此，本文通過對土方最優(yōu)調(diào)配方案的LINGO和MATLAB求解方法的具體描述，旨在幫助工程技術(shù)人員能夠通過軟件快速掌握這類問題的求解方法，進(jìn)而能夠從復(fù)雜的數(shù)學(xué)計算中解脫出來，從而達(dá)到提高工程建設(shè)效率的目的。